Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức!

[LSG]

Cho x,y,z là ba số thực thoả mãn$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{x}=1 $ .Tìm GTNN của biểu thức

$P=\dfrac{x^{2010}}{y^{2011}}+\dfrac{y^{2010}}{z^{2 011}}+\dfrac{z^{2010}}{x^{2011}} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[hizact]

Nếu x, y, z là số thực thì không tồn tại GTNN

Nếu x, y, z là các số thực dương thì lời giải như sau

Lời giải AM-GM

Đặt $a = \frac{1}{x},b = \frac{1}{y},c = \frac{1}{z} $

Ta có $a+b+c=1 $ và $P = \frac{{{a^{2011}}}}{{{c^{2010}}}} + \frac{{{b^{2011}}}}{{{a^{2010}}}} + \frac{{{c^{2011}}}}{{{b^{2010}}}} $

Ta lại có

$\frac{{{a^{2011}}}}{{{c^{2010}}}} + \underbrace {c + c + ... + c}_{2010's} \ge 2011a $

$\frac{{{b^{2011}}}}{{{a^{2010}}}} + \underbrace {a + a + ... + a}_{2010's} \ge 2011b $

$\frac{{{c^{2011}}}}{{{b^{2010}}}} + \underbrace {b + b + ... + b}_{2010's} \ge 2011c $

Cộng tất cả theo vế, ta thu được

$P = \frac{{{a^{2011}}}}{{{c^{2010}}}} + \frac{{{b^{2011}}}}{{{a^{2010}}}} + \frac{{{c^{2011}}}}{{{b^{2010}}}} \ge a + b + c = 1 $

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3} $.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[nguyendung_hy]

đặt :$a=\frac{1}{x},b=\frac{1}{y},c=\frac{1}{z} $
suy ra:$ abc\neq 0 $
$P= \frac{b^{2011}}{a^{2010}}+\frac{c^{2011}}{b^{2010} }+\frac{a^{2011}}{c^{2010}} $
cho $ b=c\rightarrow \frac{1}{2} $ -
$a\rightarrow 0+ $
th ì $P\rightarrow -\infty $
vậy không tồn tại GTNN
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]