German Mathematical Olympiad 2010 Class 12-13 Round 4 (National) 1st Day

[herr.casanova]

Bài 1.
Hai đường tròn $k $ và $l $ cắt nhau tại hai điểm phân biệt. Một tiếp tuyến chung của hai đường tròn tiếp xúc với $k $ tại $K $ và tiếp tuyến chung còn lại tiếp xúc với $l $ tại $L $. Chứng minh rằng đường thẳng $KL $ cắt hai đường tròn tạo nên hai dây cung có độ dài bằng nhau.

Bài 2.
$a,b,c $ là các số thực đôi một phân biệt. Chứng minh răng:
$\left ( \frac{2a-b}{a-b} \right )^2 + \left ( \frac{2b-c}{b-c} \right )^2 + \left ( \frac{2c-a}{c-a} \right )^2 \geq 5 $

Bài 3.
Một "câu chuyện vô hạn“ là một câu chuyện được viết trong một cuốn sách mà có bắt đầu chứ không có kết thúc. Các trang của cuốn sách được đánh số $1,2,3,\dots $.
Một tác giả muốn viết một câu chuyện vô hạn, mà ở đó trong mỗi trang một người lùn mới được giới thiệu. Những người lùn này thực hiện trên trang giấy một hoặc nhiều cuộc hội thoại, mỗi cuộc hội thoại có ít nhất hai người lùn (đã được giới thiệu) tham gia (gọi là một nhóm hội thoại). Số lượng các cuộc hội thoại trong một trang sách không bị giới hạn. Để cho cuốn sách thêm thú vị, nhà xuất bản yêu cầu tác giả phải thực hiện được yêu cầu sau:
Mỗi tập vô hạn các người lùn đều chứa một nhóm (ít nhất có hai người lùn) mà ở một thời điểm nào đó là một nhóm hội thoại, và chứa một nhóm có cùng số lượng người lùn mà không có bất kỳ thời điểm nào là một nhóm hội thoại.
Hỏi tác giả có thể thực hiện được yêu cầu của nhà xuất bản không?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[crystal_liu]

Xem lại đề bài một cái coi về K,L ấy
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[herr.casanova]

Nguyên văn bởi crystal_liu

Xem lại đề bài một cái coi về K,L ấy

Cám ơn bạn, mình đã sửa rồi
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Kratos]

Nguyên văn bởi herr.casanova

Bài 1.
Bài 2.
$a,b,c $ là các số thực đôi một phân biệt. Chứng minh răng:
$\left ( \frac{2a-b}{a-b} \right )^2 + \left ( \frac{2b-c}{b-c} \right )^2 + \left ( \frac{2c-a}{c-a} \right )^2 \geq 5 $

Ta viết lại BĐT như sau:

$\sum \left (1 + \dfrac{a}{a - b} \right)^2 \ge 5 \Leftrightarrow \sum \left (\dfrac{a}{a - b} \right)^2 + 2\sum \dfrac{a}{a - b} \ge 2 $

Đặt $x = \dfrac{a}{a - b}, y = \dfrac{b}{b - c}, z = \dfrac{c}{c - a} $. Dễ thấy $xyz = (x - 1)(y - 1)(z - 1) \Leftrightarrow x + y + z = xy + yz + zx + 1 $.

BĐT cần CM lúc này là $x^2 + y^2 + z^2 + 2(x + y + z) \ge 2 $. BĐT đúng do $x^2 + y^2 + z^2 + 2(x + y + z) = x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy + yz + zx + 1) = (x + y + z)^2 + 2 \ge 2 $. Phép chứng minh hoàn tất.

Với bài này nếu muốn che giấu bản chất bài toán có thể phát biểu như sau: CMR với 3 số thực $a, b, c $ đôi một phân biệt, ta luôn có $\sum \dfrac{5a^2 - 8ab + 5b^2}{(a - b)^2} > 10 $ hoặc $\sum \dfrac{5a^2 - 2ab + 2b^2}{(a - b)^2} > 7 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[novae]

Bài 1:
đặt tên các điểm như hình vẽ
ta có $KD=2R_1.\sin\frac{\widehat{KO_1D}}{2}=2R_1.\sin \widehat{DKL'}=2R_1.\sin\widehat{IKL} $
$LE=2R_2.\sin\frac{\widehat{LO_2E}}{2}=2R_2.\sin \widehat{ELK'}=2R_2.\sin\widehat{ILK} $
mặt khác, áp dụng định lý sin, ta có:
$\frac{\sin\widehat{IKL}}{\sin\widehat{ILK}}=\frac{ IL}{IK}=\frac{R_2}{R_1}\Rightarrow R_1.\sin\widehat{IKL}=R_2.\sin\widehat{ILK} $
do đó $KD=LE $ (đpcm)

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[herr.casanova]

Đúng như mong đợi là hai bài hình học và BĐT sẽ bị chém ngay. Mời cao kiến của các bạn về bài số 3 Đây là một bài toán khá hay
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]