Ma trận đối xứng

[langtuthanhdon]

Chứng minh rằng nếu A là ma trận đối xứng cấp n thì tồn tại ma trận khả nghịch B sao cho $B-B^{-1}=A $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Li_Drag_on]

Nguyên văn bởi langtuthanhdon

Chứng minh rằng nếu A là ma trận đối xứng cấp n thì tồn tại ma trận khả nghịch B sao cho $B-B^{-1}=A $

Bài này ngộ phết ,cũng chỉ mới có ý tưởng chả biết có được không thôi thì cứ post : Cái đẳng thức tương đương với B^2 -AB-I =0 (*)
rồi do 1/4 A^2+I là một ma trận đối xứng dương nên tồn tại C đối xứng thoả mãn : C^2 = 1/4A^2+I ,rồi dễ thấy là AC= CA nên là nếu chọn B=A/2+(-)C thì ta có (*) . Lại thấy do A,C đối xứng nên B đối xứng nên có thể chéo hoá nên vấn đề là chọn cộng hay trừ để giá trị riêng không là 0 để cho B khả nghịch --> đến đây thì tịt !!
Ah với tớ 1 ma trận dương là ma trận có Sp dương nhé .
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Vũ Trung Bồn]

Vì A là ma trận đối xứng ,nên có n giá trị riêng trên R
Giả sử A chéo hóa thì Tồn tại P sao cho PAP^(-1)=C là ma trận đường chéo
có giá trị riêng c1,c2,..,cn
xét ma trận D là ma trận đường chéo có giá trị riêng d1,..,dn
di là nghiệm phương trình di-1/di=ci
ma trận B là PDP^(-1) thỏa mãn
còn bảo ma trận A không chéo hóa được em chịu
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]