Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Đại Học Và Sau Đại Học/College Playground > Đại Số/Algebra

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 17-11-2017, 04:52 PM   #1
zinxinh
Café Noir
 
zinxinh's Avatar
 
Tham gia ngày: Jan 2009
Bài gởi: 189
Thanks: 60
Thanked 65 Times in 42 Posts
Cyclotomic polynomial

Cho p là số nguyên tố dạng 4n+1. Thì $ \frac{x^{p}-1}{x-1}=U^{2}(x)-p.x.V^{2}(x) $
$ U(x),V(x) $ có hệ số nguyên

Trước khi đến với mục này các bạn phải dùng đến kiến thức của lý thuyết Galois
$ Z_{n} $={$(i/(i,n)=1,0<i<n) $. $ Z_{n} $} là nhóm với phép nhân modulo n có $ \phi(n)$ phần tử, $ \epsilon =cos(\frac {2\pi}{n})+i sin(\frac {2\pi}{n})$
Cyclotomic polynomial là đa thức được định nghĩa: $\Pi (x-\epsilon^{k}) ,k $ thuộc $ Z_{n} $.Đa thức này là đa thức bất khả quy trên Z
Nên nhắc lại đến ký hiệu Jacobi
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: zinxinh, 17-11-2017 lúc 05:23 PM Lý do: Tự động gộp bài
zinxinh is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 18-11-2017, 01:58 PM   #2
2M
thảo dân
 
2M's Avatar
 
Tham gia ngày: Nov 2007
Bài gởi: 185
Thanks: 105
Thanked 506 Times in 145 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi zinxinh View Post
Cho p là số nguyên tố dạng 4n+1. Thì $ \frac{x^{p}-1}{x-1}=U^{2}(x)-p.x.V^{2}(x) $
$ U(x),V(x) $ có hệ số nguyên

Trước khi đến với mục này các bạn phải dùng đến kiến thức của lý thuyết Galois
$ Z_{n} $={$(i/(i,n)=1,0<i<n) $. $ Z_{n} $} là nhóm với phép nhân modulo n có $ \phi(n)$ phần tử, $ \epsilon =cos(\frac {2\pi}{n})+i sin(\frac {2\pi}{n})$
Cyclotomic polynomial là đa thức được định nghĩa: $\Pi (x-\epsilon^{k}) ,k $ thuộc $ Z_{n} $.Đa thức này là đa thức bất khả quy trên Z
Nên nhắc lại đến ký hiệu Jacobi
Viết rõ ra đi cu
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
./.
2M is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 17-01-2018, 01:24 PM   #3
zinxinh
Café Noir
 
zinxinh's Avatar
 
Tham gia ngày: Jan 2009
Bài gởi: 189
Thanks: 60
Thanked 65 Times in 42 Posts
Ta xét mở rộng trường với căn nguyên thủy L->L .Xét tự đẳng cấu của L/Q như sau
$ \phi(x+y)=\phi(x)+\phi(y)$ và $\phi(xy)=\phi(x)\phi(y)$ trong đó $ x,y\in L$
còn nếu $x\in Q$ thì $\phi(x)=x$ gọi là bất biến trên Q
Một tự đẳng cấu như vậy nếu x là nghiệm đa thức bất khả quy tối tiểu bậc k thì $\phi(x)$ cũng là đa thức tối tiểu của đa thức đó.Các bạn có thể chứng minh một cách dễ dàng,bằng sử dụng tính đồng cấu
Nghiệm của đa thức $x^{n}-1=0$ có nghiệm là $\epsilon^{k}$ với $ k \in N ,k<n$ nó bao hàm hết các nghiệm của đa thức $x^{n}-1=0$
Tuy nhiên đa thức tối tiểu nhận $\epsilon$ là nghiệm không cần bậc cao đến n
Vừa rồi có vẻ văn hoa một chút cho đỡ nhàm chán ,chúng ta xem các tự đồng cấu trường nghiệm căn nguyên thủy bậc n là $\phi(\epsilon)=\epsilon^{k} $ khi nào là đẳng cấu nó chuyển trường từ $L=Q(\epsilon)->L$
Gọi a=UCLN(n,k) mà a>1 thì n=ab,k=ac $b,c \in N$ khi đó $\phi(\epsilon^{b})=\epsilon^{kb}=\phi(\epsilon^{a bc})=\phi(\epsilon^{nc})=\phi(1)=1 => \epsilon^{b}=1$ là vô lý do tính đẳng cấu.Điều đó cho rằng $\phi $ là tự đẳng cấu khi và chỉ khi UCLN(k,n)=1
Vậy ta tính được có chính xác $\Phi(n)$ hàm phi ơ le các tự đẳng cấu từ L->L
Bởi vậy ta có đa thức tối tiểu nhận $\epsilon $ là nghiệm là đa thức $\Phi_{n}(x)=\Pi(x-\epsilon^{k}),k \in N,(k,n)=1,0<k<n$ gọi là đa thức Cyclotomic polynomial
Nói thêm đa thức này là ước của đa thức $x^{n}-1=0$ có hệ số nguyên,do là đa thức tối tiểu nên nó là đa thức bất khả quy trên Q có bậc $\Phi(n)$

Chúng ta đã tìm được đa thức tối tiểu nhận $\epsilon$ là nghiệm,chứng minh một cách khá chi tiết.Với người học hết năm thứ hai đại học đều phải học qua lý thuyết nhóm ,tôi chỉ quan tâm nhóm sau gọi là $Z(n)=$ {$k\in N ,0<k<n,(k,n)=1$}.Nhóm này có cấp là $\Phi(n)$ nghĩa là có $\Phi(n)$ phần tử
Xét nhóm con H(n)={$ k\in N ,0<k<n,k=a^{2}(mod $ n),Chỉ số $\Phi(n):H(n)=2 $
Gọi K là trường bất biến với các phép tự đẳng cấu của nhóm H(n) ,vậy thì K:Q=2 lúc đó $\Phi_{n}(x)=R(x)S(x)$ trong đó $R(x),S(x)$ là các đa thức với hệ số trên trường K là nghiệm các đa thức có dạng $x^{2}+ax+b=0$,a,b là các số nguyên
Nhận thấy $\frac{x^{n}-1}{x-1}=\Pi(x-\epsilon^{k})_{k \in N,0<k<n}=\Pi(x-\epsilon^{k})_{k \in N,0<k<\frac{n}{2}}\Pi(x-\epsilon^{-k})_{k \in N,0<k<\frac{n}{2}}$
Cho x=1 thì $n=\Pi(1-\epsilon^{k})_{k \in N,0<k<\frac{n}{2}}\Pi(1-\epsilon^{-k})_{k \in N,0<k<\frac{n}{2}}$ (*)
Với n lẻ thì $(1-\epsilon^{k})(1-\epsilon^{-k})=(1-\epsilon^{k})^{2}\epsilon^{-k}=-(1-\epsilon^{k})^{2}\epsilon^{(n-1)k}=-(1-\epsilon^{k})^{2}(\epsilon^{\frac{(n-1)k}{2}})^{2}$
Từ (*) ta có $n=(-1)^{\frac{n-1}{2}}\Pi(1-\epsilon^{k})^{2}(\epsilon^{\frac{(n-1)k}{2}})^{2}_{k\in N ,0<k<\frac{n}{2}}$
Kết quả bất ngờ $\sqrt{(-1)^{\frac{n-1}{2}}n }\in K$ Biệt thức $\Delta $ của phương trình $x^{2}+ax+b=0$ có dạng $c+d\sqrt{(-1)^{\frac{n-1}{2}}n}$ trong đó $c,d \in Z$ Và do đó hệ số đa thức R(x),S(x) có dạng $\frac{a+b\sqrt{(-1)^{\frac{n-1}{2}}n }}{2}$ trong đó $a,b \in Z$
Đến hôm nay tôi chỉ rõ là $R(x)=\Pi (x-\epsilon^{k})_{k\in H(n)}$.Mỗi hệ số trong đó đều thuộc trường K là nghiệm của phương trình đa thức $x^{2}+ax+b=0$ có hệ số bậc cao nhất là 1, biệt thức $\Delta=c+d\sqrt{(-1)^{\frac{n-1}{2}}n}$ trong đó c,d là số nguyên,vì vậy mà hệ số trong R(x) đều có dạng $\frac{c+d\sqrt{(-1)^{\frac{n-1}{2}}n}}{2}$ c,d là các số nguyên
Từ đó ta có $4\Phi_{n}(x)=R(x)S(x)$ mỗi hệ số trong R(x) và S(x) có dạng $c+d\sqrt{(-1)^{\frac{n-1}{2}}n}$
Cuối cùng là $R(x)=A(x)+\sqrt{(-1)^{\frac{n-1}{2}}n}B(x)$ trong đó A(x),B(x) là đa thức với hệ số nguyên A(x) có hệ số bậc cao nhất là 1
$S(x)=C(x)+\sqrt{(-1)^{\frac{n-1}{2}}n}D(x)$ trong đó C(x),D(x) là đa thức với hệ số nguyên C(x) có hệ số bậc cao nhất là 1,Bậc đa thức A(x) và C(x) có bậc bằng nhau và bằng $\frac{\Phi(n)}{2}$
Vì \[\begin{array}{l}
4{\Phi _n}(x) &= R(x)S(x)\\
&= \left( {A(x) + \sqrt {{{( - 1)}^{\frac{{n - 1}}{2}}}n} B(x)} \right)\left( {C(x) + \sqrt {{{( - 1)}^{\frac{{n - 1}}{2}}}n} D(x)} \right)\\
&= A(x)C(x) + {( - 1)^{\frac{{n - 1}}{2}}}nB(x)D(x) + \sqrt {{{( - 1)}^{\frac{{n - 1}}{2}}}n} \left( {A(x)D(x) + B(x)C(x)} \right).
\end{array}\]
Từ hệ số nguyên của $4\Phi_{n}(x)$ mà $A(x)D(x)+B(x)C(x)=0$ vì thế $A(x)=C(x),D(x)=-B(x)$
Vậy là $4\Phi_{n}(x)=A^{2}(x)-(-1)^{\frac{n-1}{2}}nB^{2}(x)$ trong đó A(x),B(x) là đa thức có hệ số nguyên
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: zinxinh, 18-01-2018 lúc 09:32 AM Lý do: Tự động gộp bài
zinxinh is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 2 Users Say Thank You to zinxinh For This Useful Post:
2M (19-01-2018), vnt.hnue (24-01-2018)
Old 18-01-2018, 12:29 PM   #4
zinxinh
Café Noir
 
zinxinh's Avatar
 
Tham gia ngày: Jan 2009
Bài gởi: 189
Thanks: 60
Thanked 65 Times in 42 Posts
Ta có $\Phi_{4n}(x)=\Phi_{n}(-x^{2})$,đặt $n'=(-1)^{\frac{n-1}{2}}n$.Mà $\sqrt {-n'}\in Q(\epsilon_{4n})$ nhưng $\sqrt {-n'}\notin Q(\epsilon_{n})$ Trong sự kiện này ta có $\Phi_{4n}(x)=(R(x)+\sqrt {-n'}S(x))(R(x)-\sqrt {-n'}S(x))=R^{2}(x)+n'S^{2}(x)$
Đặt {$Z'=x\in \Phi_{4n},(\frac{x}{n})\equiv x (mod $ 4)} .Trong đó R(x),S(x) có các hệ số là nguyên đại số $Z(\sqrt {-n'})$ nhưng vì $-n'\equiv 3 (mod $ 4).Do vậy R(x),S(x) là các đa thức với hệ số nguyên,biết đa thức $\Phi_{4n}(x)=\Phi_{n}(-x^{2})$ là đa thức chẵn do đó có ác trường hop
Trường hợp 1:$R(-x)+\sqrt {-n'}S(-x)=R(x)+\sqrt {-n'}S(x)$ Do đó R(x),S(x) là các đa thức chẵn và $R(x)=A(x^{2}),S(x)=B(x^{2})$
lúc đó $\Phi_{n}(-x^{2})=A^{2}(x^{2})+n'B^{2}(x^{2})$ hay $\Phi_{n}(-x)=A^{2}(x)+n'B^{2}(x)$ Khi đó $\sqrt {-n'}\in Q(\epsilon_{n})$ đó là vô lý
Trường hợp 2:$R(-x)+\sqrt {-n'}S(-x)=R(x)-\sqrt {-n'}S(x)$ Đa thức S(x) là hàm lẻ $S(x)=xB(x^{2})$,R(x) là hàm chẵn $R(x)=A(x^{2})$
Vậy là $\Phi_{4n}(x)=\Phi_{n}(-x^{2})=A^{2}(x^{2})-n'x^{2}B^{2}(x^{2})$ hay $\Phi_{n}(x)=A^{2}(x)-(-1)^{\frac{n-1}{2}}nxB^{2}(x)$ A(x),B(x) là đa thức với hệ số nguyên
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: zinxinh, 18-01-2018 lúc 01:22 PM
zinxinh is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 2 Users Say Thank You to zinxinh For This Useful Post:
2M (19-01-2018), vnt.hnue (24-01-2018)
Old 18-01-2018, 12:59 PM   #5
Krishna
+Thành Viên+
 
Krishna's Avatar
 
Tham gia ngày: Sep 2008
Bài gởi: 7
Thanks: 0
Thanked 2 Times in 2 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi zinxinh View Post
Vậy là $4\Phi_{n}(x)=A^{2}(x)-(-1)^{\frac{n-1}{2}}nB^{2}(x)$ trong đó A(x),B(x) là đa thức có hệ số nguyên
Chủ đề bạn zinxinh đang trình bày, có lẽ là công thức Gauss-Lucas về đa thức chia đường tròn. Mình gửi 2 link sau cũng nói về chủ đề này cho mọi người cùng tham khảo nhé.

[Only registered and activated users can see links. ]

[Only registered and activated users can see links. ]
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: Krishna, 18-01-2018 lúc 01:01 PM
Krishna is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to Krishna For This Useful Post:
zinxinh (18-01-2018)
Old 18-01-2018, 01:28 PM   #6
zinxinh
Café Noir
 
zinxinh's Avatar
 
Tham gia ngày: Jan 2009
Bài gởi: 189
Thanks: 60
Thanked 65 Times in 42 Posts
Một ứng dụng nho nhỏ $\Phi_{n}(nx^{2})=A^{2}(nx^{2})-(nx)^{2}B^{2}(nx^{2})$ với n là số lẻ không có ước chính phương lớn hơn 1, $ n\equiv 1( mod $ 4).Kết quả là $\frac {p^{pn}-1}{p^{n}-1}$ là hợp số với $ p\equiv 1( mod $ 4),p là số nguyên tố.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: zinxinh, 18-01-2018 lúc 02:47 PM
zinxinh is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 2 Users Say Thank You to zinxinh For This Useful Post:
2M (19-01-2018), MATHSCOPE (18-01-2018)
Old 19-01-2018, 11:01 AM   #7
zinxinh
Café Noir
 
zinxinh's Avatar
 
Tham gia ngày: Jan 2009
Bài gởi: 189
Thanks: 60
Thanked 65 Times in 42 Posts
N là số nguyên dương lẻ ,gọi $\omega_{2n}$ là căn nguyên thủy bậc 2n,do vậy mà $\omega_{2n}^{n}=-1$ Bởi $\omega_{2n}^{2n}=1$ và $\omega_{2n}^{n}\neq 1$.Do đó $\omega_{2n}=-\omega_{n}$ ,$|\Phi(2n)|=|\Phi(n)|$=>$\Phi_{2n}(x)=\Pi (x-\omega_{2n}^{k})$trong đó $k\in H(2n)$,$\Phi_{n}(x)=\Pi (x-\omega_{n}^{k})$trong đó $k\in H(n)$ .Do vậy $\Phi_{2n}(x)=\Phi_{n}(-x)$
$\omega_{4n}$ và $-\omega_{4n}$ đều là nghiệm tối tiểu của đa thức $\Phi_{4n}(x)$,$\omega_{4n}^{2}=\omega_{2n}$.Do vậy $\Phi_{4n}(x)=\Phi_{n}(-x^{2})$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: zinxinh, 19-01-2018 lúc 11:39 AM
zinxinh is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 19-01-2018, 01:02 PM   #8
2M
thảo dân
 
2M's Avatar
 
Tham gia ngày: Nov 2007
Bài gởi: 185
Thanks: 105
Thanked 506 Times in 145 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi zinxinh View Post
Một ứng dụng nho nhỏ $\Phi_{n}(nx^{2})=A^{2}(nx^{2})-(nx)^{2}B^{2}(nx^{2})$ với n là số lẻ không có ước chính phương lớn hơn 1, $ n\equiv 1( mod $ 4).Kết quả là $\frac {p^{pn}-1}{p^{n}-1}$ là hợp số với $ p\equiv 1( mod $ 4),p là số nguyên tố.
Chủ đề của zin xinh quá , có một bài tập nom rất sơ cấp như này có liên quan

Bài toán. Chứng minh rằng tồn tại các đa thức hai biến $P(x;\,y)$ và $Q(x;\,y)$ thoả mãn
\[\frac{{{x^{2017}} + {y^{2017}}}}{{x + y}} = \frac{{{P^2}\left( {x;\, y} \right) - p{Q^2}\left( {x;\, y} \right)}}{4}\quad\forall\,x;\,y\in\mathbb R.\]

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
./.
2M is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to 2M For This Useful Post:
buratinogigle (19-01-2018)
Old 20-01-2018, 07:51 AM   #9
zinxinh
Café Noir
 
zinxinh's Avatar
 
Tham gia ngày: Jan 2009
Bài gởi: 189
Thanks: 60
Thanked 65 Times in 42 Posts
Xét $Z'=x\in \Phi (4n) $ sao cho $(\frac{x}{n})=x (mod )$4) .Gọi $J(x)=x (mod$4).g(x)=$(\frac{x}{n})J(x)$ đây là hàm nhân tính
có nghĩa là g(x)g(y)=g(xy).Đồng cấu nhóm g chuyển từ $\Phi(4n)$->{1,-1}.Xét nhóm con $Z'=g^{-1}(1)$ là nhóm con của $\Phi(4n)$ có chỉ số $\Phi(4n)$ :Z'=2 cấp của Z' là $\phi (n)$
Xét trường con bất biến K trong các phép tự đẳng cấu Z',nên [K:Q]=2 ,điểu đó nói lên rằng trường K là mở rộng bậc hai trên Q.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: zinxinh, 20-01-2018 lúc 08:24 AM
zinxinh is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 12:27 AM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2018, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 78.43 k/89.62 k (12.49%)]