Bất đẳng thức mô-đun cho kỳ vọng

[thinhptnk]

Vấn đề: Cho các biến ngẫu nhiên $X,Y $ thỏa mãn $EXY=0 $. Chứng minh rằng

$E(X+Y)^p \le EX^p+EY^p $ với mọi $p \in [1;2] $

PS: Nếu cho $p=1 $ hoặc $p=2 $ thì kết quả trên hiển nhiên đúng nhưng với $p \in (1;2) $ thì mình cụt hướng, hic

Bổ trợ: Hàm $E $ có tính chất tuyến tính và $EX^p=p\int_{0}^{\infty}x^{p-1}P(|X|>t)dt. $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[pgviethung]

Phản ví dụ:
Xét X và Y có phân bố như sau :
$\begin{array}{ccc}
Y\setminus X & 1 & a\\
1& c & 0\\
b & 0 & 1-c\\
\end{array} $
(chú ý: $a,b $ trái dấu). Để $E(XY)=0 $ thì $c+ab(1-c)=0 $, hay là $c=-ab/(1-ab) $.
$E|X|^p=-ab/(1-ab)+|a|^p/(1-ab) $
$E|Y|^p=-ab/(1-ab)+|b|^p/(1-ab) $
$E|X+Y|^p=-ab.2^p/(1-ab)+|a+b|^p/(1-ab) $
Sau khi quy đồng mẫu số, cần so sánh $A=-2ab+|a|^p+|b|^p $ và $B=-ab2^p+|a+b|^p $, hay là $|a|^p+|b|^p $ và $-ab(2^p-2)+|a+b|^p $.
Khi $p>1 $ thì $2^p-2>0 $, cho $|a| $ và $|b| $ đồng bậc, thì VT bậc $p<2 $ còn VP bậc 2. Do đó, khi chọn đủ lớn thì $A<B $.
KL: khi $1<p<2 $ có các TH mà $E|X+Y|^p > E|X|^p+E|Y|^p| $.
P/S: hàm $x^p $ không tồn tại khi $x $ âm và $p $ vô tỉ, nên chỉ có thể viết $|X|^p $. Công thức kì vọng bạn đưa ra không chính xác, chỉ đúng khi $X $ không âm hoặc cho $E|X|^p $.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]