|
|
|
Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé ! * Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope * Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây |
| Ðiều Chỉnh | Xếp Bài |
|
16-09-2019, 11:38 PM | #1 |
Administrator Tham gia ngày: Nov 2007 Bài gởi: 30 Thanks: 110 Thanked 183 Times in 68 Posts | Đề thi các trường chuyên và các tỉnh năm học 2019-2020-Lời giải và bình luận Thời điểm này, nhiều tỉnh và các trường chuyên đã và đang hoàn tất việc thi chọn đội tuyển học sinh giỏi tham dự VMO. Tiếp nối truyền thống nhiều năm trước, trang www.mathscope.org kết hợp với phong trào BM2E lại mở chuyên mục này. Công việc này, không có mục đích nào lớn hơn là để các thầy cô và các bạn học sinh có một nguồn tư liệu tham khảo hữu ích. Các bài toán sẽ được chia ra làm các thể loại như sau:
Các bài toán và lời giải-bình luận, sẽ được chúng tôi tổng hợp lại thành 1 file pdf. Bây giờ xin bắt đầu bằng chủ đề Số Học. Các bài toán Số Học
Sẽ update thường xuyên.. thay đổi nội dung bởi: Hải Thụy, 07-10-2019 lúc 11:59 PM |
17-09-2019, 01:30 AM | #2 |
Administrator Tham gia ngày: Nov 2007 Bài gởi: 30 Thanks: 110 Thanked 183 Times in 68 Posts | Các bài toán Đại Số
Sẽ update thường xuyên.. thay đổi nội dung bởi: Hải Thụy, 12-10-2019 lúc 12:27 AM |
17-09-2019, 07:50 AM | #3 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Oct 2017 Bài gởi: 93 Thanks: 1 Thanked 68 Times in 45 Posts | Trích:
Giả sử $a,\,b\in\mathbb R$ thỏa mãn $f(a)=f(b)$, từ $\cal P(a,\,b)$ và $\cal P(b,\,a)$ có\[2f\left( a \right) + b = 2f\left( b \right) + a.\]Từ đây $a=b$, nói khác đi $f$ là đơn ánh, lại từ $\cal P\left(x,\,-f(x)\right)$ ta có\[f\left( {f\left( x \right) + 2f\left( { - f\left( x \right)} \right)} \right) = f\left( { - f\left( x \right)} \right).\]Từ tính đơn ánh của $f$, có\[f\left( x \right) + 2f\left( { - f\left( x \right)} \right) = - f\left( x \right).\]Nghĩa là có $f\left( { - f\left( x \right)} \right) = - f\left( x \right),\;(*)$, lại từ $\cal P\left(-f(x),\,x\right)$ có\[f\left( {f\left( x \right)} \right) = f\left( {f\left( { - f\left( x \right)} \right) + 2f\left( x \right)} \right) = f\left( { - f\left( x \right)} \right) + x + f\left( x \right) = x.\]Kết hợp điều vừa có với $(*)$, là ta có $f(x)=x$ với mọi $x\in\mathbb R$. | |
17-09-2019, 09:06 AM | #4 |
Administrator | Yêu cầu của bài 6, 7 trong phần đại số cần đổi chỗ cho nhau. |
The Following User Says Thank You to namdung For This Useful Post: | Le khanhsy (18-09-2019) |
17-09-2019, 10:11 AM | #5 | |||||||
Super Moderator Tham gia ngày: Oct 2017 Bài gởi: 48 Thanks: 52 Thanked 57 Times in 30 Posts | Trích:
Trích:
Trích:
Trích:
Trích:
Trích:
Trích:
thay đổi nội dung bởi: Hải Thụy, 15-10-2019 lúc 12:28 AM | |||||||
The Following User Says Thank You to Le khanhsy For This Useful Post: | MATHSCOPE (20-09-2019) |
18-09-2019, 11:53 AM | #6 | |
Super Moderator Tham gia ngày: Oct 2017 Bài gởi: 48 Thanks: 52 Thanked 57 Times in 30 Posts | Trích:
Đặt $x=2 cost$ với $t\in \left[0,\pi\right]$. Phương trình viết lại như sau $$cos(3t)+cos(2t)=2\left|cos\dfrac{t}{2}\right|,$$ hay là $$cos\left(\dfrac{5t}{2}\right).cos\left(\dfrac{t} {2}\right)=cos\dfrac{t}{2},$$ Trường hợp $cos\left(\dfrac{t}{2}\right)=0$ ta được $cost=-1$ hay $x=-2$. Trường hợp $cos\left(\dfrac{5t}{2}\right)=1$ ta được $t=0;\dfrac{4\pi}{5}$, hay $x=\left\{2;2cos\left(\dfrac{4\pi}{5}\right)\right \}$. | |
The Following User Says Thank You to Le khanhsy For This Useful Post: | MATHSCOPE (20-09-2019) |
17-09-2019, 10:14 AM | #7 | |
Super Moderator Tham gia ngày: Nov 2007 Đến từ: BH Bài gởi: 212 Thanks: 135 Thanked 345 Times in 92 Posts | Trích:
\begin{equation*} f(0)= f\left(\dfrac{x^2}{2}\right) + x^2, \, \forall x \in \mathbb R \end{equation*} hay \begin{equation*} f(t)= -2t +c, \, \forall t\geq 0. \tag{2} \end{equation*} Thay $y=1$ vào (1), ta thu được \begin{equation*} f(x)= f\left(\dfrac{x^2+1}{2}\right) + (x-1)^2, \, \forall x \in \mathbb R.\tag{3} \end{equation*} Từ (2) và (3) suy ra \begin{equation*} f(x)=f\left(\dfrac{x^2+1}{2}\right) + (x-1)^2= -2\cdot\dfrac{x^2+1}{2} + c + (x-1)^2= c- 2x, \, \forall x \in \mathbb R. \end{equation*} Thử lại ta thấy hàm $f(x)= c -2x$ thoả mãn các điều kiện bài ra. p/s: Bài này hình như tính liên tục không có ý nghĩa? | |
The Following User Says Thank You to nguyentatthu For This Useful Post: | MATHSCOPE (20-09-2019) |
17-09-2019, 08:17 PM | #8 | |
Super Moderator Tham gia ngày: Oct 2017 Bài gởi: 48 Thanks: 52 Thanked 57 Times in 30 Posts | Trích:
$$2\sqrt{3x-1}\sqrt{x(x^2+2)}=4x^2-x+2,$$ hay là $$2\sqrt{3x^2-x}\sqrt{x^2+2}=4x^2-x+2,$$ $$\left(\sqrt{x^2+2}-\sqrt{3x^2-x} \right)^2=0.$$ So sánh điều ta được $x=\dfrac{1+\sqrt{17}}{4}.$ | |
The Following User Says Thank You to Le khanhsy For This Useful Post: | MATHSCOPE (20-09-2019) |
18-09-2019, 12:55 AM | #9 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: May 2017 Bài gởi: 19 Thanks: 2 Thanked 3 Times in 3 Posts | Trích:
3 - 4{r^{2n}} &= 4\sum\limits_{0 \le k \le 2n - 1} {{r^k} = 4\left( {\frac{{{r^{2n}} - 1}}{{r - 1}}} \right).} \\ \left( {2n + 1} \right){r^{2n}} &= \sum\limits_{0 \le k \le 2n} {{r^k} = {r^{2n}} + \left( {\frac{{{r^{2n}} - 1}}{{r - 1}}} \right).} \end{array}\]Kết hợp lại, ta sẽ rút ra được\[{r^{2n}} = \frac{3}{{4 + 8n}},\;\;\,r = - \frac{{2n + 1}}{{6n}}.\]Vậy là có\[{\left( {\frac{{2n + 1}}{{6n}}} \right)^{2n}} = \frac{3}{{4\left( {2n + 1} \right)}}.\]Kéo theo\[4{\left( {2n + 1} \right)^{2n + 1}} = 3{\left( {6n} \right)^{2n}}.\]So sánh bậc của $2$ trong phân tích ra thừa số nguyên tố của hai vế, ta có điều cần chứng minh. | |
18-09-2019, 03:39 AM | #10 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Oct 2017 Bài gởi: 93 Thanks: 1 Thanked 68 Times in 45 Posts | Trích:
thay đổi nội dung bởi: Thụy An, 18-09-2019 lúc 03:42 AM | |
18-09-2019, 10:40 AM | #11 | |
Super Moderator Tham gia ngày: Oct 2017 Bài gởi: 48 Thanks: 52 Thanked 57 Times in 30 Posts | Trích:
Trường hợp 1. Nếu $x+y=0$ ta thấy ngay hệ vô nghiệm vì $1=xy+z(x+y)=xy\le 0$. Trường hợp 2. Nếu $y+z=0$ tương tự hệ cũng vô nghiệm. Trường hợp 3. Hệ viết lại như sau $$ \left\{\begin{array}{c}{z+2y-x=0}, \\ {3z+x-2y=0}. \\ {x y+y z+z x=1}\end{array}\right.$$ Bằng phương pháp thế chúng ta thu được $(x,y,z)=\left(-\sqrt{2},-\dfrac{1}{\sqrt{2}},0 \right)$ và $(x,y,z)=\left(\sqrt{2},\dfrac{1}{\sqrt{2}},0 \right)$. | |
The Following User Says Thank You to Le khanhsy For This Useful Post: | MATHSCOPE (20-09-2019) |
18-09-2019, 05:42 PM | #13 |
Administrator Tham gia ngày: Nov 2007 Bài gởi: 30 Thanks: 110 Thanked 183 Times in 68 Posts | |
The Following User Says Thank You to MATHSCOPE For This Useful Post: | Le khanhsy (19-09-2019) |
19-09-2019, 11:49 AM | #14 | |
Super Moderator Tham gia ngày: Oct 2017 Bài gởi: 48 Thanks: 52 Thanked 57 Times in 30 Posts | Chọn đội tuyển hồ chí minh 2019 Trích:
$$2(c^2+d^2)\ge (c+d)^2.$$ Vì thế chúng ta cần chứng minh bất đẳng thức $$4(1-a)(1-b)\ge 2(1-a^2-b^2),$$ hay $$2(a+b-1)^2\ge 0. $$ Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng. Hoàn tất chứng minh | |
The Following User Says Thank You to Le khanhsy For This Useful Post: | MATHSCOPE (20-09-2019) |
18-09-2019, 07:49 PM | #15 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Oct 2017 Bài gởi: 93 Thanks: 1 Thanked 68 Times in 45 Posts | Trích:
Xét $f(x)=2x^2-4x$, ta có $f\left(\mathbb R\right)=\left[-2;\,+\infty\right)$ vì thế mỗi nghiệm $r$ của $P(f(x))$ sẽ ứng với duy nhất nghiệm là $f(r)\in \left(-2;\,+\infty\right)$ (do $f(r)\ne 0$). Đảo lại, mỗi nghiệm $x_r\in \left(-2;\,+\infty\right)$ của $P(x)$ sẽ ứng với đúng hai nghiệm của $P(f(x))$ là\[{r_1} = 1 + \sqrt {\frac{{2 + {x_r}}}{2}} ,\;\;\,{r_2} = 1 - \sqrt {\frac{{2 + {x_r}}}{2}} .\]Vậy là sẽ có đẳng thức\[2692 = {{\cal N}_{P\left( f \right)}}\left(\mathbb R \right) = 2{{\cal N}_P}\left( {\left( { - 2;{\mkern 1mu} + \infty } \right)} \right).\]Vậy là có được ${{\cal N}_P}\left( {\left( { - 2;{\mkern 1mu} + \infty } \right)} \right)=1346$, cũng tương tự để có ${{\cal N}_P}\left( {\left( { -\infty;\,2 } \right)} \right)=1346$, đến đây ta có được\[\begin{array}{l} {{\cal N}_P}\left( {\left( { - \infty ;{\mkern 1mu} - 2} \right)} \right) = {{\cal N}_P}\left( \mathbb R \right) - {{\cal N}_P}\left( {\left( { - 2;{\mkern 1mu} + \infty } \right)} \right) = 673.\\ {{\cal N}_P}\left( {\left( {{\mkern 1mu} 2;{\mkern 1mu} + \infty } \right)} \right) = {{\cal N}_P}\left( \mathbb R \right) - {{\cal N}_P}\left( {\left( { - \infty ;{\mkern 1mu} \,2} \right)} \right) = 673. \end{array}\]Cho nên số nghiệm trên $(-2;\,2)$ của $P(x)$ là\[{{\cal N}_P}\left( {\left( {{\mkern 1mu} - 2;\,2} \right)} \right) = {{\cal N}_P}\left( \mathbb R \right) - {{\cal N}_P}\left( {\left( { - \infty ;{\mkern 1mu} \, - 2} \right)} \right) - {{\cal N}_P}\left( {\left( {{\mkern 1mu} 2;{\mkern 1mu} + \infty } \right)} \right) = 673.\] Bây giờ ta xét các đa thức\[A\left( x \right) = \prod\limits_{a \in {{\cal N}_P}\left( {\left( { - \infty ;{\mkern 1mu} \, - 2} \right)} \right)} {\left( {x - a} \right),\;\;\,} B\left( x \right) = \prod\limits_{b \in {{\cal N}_P}\left( {\left( { - 2;{\mkern 1mu} \,2} \right)} \right)} {\left( {x - b} \right),\;\;\,C\left( x \right) = \prod\limits_{c \in {{\cal N}_P}\left( {\left( {2;{\mkern 1mu} + \infty } \right)} \right)} {\left( {x - c} \right).} } \]Thế thì $\deg A=\deg B=\deg C=673$ và đồng thời có được\[P(x)=A(x)B(x)C(x).\]Thêm nữa với $a \in {{\cal N}_P}\left( {\left( { - \infty ;{\mkern 1mu} \, - 2} \right)} \right),\:b \in {{\cal N}_P}\left( {\left( { - 2;{\mkern 1mu} \,2} \right)} \right),\:c \in {{\cal N}_P}\left( {\left( {2;{\mkern 1mu} + \infty } \right)} \right)$ và $x\in (-1;\,1)$ thì\[\left| {x - b} \right| < \max \left\{ {\left| {x - a} \right|,\:\left| {x - c} \right|} \right\} < \left| {x - a} \right|\left| {x - c} \right|.\] Ta hoàn chỉnh chứng minh. | |
The Following User Says Thank You to Thụy An For This Useful Post: | nmd2708 (23-09-2019) |
Bookmarks |
|
|