dãy số

**Quân -k47DHV** · 04-02-2008, 08:05 PM

xét dãy số tự nhiên$ (a_{n} ) $ t.m

$a_{1} $ không chia hết cho 5
$ a_{n+1} = a_{n} $+ ( chữ số cuối của $a_{n} $)
c.m dãy chứa vô hạn lũy thừa của 2

fool90 · 05-02-2008, 07:35 PM

Kí hiệu $S(a) $ là chữ số cuối cùng của $a $. trong hệ thập phân.

Nhận xét 1. dãy {$S(a_i) $} tuần hoàn từ $i=2 $ và chu kì cơ sở là 4.
CM.
Nhận thấy $a_2 $ luôn chẵn nên $s(a_2) =2 $ hoặc 4 hoặc 6 hoặc 8.
Chú ý đến dãy sau: $2;4;8;6;2;4;8;6..... $
dãy trên được lập theo quy luật số tiếp theo bằng 2 lần số trước theo mod 10.
dãy trên tuần hoàn nên dãy $S(a_i) $ tuần hoàn từ $i=2 $;
Nhận xét 2. $a_k \no \vdots 5 \forall k \in N* $
CM.
$a_1 $ lẻ không chia hết cho 5 theo giả thiết.
$a_i $tận cùng là $2,4,6,8 \forall i>1 $
nên nhận xét 2 đúng.

Dễ thấy tồn tại $a_k $ sao cho $a_k \vdots 4 $
Ta có $a_n = a_1 + S(a_1) +S(a_2) + ....S(a_{n-1}) $
$=a_k+S(a_k)+....+S(a_{n-1}) $
Do tính tuần hoàn của dãy $S(a_i) $
nên $a_{k+4.j} = a_k + 20 . j \forall j \in N* $
$\Rightarrow a_{k+4j} = 4.(n + 5j) $ (đặt $4n = a_k $)
Nhận xét 3 Với $\forall n \no \vdots 5 $ , tồn tại vô hạn j sao cho $n+5j $ là luỹ thừa của 2.
CM
Thật vậy : Với $n $ cho trước tồn tại vô hạn $t $ sao cho $2^t - n \vdots 5. $
($2^1 =2 ;2^2=4;2^3=3;2^4=1 $ mod 5)

Do vậy chọn$ j = \frac{2^t -n}{5} $ thì $n+5j=2^t $
Nhận xét 3 đúng

Từ đó suy ra kết luận bài toán.

**Quân -k47DHV** · 05-02-2008, 07:47 PM

anh Thực làm đúng rồi .Lần sau mà đc làm mod em del bài anh cho coi

04-02-2008, 08:05 PM	#1
Quân -k47DHV +Thành Viên Danh Dự+ Tham gia ngày: Jan 2008 Đến từ: Đại Học Y Hà Nội Bài gởi: 421 Thanks: 5 Thanked 105 Times in 80 Posts	dãy số xét dãy số tự nhiên$ (a_{n} ) $ t.m $a_{1} $ không chia hết cho 5 $ a_{n+1} = a_{n} $+ ( chữ số cuối của $a_{n} $) c.m dãy chứa vô hạn lũy thừa của 2 __________________ LƯƠNG Y KIÊM TỪ MẪU thay đổi nội dung bởi: Quân -k47DHV, 04-02-2008 lúc 08:09 PM

05-02-2008, 07:47 PM	#3
Quân -k47DHV +Thành Viên Danh Dự+ Tham gia ngày: Jan 2008 Đến từ: Đại Học Y Hà Nội Bài gởi: 421 Thanks: 5 Thanked 105 Times in 80 Posts	anh Thực làm đúng rồi .Lần sau mà đc làm mod em del bài anh cho coi __________________ LƯƠNG Y KIÊM TỪ MẪU

05-02-2008, 07:35 PM	#2
fool90 +Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2007 Đến từ: Ninh Bình Bài gởi: 49 Thanks: 1 Thanked 13 Times in 4 Posts	Kí hiệu $S(a) $ là chữ số cuối cùng của $a $. trong hệ thập phân. Nhận xét 1. dãy {$S(a_i) $} tuần hoàn từ $i=2 $ và chu kì cơ sở là 4. CM. Nhận thấy $a_2 $ luôn chẵn nên $s(a_2) =2 $ hoặc 4 hoặc 6 hoặc 8. Chú ý đến dãy sau: $2;4;8;6;2;4;8;6..... $ dãy trên được lập theo quy luật số tiếp theo bằng 2 lần số trước theo mod 10. dãy trên tuần hoàn nên dãy $S(a_i) $ tuần hoàn từ $i=2 $; Nhận xét 2. $a_k \no \vdots 5 \forall k \in N* $ CM. $a_1 $ lẻ không chia hết cho 5 theo giả thiết. $a_i $tận cùng là $2,4,6,8 \forall i>1 $ nên nhận xét 2 đúng. Dễ thấy tồn tại $a_k $ sao cho $a_k \vdots 4 $ Ta có $a_n = a_1 + S(a_1) +S(a_2) + ....S(a_{n-1}) $ $=a_k+S(a_k)+....+S(a_{n-1}) $ Do tính tuần hoàn của dãy $S(a_i) $ nên $a_{k+4.j} = a_k + 20 . j \forall j \in N* $ $\Rightarrow a_{k+4j} = 4.(n + 5j) $ (đặt $4n = a_k $) Nhận xét 3 Với $\forall n \no \vdots 5 $ , tồn tại vô hạn j sao cho $n+5j $ là luỹ thừa của 2. CM Thật vậy : Với $n $ cho trước tồn tại vô hạn $t $ sao cho $2^t - n \vdots 5. $ ($2^1 =2 ;2^2=4;2^3=3;2^4=1 $ mod 5) Do vậy chọn$ j = \frac{2^t -n}{5} $ thì $n+5j=2^t $ Nhận xét 3 đúng Từ đó suy ra kết luận bài toán.