Đề đại học năm 2014

[kynamsp]

đề thi đại học chính thức mời các bạn chém bất đẳng thức
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[vinhhop.qt]

Câu 9. Cho $x,y,z$ không âm thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=2$. Tìm GTLN của biểu thức
$$P=\dfrac{x^2}{x^2+yz+x+1}+\dfrac{y+z}{x+y+z+1}-\dfrac{1+yz}{9}.$$
1. Ta có $\dfrac{x^2}{x^2+yz+x+1}\le \dfrac{x}{x+y+z+1}$ (với $x,y,z$ thỏa mãn yeu cầu bài toán.)
Suy ra $$P\le \dfrac{x+y+z}{x+y+z+1}-\dfrac{1+yz}{9}=1-\left(\dfrac{1}{x+y+z+1}+\dfrac{1+yz}{9}\right).$$
2. Ta cần tìm GTNN của biểu thức $$Q=\dfrac{1}{x+y+z+1}+\dfrac{1+yz}{9}.$$
Sử dụng BĐT $x+(y+z)\le \sqrt{2(x^2+(y+z)^2)}=2\sqrt{1+yz},$ ta suy ra
$$Q\ge \dfrac{1}{2\sqrt{1+yz}+1}+\dfrac{1+yz}{9}.$$
3. Dễ chứng minh được $$\dfrac{1}{2t+1}+\dfrac{t^2}{9}\ge \dfrac{4}{9}\forall t\ge 0.$$
Suy ra $$P\le 1-\dfrac{4}{9}=\dfrac{5}{9}.$$ Dấu bằng xảy ra khi $x=1, y=1, z=0$ hoặc $x=1,y=0,z=1$.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[phucbentre]

ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC KHỐI A, A1 NĂM 2014

Câu 1: (2,0 điểm) Cho hàm số $y = \dfrac{{x + 2}}{{x - 1}}$ (1)

a. Khảo sát sự biến thiên hàm số và vẽ đồ thị $(C)$ của hàm số (1).

b. Tìm tọa độ điểm $M$ thuộc $(C)$ sao cho khoảng cách từ $M$ đến đường thẳng $y=-x$ bằng $\sqrt 2 $.

Câu 2: (1,0 điểm) Giải phương trình $$\sin x + 4\cos x = 2 + \sin 2x$$.

Câu 3: (1,0 điểm) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong $y = {x^2} - x - 3$ và đường thẳng $y=2x+1$.

Câu 4: (1,0 điểm)

a. Cho số phức $z$ thỏa mãn điều kiện $z + \left( {2 + i} \right)\overline z = 3 + 5i$. Tìm phần thực và phần ảo của $z$.

b. Từ một hộp chưa $16$ thẻ được đánh dấu từ $1$ đến $16$, chọn ngẫu nhiên $4$ thẻ. Tính xác suất để $4$ thẻ được chọn đều được đánh số chẵn.

Câu 5: (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$. Cho mặt phẳng $(P):2x+y-2z-1=0$ và đường thẳng $d:\dfrac{{x - 2}}{1} = \dfrac{y}{{ - 2}} = \dfrac{{z + 3}}{3}$. Tìm tọa độ giao điểm của $d$ và $(P)$. Viết phương trình mặt phẳng chứa $d$ và vuông góc với $(P)$.

Câu 6: (1,0 điểm) Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, $SD = \dfrac{{3a}}{2}$, hình chiếu vuông góc của $S$ trên mặt phẳng $(ABCD)$ là trung điểm của cạnh $AB$. Tính theo $a$ thể tích khối chóp $S.ABCD$ và khoảng cách từ $A$ đền mặt phẳng $(SBD)$.

Câu 7: (1,0 điểm) Trong mặt phẳng hệ tọa độ $Oxy$ cho hình vuông $ABCD$ có điểm $M$ là trung điểm của $AB$ và $N$ là điểm thuộc đoạn $AC$ sao cho $AN=3NC$. Viết phương trình đường thẳng $CD$, biết rằng $M(1;2)$ và $N(2;-1)$.

Câu 8: (1,0 điểm) Giải hệ phương trình $$\left\{\begin{matrix} x\sqrt {12 - y} + \sqrt {y\left( {12 - {x^2}} \right)} = 12\\ {x^3} - 8x - 1 = 2\sqrt {y - 2} \end{matrix}\right.\left ( x,y \in R \right )$$

Câu 9: (1,0 điểm) Cho $x,y,z$ là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện ${x^2} + {y^2} + {z^2} = 2$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

$$P = \dfrac{{{x^2}}}{{{x^2} + yz + x + 1}} + \dfrac{{y + z}}{{x + y + z + 1}} - \dfrac{{1 + yz}}{9}$$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[vinhhop.qt]

Câu 8. Giải hệ phương trình $$\left\{\begin{matrix} x\sqrt {12 - y} + \sqrt {y\left( {12 - {x^2}} \right)} = 12\\ {x^3} - 8x - 1 = 2\sqrt {y - 2} \end{matrix}\right.\left ( x,y \in R \right )$$
Theo BĐT $ab\le \dfrac{a^2+b^2}{2}$, ta suy ra $$12=x\sqrt {12 - y} + \sqrt {y\left( {12 - {x^2}} \right)}\le \dfrac{x^2+12-y}{2}+\dfrac{y+12-x^2}{2}=12.$$
Suy ra $x=\sqrt{12-y}$. Thay vào phương trình thứ hai, ta cần giải phương trình $$x^3-8x-1=2\sqrt{10-x^2}.$$
Phương trình tương đương với $$x^3-8x-3=2(\sqrt{10-x^2}-1),$$
$(x-3)(x^2+3x+1)=2\dfrac{9-x^2}{\sqrt{10-x^2}+1}$
Từ đó, ta được $x=3$, hoặc $$x^2+3x+1+2\dfrac{x+3}{\sqrt{10-x^2}+1}=0.$$
Phương trình cuối này vô nghiệm (do $x\ge 0$).
Đáp số $(x,y)=(3,3)$.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[mesmoirevent]

Câu 8. Đáp án của anh Tất Thu.

Điều kiện: $\begin{cases}|x|\le 2\sqrt{3}\\ 2\le y\le 12\end{cases}$

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpski ta có:

$x\sqrt{12-y}+\sqrt{y(12-x^2)} \le \sqrt{(x^2+12-x^2)(12-y+y)}=12$

Do đó phương trình thứ nhất của hệ tương đương với:

$x\sqrt{y}=\sqrt{12-y}.\sqrt{12-x^2}$

$\leftrightarrow \begin{cases}x\ge 0\\ x^2y=144-12x^2-12y+x^2y\end{cases}$

$\leftrightarrow \begin{cases}x\ge 0\\ y=12-x^2\end{cases}$

Thay vào phương trình thứ 2 ta có:

$$x^3-8x-1=2\sqrt{12-x^2}$$

$$\leftrightarrow x^3-8x-1-2\sqrt{12-x^2}=0$$
$$\leftrightarrow x^3-8x-3+2(1-\sqrt{12-x^2})=0$$
$$\leftrightarrow (x-3)(x^2+3x+1)+2\frac{(x-3)(x+3)}{1+\sqrt{12-x^2}}=0$$
$$\leftrightarrow (x-3)(x^2+3x+1+2\frac{(x+3)}{1+\sqrt{12-x^2}}=0$$ (*)

Vì $x\ge 0$ nên $x^2+3x+1+2\frac{(x+3)}{1+\sqrt{12-x^2}}>0$. Do đó $* \leftrightarrow x=3$ hay $y=3$

Thử lại thấy thoải mãn. Vậy $(x,y)=(3,3)$ là nghiệm duy nhất của chương trình.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[hansongkyung]

Nói chung đề năm nay ko khó lắm. Ở phòng thi mình ai cũng làm đc 8/9 câu. Mình thì làm đc bài cuối ai ngờ thay số nhầm
Mức độ đề theo kiểu từ dễ đến khó, chắc đây là thay đổi lớn nhất mà Bộ từng nói. Tính phân loại của đề mình nghĩ rất chuẩn, tiếc là không có phần riêng, chắc các bác sợ tốn giấy (trong khi đề lý 5 trang liền)
Là một thí sinh cũng tham dự kì thi tuyển sinh 2014 chúc anh em diễn đàn làm mấy môn còn lại mgon như toán nhé!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[tranhongviet]

Nguyên văn bởi hansongkyung

Nói chung đề năm nay ko khó lắm. Ở phòng thi mình ai cũng làm đc 8/9 câu. Mình thì làm đc bài cuối ai ngờ thay số nhầm
Mức độ đề theo kiểu từ dễ đến khó, chắc đây là thay đổi lớn nhất mà Bộ từng nói. Tính phân loại của đề mình nghĩ rất chuẩn, tiếc là không có phần riêng, chắc các bác sợ tốn giấy (trong khi đề lý 5 trang liền)
Là một thí sinh cũng tham dự kì thi tuyển sinh 2014 chúc anh em diễn đàn làm mấy môn còn lại mgon như toán nhé!

câu hình phẳng bác ra bao nhiêu ạ?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[einstein1996]

Trong tâm trạng một thí sinh đi thi và thay số nhầm, mình chúc anh em Mathscope mai thi Hóa ngon lành 10 điểm nhé
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[dangvip123tb]

Em nghĩ câu hệ sau khi dùng bdt ta được đẳng thức (*) thì xét
_ y>3 thì từ pt 2 suy ra x>3 nhưng từ (*) lại suy ra x<3 vô lí.
_ y<3 ttu cũng vô lí.
Do đó x=y=3
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[tranhongviet]

Câu 9: (Đoán max=5/9)
Thay $1+yz=\frac{x^{2}+(y+z)^{2}}{2} $.
$P=\frac{x^{2}}{x^{2}+yz+x+1}+\frac{y+z}{x+y+z+1}-\frac{1+yz}{9} $
suy ra $P=\frac{x^{2}}{x^{2}+x+\frac{x^{2}+(y+z)^{2}}{2}}+ \frac{y+z}{x+y+z+1}-\frac{x^{2}+(y+z)^{2}}{18} $
Ta có :$x^{2}+(y+z)^{2}\geq \frac{(x+y+z)^{2}}{2} $
suy ra $P\leq \frac{x^{2}}{x^{2}+x+\frac{(x+y+z)^{2}}{4}}+\frac{ y+z}{x+y+z+1}-\frac{(x+y+z)^{2}}{36} $
Lại có:$x^{2}+\frac{(x+y+z)^{2}}{4}\geq x(x+y+z) $
suy ra
$P\leq \frac{x^{2}}{x+x(x+y+z)}+\frac{y+z}{x+y+z+1}-\frac{(x+y+z)^{2}}{36} $=$\frac{x+y+z}{x+y+z+1}-\frac{(x+y+z)^{2}}{36} $
Đặt $x+y+z=t $.
Ta sẽ chứng minh $P\leq \frac{5}{9} $
Nhưng bđt này luôn đúng vì nó tương đương với $\frac{t}{t+1}-\frac{t^{2}}{36}\leq \frac{5}{9} $<=> $(t-2)^{2}(t+5)\geq 0 $.
Vậy max = 5/9
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[CTK9]

Hic, mình cùng rất nhiều thằng bạn chết dưới tay câu cuối. Mình thì thấy việc thay $1 = \dfrac{x^2 + y^2 + z^2}{2}$ là gần như bắt buộc và rất mẹo mực. Mình muốn hỏi mọi người là liệu bài này có giải được khi giả thiết thay đổi, ví dụ như $x^2 + y^2 + z^2 = 3$ hay $x + y + z = 3$?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[portgas_d_ace]

Thì bài này thì người ra đề viết ngược lại mà
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[tranhongviet]

Nguyên văn bởi CTK9

Hic, mình cùng rất nhiều thằng bạn chết dưới tay câu cuối. Mình thì thấy việc thay $1 = \dfrac{x^2 + y^2 + z^2}{2}$ là gần như bắt buộc và rất mẹo mực. Mình muốn hỏi mọi người là liệu bài này có giải được khi giả thiết thay đổi, ví dụ như $x^2 + y^2 + z^2 = 3$ hay $x + y + z = 3$?

ý tưởng bài này chủ yếu là thay vào, nhưng bạn xem ,mình có thay $1 = \dfrac{x^2 + y^2 + z^2}{2} $ vào đâu. Ý tưởng chính là thấy cái $1+yz $ xuất hiện tới 2 lần, nên cố đưa nó về 1 biểu thức nào đó từ giả thiết. rồi chỉ dùng đánh giá cơ bản thôi.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[CTK9]

@tranhongviet: bạn đã thay vào để được $1 + yz = \dfrac{x^2 + (y+z)^2}{2}$.
Hic, mình thì ngu tới mức nghĩ rằng dấu bằng xảy ra khi $y=z$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[tranhongviet]

Nốt đề khối B, D :
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]