Không gian con $C\left ( A \right )=\left \{ B | AB-BA=0 \right \}$

TheKiet · 19-11-2014, 06:12 AM

Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$, và $C\left ( A \right )=\left \{ B | AB-BA=0 \right \}$. Chứng minh rằng $C\left ( A \right )$ là không gian con của $M_{n\times n} \left ( \mathbb{C} \right )$ và $\dim C\left ( A \right ) \geq n$.

Phần không gian con thì dễ.
Còn đánh giá số chiều thì mình xét ánh xạ
$$f:B \mapsto AB-BA$$
nhưng vẫn không có hướng nào để đánh giá $Ker f$.

1110004 · 19-11-2014, 09:31 AM

Phần không gian con (luột nhai nuốt hihihi)
Do $B$ thỏa $AB-BA=0$ nên $B$ là ma trận cấp $n$

Ta thấy các ma trận:$B_{11}=\begin{pmatrix}1 & 0 & ... & 0\\ 0 & 0 & ... &0 \\ 0 & 0& ... & 0\\ 0 & 0& ...&0 \end{pmatrix}$,$ B_{12}\begin{pmatrix}0 & 0 & ... & 0\\ 0 & 1 & ... &0 \\ 0 & 0& ... & 0\\ 0 & 0& ...&0 \end{pmatrix}$....$B_{nn}=\begin{pmatrix}0 & 0 & ... & 0\\ 0 & 0 & ... &0 \\ 0 & 0& ... & 0\\ 0 & 0& ...&1 \end{pmatrix}$

là $n$ ma trận độc lập tuyến tính thuộc vào $C(A)$ vì vậy $dimC(A)\geq n$.
p/s: Gõ sai hoài làm biếng thấy sợ

99 · 19-11-2014, 02:13 PM

Chú thử tìm đọc phần Kronecker product trong Horn&Johnson, topics in matrix analysis xem sao? Mấy phương trình ma trận này trong ý họ có vẻ giải quyết đc hết rồi.

**novae** · 19-11-2014, 02:53 PM

Trích:

Nguyên văn bởi 1110004

Phần không gian con (luột nhai nuốt hihihi)
Do $B$ thỏa $AB-BA=0$ nên $B$ là ma trận cấp $n$

Ta thấy các ma trận:$B_{11}=\begin{pmatrix}1 & 0 & ... & 0\\ 0 & 0 & ... &0 \\ 0 & 0& ... & 0\\ 0 & 0& ...&0 \end{pmatrix}$,$ B_{12}\begin{pmatrix}0 & 0 & ... & 0\\ 0 & 1 & ... &0 \\ 0 & 0& ... & 0\\ 0 & 0& ...&0 \end{pmatrix}$....$B_{nn}=\begin{pmatrix}0 & 0 & ... & 0\\ 0 & 0 & ... &0 \\ 0 & 0& ... & 0\\ 0 & 0& ...&1 \end{pmatrix}$

là $n$ ma trận độc lập tuyến tính thuộc vào $C(A)$ vì vậy $dimC(A)\geq n$.
p/s: Gõ sai hoài làm biếng thấy sợ

Bạn kiểm tra lại đi nhé, nếu chọn các ma trận $B$ như trên thì chúng có thể không nằm trong $C(A)$ với $A$ tùy ý.

99 · 19-11-2014, 03:12 PM

[Only registered and activated users can see links. ] một lần mình cũng nói bài tập kiểu này ở topic khác, tức là đã có lúc nghĩ nhưng chưa ra. Hồi ý mình đọc cuốn của Steve Roman, Advanced Linear algebra, nhưng mình nghĩ cái Kronecker product mới giải quyết trọn vẹn.

Bạn nào mà làm được thì chia sẻ lại cho anh em nhé

**portgas_d_ace** · 19-11-2014, 05:33 PM

1110004
Bạn down cái file này về sẽ có lời giải trong đó.
https://www.mediafire.com/?u0roa8ox7w169ib
Không biết up file nên up link, mong mọi người thông cảm.

99 · 04-06-2015, 01:44 AM

Nếu các bạn còn quan tâm tới không gian $C(A),$ gọi tạm là giao hoán tử (commutant) của $A$ thì không gian này đã có thể tính chính xác số chiều nhờ lý thuyết module trên vành chính. Mình tình cờ đọc được và chép lại lên [Only registered and activated users can see links. ].

19-11-2014, 06:12 AM	#1
TheKiet +Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2010 Đến từ: Đâu chả được Bài gởi: 58 Thanks: 17 Thanked 34 Times in 25 Posts	Không gian con $C\left ( A \right )=\left \{ B \| AB-BA=0 \right \}$ Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$, và $C\left ( A \right )=\left \{ B \| AB-BA=0 \right \}$. Chứng minh rằng $C\left ( A \right )$ là không gian con của $M_{n\times n} \left ( \mathbb{C} \right )$ và $\dim C\left ( A \right ) \geq n$. Phần không gian con thì dễ. Còn đánh giá số chiều thì mình xét ánh xạ $$f:B \mapsto AB-BA$$ nhưng vẫn không có hướng nào để đánh giá $Ker f$. __________________ Nothing is impossible!

19-11-2014, 09:31 AM	#2
1110004 +Thành Viên+ Tham gia ngày: Feb 2012 Bài gởi: 140 Thanks: 296 Thanked 62 Times in 36 Posts	Phần không gian con (luột nhai nuốt hihihi) Do $B$ thỏa $AB-BA=0$ nên $B$ là ma trận cấp $n$ Ta thấy các ma trận:$B_{11}=\begin{pmatrix}1 & 0 & ... & 0\\ 0 & 0 & ... &0 \\ 0 & 0& ... & 0\\ 0 & 0& ...&0 \end{pmatrix}$,$ B_{12}\begin{pmatrix}0 & 0 & ... & 0\\ 0 & 1 & ... &0 \\ 0 & 0& ... & 0\\ 0 & 0& ...&0 \end{pmatrix}$....$B_{nn}=\begin{pmatrix}0 & 0 & ... & 0\\ 0 & 0 & ... &0 \\ 0 & 0& ... & 0\\ 0 & 0& ...&1 \end{pmatrix}$ là $n$ ma trận độc lập tuyến tính thuộc vào $C(A)$ vì vậy $dimC(A)\geq n$. p/s: Gõ sai hoài làm biếng thấy sợ thay đổi nội dung bởi: 1110004, 19-11-2014 lúc 09:54 AM

19-11-2014, 05:33 PM	#6
portgas_d_ace Super Moderator Tham gia ngày: Jul 2012 Đến từ: HCMUS Bài gởi: 506 Thanks: 160 Thanked 189 Times in 160 Posts	1110004 Bạn down cái file này về sẽ có lời giải trong đó. https://www.mediafire.com/?u0roa8ox7w169ib Không biết up file nên up link, mong mọi người thông cảm. __________________ - Đừng cố gắng trở thành một con người thành công, mà hãy trở thành một con người có giá trị -

19-11-2014, 02:13 PM	#3
99 +Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2007 Bài gởi: 2,995 Thanks: 537 Thanked 2,429 Times in 1,376 Posts	Chú thử tìm đọc phần Kronecker product trong Horn&Johnson, topics in matrix analysis xem sao? Mấy phương trình ma trận này trong ý họ có vẻ giải quyết đc hết rồi.

19-11-2014, 03:12 PM	#5
99 +Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2007 Bài gởi: 2,995 Thanks: 537 Thanked 2,429 Times in 1,376 Posts	[Only registered and activated users can see links. ] một lần mình cũng nói bài tập kiểu này ở topic khác, tức là đã có lúc nghĩ nhưng chưa ra. Hồi ý mình đọc cuốn của Steve Roman, Advanced Linear algebra, nhưng mình nghĩ cái Kronecker product mới giải quyết trọn vẹn. Bạn nào mà làm được thì chia sẻ lại cho anh em nhé

04-06-2015, 01:44 AM	#7
99 +Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2007 Bài gởi: 2,995 Thanks: 537 Thanked 2,429 Times in 1,376 Posts	Nếu các bạn còn quan tâm tới không gian $C(A),$ gọi tạm là giao hoán tử (commutant) của $A$ thì không gian này đã có thể tính chính xác số chiều nhờ lý thuyết module trên vành chính. Mình tình cờ đọc được và chép lại lên [Only registered and activated users can see links. ].