Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Đại Học Và Sau Đại Học/College Playground > Chuyên đề/Seminars > Sưu tầm các kết quả

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 08-05-2012, 09:58 PM   #1
batigoal
Super Moderator
 
batigoal's Avatar
 
Tham gia ngày: Jul 2010
Đến từ: Hà Nội
Bài gởi: 2,894
Thanks: 382
Thanked 2,967 Times in 1,295 Posts
Một số kết quả đẹp về số Pi ($\pi$)

Chào các bạn. Sau một thời gian tạm nghỉ với toán sơ cấp, Thời gian qua batigoal cũng đã tìm hiểu thêm về số Pi và cũng đã tìm hiểu thu được một số kết quả rất đẹp như sau: . Đây là bài viết ủng hộ topic này http://forum.mathscope.org/showthrea...418#post147418 như đã nói.
Chắc hăn nhiều bạn trong chúng ta đều biết đến tổng nổi tiếng này $\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{i^2}=\frac{\pi }{6}
$ nhưng bên cạnh đó còn có một số kết quả ấn tượng liên quan đến số $\pi$. Sau đây là 1 số kết quả như thế.

Một số đẳng thức đẹp về số $\pi$ . Việc chứng minh xin dành cho bạn đọc cho topic thêm xôm.
$$\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{i^2}=\frac{\pi }{6}$$
$$\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{i^4}=\frac{\pi ^4}{90}$$
$$\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{i^6}=\frac{\pi^6 }{945}$$
$$\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{(2i-1)^2}=\frac{\pi^2 }{8}$$
$$\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{(2i-1)^4}=\frac{\pi^4 }{96}$$
$$\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{(2i-1)^6}=\frac{\pi^6 }{960}$$
$$\sum_{i=1}^{\infty}\frac{(-1)^{i+1}}{i^2}=\frac{\pi^2 }{12}$$
$$\sum_{i=1}^{\infty}\frac{(-1)^{i+1}}{i^4}=\frac{7\pi^4 }{30240}$$
$$\sum_{i=1}^{\infty}\frac{(-1)^{i+1}}{i^6}=\frac{31\pi^6}{12}$$

$$\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{\binom{2i}{i}}=\frac {1}{3}+\frac{2\pi }{9\sqrt{3}}$$
$$\sum_{i=1}^{\infty}\frac{i}{\binom{2i}{i}}=\frac {2}{3}+\frac{2\pi }{9\sqrt{3}}$$
$$\sum_{i=1}^{\infty}\frac{i^2}{\binom{2i}{i}}=
\frac{4}{3}+\frac{10\pi }{27\sqrt{3}}$$
$$\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{i\binom{2i}{i}}=
\frac{\pi }{3\sqrt{3}}$$
$$\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{i^2\binom{2i}{i}}=
\frac{\pi^2 }{18}$$
$$\sum_{i=1}^{\infty}\frac{2-i}{i^2\binom{2i}{i}}=\frac{2\pi }{9\sqrt{3}}$$
(Còn nữa...)
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
“ Sức mạnh của tri thức là sự chia sẻ tri thức”

[Only registered and activated users can see links. ]

thay đổi nội dung bởi: batigoal, 15-05-2012 lúc 08:30 PM Lý do: Cập nhật và bổ sung thêm
batigoal is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 13 Users Say Thank You to batigoal For This Useful Post:
99 (09-05-2012), CTK9 (17-08-2013), happy fly (11-05-2013), Highschoolmath (08-05-2012), magician_14312 (09-05-2012), n.v.thanh (08-05-2012), navibol (08-05-2012), pco (09-05-2012), Phudinhgioihan (17-11-2012), teamo (01-06-2012), tienanh_tx (15-05-2012), Trầm (08-05-2012), vanthanh0601 (10-08-2012)
Old 09-05-2012, 01:49 AM   #2
magician_14312
Moderator
 
magician_14312's Avatar
 
Tham gia ngày: Jan 2011
Đến từ: Solar System
Bài gởi: 367
Thanks: 201
Thanked 451 Times in 220 Posts
Các ví dụ đầu tiên có thể dùng chuỗi Fourier để chứng minh.

VD1. $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$

Xét $f(x)=x^2$ là hàm chẵn, liên tục trên $\mathbb{R}$. Khai triển hàm này theo chu kì $2\pi$, trong khoảng $[-\pi;\pi]$.
Các hệ số $b_n=0$, các hệ số còn lại là:
$$a_0=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}x^2dx=\frac{2}{3} \pi ^2$$
$$\begin{align*}
a_n&=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}x^2 \cos nxdx \\
&=\left .\frac{2}{\pi}x^2.\frac{\sin nx}{n} \right | _{0}^{\pi}-\frac{4}{n\pi}\int_{0}^{\pi}x \sin nx dx\\
&= \left .\frac{4}{n\pi}x .\frac{\cos nx}{n} \right |_{0}^{\pi} \\
&=\frac{4}{n^2} \cos n\pi = \frac{(-1)^n .4}{n^2}
\end{align*}$$
Vậy ta có khai triển
$$x^2=\frac{\pi^2}{3}+4\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n.\frac{\cos nx}{n^2}\,\ -\pi \le x \le \pi.$$
Cho $x=\pi$, ta thu được tổng chuỗi số $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}.$
_______________________

Với VD2, ta cũng khai triển hàm số $f(x)=x^4$ thành chuỗi Fourier tương tự như trên:
$$a_0=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}x^4=\frac{2}{5} \pi ^4$$
$$a_n=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}x^4 \cos nx dx
= \frac{8 (\pi^2 n^2-6)\cos n\pi}{n^4}$$
Ta được khai triển
$$x^4=\frac{1 }{5}\pi ^4+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{8(\pi^2n^2-6)(-1)^n}{n^4}\cos nx
$$
Cho $x=\pi$ ta được
$$\pi^4=\frac{1 }{5}\pi ^4+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{8(\pi^2n^2-6)}{n^4}
\Leftrightarrow \frac{4}{5} \pi^4=8\pi^2 \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}-48 \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^4}$$
Sử dụng kết quả ở ví dụ 1, thay vào được kết quả $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^4}=\frac{\pi^2}{90}. $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
...THE MILKY WAY...

thay đổi nội dung bởi: magician_14312, 09-05-2012 lúc 01:54 AM
magician_14312 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 3 Users Say Thank You to magician_14312 For This Useful Post:
batigoal (09-05-2012), pco (09-05-2012), teamo (01-06-2012)
Old 09-05-2012, 02:08 AM   #3
Carles Puyol
+Thành Viên+
 
Carles Puyol's Avatar
 
Tham gia ngày: Apr 2008
Bài gởi: 44
Thanks: 8
Thanked 34 Times in 20 Posts
Mọi người có thể tham khảo thêm cuốn này, hồi xưa mình đọc trong lúc làm khóa luận tốt nghiệp, thấy cũng có nhiều chi tiết hay, kiến thức thì không đòi hỏi nhiều, chỉ đòi hỏi tích phân Riemann.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________

Carles Puyol is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 2 Users Say Thank You to Carles Puyol For This Useful Post:
batigoal (09-05-2012), pco (09-05-2012)
Old 09-05-2012, 06:43 PM   #4
batigoal
Super Moderator
 
batigoal's Avatar
 
Tham gia ngày: Jul 2010
Đến từ: Hà Nội
Bài gởi: 2,894
Thanks: 382
Thanked 2,967 Times in 1,295 Posts
Ngoài cách dùng chuỗi Fourier của magician_14312 Mấy đẳng thức đầu có thể dùng hàm Zeta để chứng minh http://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_zeta_function.
Đặc biệt kết quả $\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{i^2}=\frac{\pi }{6}$ trên thế giới người ta đã tìm ra tới 16 cách chứng minh khác nhau.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
“ Sức mạnh của tri thức là sự chia sẻ tri thức”

[Only registered and activated users can see links. ]

thay đổi nội dung bởi: batigoal, 09-05-2012 lúc 06:46 PM
batigoal is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 09-05-2012, 08:37 PM   #5
123456
+Thành Viên+
 
123456's Avatar
 
Tham gia ngày: May 2008
Đến từ: Kim Nỗ quê tôi một xóm nghèo
Bài gởi: 705
Thanks: 13
Thanked 611 Times in 407 Posts
Thử tính
$$\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{\binom{2i}{i}} =\frac{1}{3}+\frac{2\pi}{9\sqrt{3}}.$$
Đặt $C_n=\frac{1}{\binom{2n}{n}}, n\geq 1$ và $C_0=1$. Xét chuỗi
$$h(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{C_n}{2n+1}x^{2n+1} +2.$$
Ta có $h$ là hàm khả vi liên tục trên $(-2,2)$, $h(0)=2$ và
$$h'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}C_nx^{2n}.$$
$h'(1)$ là giá trị của chuỗi cần tính. Do
$$C_n=\frac{1}{4}C_{n-1}+\frac{1}{4(2n-1)}C_{n-1},$$
nên
$$h'(x)=\frac{x^2}{4}h'(x)+\frac{x}{4}h(x)+\frac{x ^2-x}{2}$$
hay
\begin{equation}\label{de}
h'(x)(4-x^2)-xh(x)-2(x^2-x)=0.
\end{equation}
Nghiệm của phương trình thuần nhất tương ứng với phuơng trình trên có dạng $\frac{4}{\sqrt{4-x^2}}$, do đó ta tìm nghiệm của phuơng trình dạng $h(x)=\frac{4C(x)}{\sqrt{4-x^2}}$ với điều kiện $h(0)=2$. từ đó tính được $h(1)$ suy ra $h'(1)$.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
123456 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 3 Users Say Thank You to 123456 For This Useful Post:
batigoal (11-05-2012), magician_14312 (09-05-2012), tienanh_tx (15-05-2012)
Old 09-07-2012, 10:33 PM   #6
magician_14312
Moderator
 
magician_14312's Avatar
 
Tham gia ngày: Jan 2011
Đến từ: Solar System
Bài gởi: 367
Thanks: 201
Thanked 451 Times in 220 Posts
Lời giải cho 3 đẳng thức đầu tiên bằng công cụ là chuỗi số. Vì $0 \le x <1$, ta có:
$$\frac{\sin \pi x}{\pi x}=\prod_{n=1}^{\infty}\left ( 1-\frac{x^2}{n^2} \right )$$
Lấy $\ln$ cẩ 2 vế, ta thu được:
$$\ln \frac{\sin \pi x}{\pi x} =\sum_{n=1}^{\infty}\left ( 1-\frac{x^2}{n^2} \right )$$
Sử dụng khai triển Taylor cho hàm số $\displaystyle \ln(1-z)=-\sum_{m=1}^{\infty}\frac{1}{m}x^m$, có được $\displaystyle \ln(1-\frac{x^2}{n^2})=-\sum_{m=1}^{\infty}\frac{1}{m}\frac{x^{2m}}{n^{2m} }$. Do đó,
$$\sum_{n=1}^{\infty}\ln(1-\frac{x^2}{n^2})=-\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{m=1}^{\infty}\frac{1}{m} \frac{x^{2m}}{n^{2m}}$$
Dễ thấy chuỗi kép trên hội tụ, do đó:
$$\begin{align*}
&-\ln\frac{\sin \pi x}{\pi x}=-\sum_{n=1}^{\infty}\left ( 1-\frac{x^2}{n^2} \right )=\sum_{m=1}^{\infty}\left ( \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2m}} \right )\frac{x^{2m}}{m}\\
&= x^2.\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}+\frac{x^4}{2}.\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^4}+\frac{x^6}{3} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^6}+... \,\ (1)
\end{align*}$$
Mặt khác, sử dụng khai triển Taylor, ta lại được:
$$\begin{align*}
-\ln \frac{\sin \pi x}{\pi x} &=-\ln\left [ 1-\left ( \frac{\pi^2 x^2}{2!} -\frac{\pi^4 x^4}{4!}+\frac{\pi^6 x^6}{6!}+...\right ) \right ] \\
&= \left ( \frac{\pi^2 x^2}{2!} -\frac{\pi^4 x^4}{4!}+\frac{\pi^6 x^6}{6!}+...\right )+\frac{1}{2}\left ( \frac{\pi^2 x^2}{2!} -\frac{\pi^4 x^4}{4!}+\frac{\pi^6 x^6}{6!}+...\right )^2+...\\
&= \frac{\pi^2}{3!}x^2+\left ( -\frac{\pi^4}{5!} +\frac{\pi^4}{2.(3!)^2}\right )x^4+\left ( \frac{\pi^6}{7}-\frac{\pi^6}{3!.5!}+\frac{\pi^6}{3.(3!)^3} \right )x^6\\
&=\frac{\pi^2 x^2}{6}+\frac{\pi^4 x^4}{180}+\frac{\pi^6 x^6}{2835}+... \,\ (2)
\end{align*}$$
Cho vế trái của (1) và (2) bằng nhau, ta có:
$$\frac{\pi^2 x^2}{6}+\frac{\pi^4 x^4}{180}+\frac{\pi^6 x^6}{2835}+... =x^2 \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}+\frac{x^4}{2}\sum _{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^4}+\frac{x^6}{3}\sum_{n= 1}^{\infty}\frac{1}{n^6}+...$$
So sánh hệ số của số hạng có chưa $x$, ta thu được các đẳng thức:
$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6} , \,\ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^4}=\frac{\pi^4}{90}, \,\ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^6}=\frac{\pi^6}{945} .$$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
...THE MILKY WAY...

thay đổi nội dung bởi: magician_14312, 09-07-2012 lúc 10:37 PM
magician_14312 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 08:10 PM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2017, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 71.97 k/80.53 k (10.63%)]