Tìm ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính

[neo_hv]

Cho $\varphi (x,y,z,t)=(2x,3y,z,-t) $. Tìm ma trận biểu diễn của toán tử tuyến tính này trong $\mathbb{R}^{4} $ theo cơ sở
$(1,2,1,1), (2,3,1,0), (3,1,1,-2), (4,2,-1,-6) $
Mình giải như thế này nhưng xem kết quả không đúng. Mình không biết sai do cách làm hay do tính toán nữa
Ma trận của $\varphi $ theo cơ sở chính tắc là
$ A =\begin{pmatrix}
2 &0 &0 &0 \\
0 &3 &0 &0 \\
0 &0 &1 &0 \\
0 &0 &0 &-1
\end{pmatrix} $
và có ma trận
$P =\begin{pmatrix}
1 &2 &3 &4 \\
2 &3 &1 &2 \\
1 &1 &1 &-1 \\
1 &0 &-2 &-6
\end{pmatrix} $
sau đó mình tìm được ma trận biểu diễn chính là $B=P^{-1}AP $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[ThangToan]

Nguyên văn bởi neo_hv

Cho $\varphi (x,y,z,t)=(2x,3y,z,-t) $. Tìm ma trận biểu diễn của toán tử tuyến tính này trong $\mathbb{R}^{4} $ theo cơ sở
$(1,2,1,1), (2,3,1,0), (3,1,1,-2), (4,2,-1,-6) $
Mình giải như thế này nhưng xem kết quả không đúng. Mình không biết sai do cách làm hay do tính toán nữa
Ma trận của $\varphi $ theo cơ sở chính tắc là
$ A =\begin{pmatrix}
2 &0 &0 &0 \\
0 &3 &0 &0 \\
0 &0 &1 &0 \\
0 &0 &0 &-1
\end{pmatrix} $
và có ma trận
$P =\begin{pmatrix}
1 &2 &3 &4 \\
2 &3 &1 &2 \\
1 &1 &1 &-1 \\
1 &0 &-2 &-6
\end{pmatrix} $
sau đó mình tìm được ma trận biểu diễn chính là $B=P^{-1}AP $

Để tìm ma trận biểu diễn trong cơ sở $(e_1, e_2,...,e_n) $ ta viết $x=x_1e_1+...+x_ne_n $ sau đó tính $f(x)=x_1f(e_1)+...+x_nf(e_n) $ theo công thức xác định của $f $ ta tính được $f(e_i) $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[tuan119]

Cách làm thì sai rồi! .
Còn kết quả thì bạn nên post lên để tiện theo dõi.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[neo_hv]

Mình chỉ có mỗi kết quả thôi
$B=\begin{pmatrix}
-35& 8& 122& 268& \\
29& -3& -93& -204& \\
1& -2& -6& -16&\\
-6& -2& 22& 49&
\end{pmatrix} $

Cách làm thì sai rồi! .

Bạn có thể nói rõ hơn không?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[batigoal]

Nguyên văn bởi neo_hv

Mình chỉ có mỗi kết quả thôi
$B=\begin{pmatrix}
-35& 8& 122& 268& \\
29& -3& -93& -204& \\
1& -2& -6& -16&\\
-6& -2& 22& 49&
\end{pmatrix} $

Bạn có thể nói rõ hơn không?

Bạn làm theo cách Thangtoan hướng dẫn là được. Nếu chưa ra, Tối mình rảnh mình sẽ post lời giải
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[tuan119]

Bạn biểu diễn các vector $(1,2,1,1), (2,3,1,0), (3,1,1,-2), (4,2,-1,-6) $ theo các vector $(2,0,0,0), \cdots , (0,0,0,-1) $ theo dạng hệ sinh, từ đó tìm được ma trận $P $.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[k30101201]

Nguyên văn bởi neo_hv

Cho $\varphi (x,y,z,t)=(2x,3y,z,-t) $. Tìm ma trận biểu diễn của toán tử tuyến tính này trong $\mathbb{R}^{4} $ theo cơ sở
$(1,2,1,1), (2,3,1,0), (3,1,1,-2), (4,2,-1,-6) $
Mình giải như thế này nhưng xem kết quả không đúng. Mình không biết sai do cách làm hay do tính toán nữa
Ma trận của $\varphi $ theo cơ sở chính tắc là
$ A =\begin{pmatrix}
2 &0 &0 &0 \\
0 &3 &0 &0 \\
0 &0 &1 &0 \\
0 &0 &0 &-1
\end{pmatrix} $
và có ma trận
$P =\begin{pmatrix}
1 &2 &3 &4 \\
2 &3 &1 &2 \\
1 &1 &1 &-1 \\
1 &0 &-2 &-6
\end{pmatrix} $
sau đó mình tìm được ma trận biểu diễn chính là $B=P^{-1}AP $

Theo mình để làm bài toán này ta tiến hành như sau
+Bước 1: Tính giá trị $\varphi(e_1), \varphi(e_2), \varphi(e_3), \varphi(e_4) $
+Bước 2: Xét hệ phương trình $
\begin{array}{l}
\varphi(e_1)=a_1\alpha_1+a_1\alpha_2+a_3\alpha_3+a _4\alpha_4 \\
\varphi(e_2)=b_1\alpha_1+b_1\alpha_2+b_3\alpha_3+b _4\alpha_4 \\
\varphi(e_3)=c_1\alpha_1+c_1\alpha_2+c_3\alpha_3+c _4\alpha_4
\\
\varphi(e_4)=d_1\alpha_1+d_1\alpha_2+d_3\alpha_3+d _4\alpha_4
\end{array}
$
Với $\alpha_1=(1,2,1,1), \alpha_2=(2,3,1,0), \alpha_3(3,1,1,-2), \alpha_4(4,2,-1,-6) $
+Bước 3: Giải hệ phương trình trên bằng phương pháp Gauss ta tìm được nghiệm rồi suy ra ma trận cần tìm.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[neo_hv]

Nguyên văn bởi batigoal

Bạn làm theo cách Thangtoan hướng dẫn là được. Nếu chưa ra, Tối mình rảnh mình sẽ post lời giải

Batigoal post lời giải cho mình với. Lay hoay cả ngày vẫn chưa được. Lại mất điện nữa. Mình sẽ làm theo cách của tuan19 và k30101201 xem
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[batigoal]

Nguyên văn bởi neo_hv

Cho $\varphi (x,y,z,t)=(2x,3y,z,-t) $. Tìm ma trận biểu diễn của toán tử tuyến tính này trong $\mathbb{R}^{4} $ theo cơ sở
$(1,2,1,1), (2,3,1,0), (3,1,1,-2), (4,2,-1,-6) $
Mình giải như thế này nhưng xem kết quả không đúng. Mình không biết sai do cách làm hay do tính toán nữa
Ma trận của $\varphi $ theo cơ sở chính tắc là
$ A =\begin{pmatrix}
2 &0 &0 &0 \\
0 &3 &0 &0 \\
0 &0 &1 &0 \\
0 &0 &0 &-1
\end{pmatrix} $
và có ma trận
$P =\begin{pmatrix}
1 &2 &3 &4 \\
2 &3 &1 &2 \\
1 &1 &1 &-1 \\
1 &0 &-2 &-6
\end{pmatrix} $
sau đó mình tìm được ma trận biểu diễn chính là $B=P^{-1}AP $

Cách làm này của bạn hoàn toàn đúng, mình chẳng thấy sai ở đâu về ý tưởng cả.
Vậy bạn cứ tin mà theo hướng bạn làm nhé.
Vì ngại gõ Latex cồng kềnh nên mình xin được nêu những điểm chính.
1. Ma trận $A $ trong cơ sở tự nhiên là:
$ A =\begin{pmatrix}
2 &0 &0 &0 \\
0 &3 &0 &0 \\
0 &0 &1 &0 \\
0 &0 &0 &-1
\end{pmatrix} $.
2. Ma trận $P $trong cơ sở 2 là:
$P =\begin{pmatrix}
1 &2 &3 &4 \\
2 &3 &1 &2 \\
1 &1 &1 &-1 \\
1 &0 &-2 &-6
\end{pmatrix} $ .
3. Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận $P $, mình tìm được:
$P^{-1} =\begin{pmatrix}
22 &-6 &-26 &17 \\
-17 &5 &20 &-13 \\
-1 &0 &2 &-1 \\
4 &-1 &-5 &3
\end{pmatrix} $ .
4.Áp dụng công thức $B=P^{-1}AP $ ta được:
$B =\begin{pmatrix}
-35 &86 &122 &268 \\
29 &-3 &-93 &-204 \\
1 &-2 &-6 &-16 \\
-6 &-2 &22 &49
\end{pmatrix} $ .
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[neo_hv]

Mình làm theo batigoal và giải được rồi. Do tính toán và lại không nắm vững cách giải nữa. Tiện đây mình muốn hỏi có cách tính ma trận nghịch đảo nào là dễ tính nhất. Hôm trước mình tính theo kiểu biến đổi về ma trận đơn vị, nhưng thấy cách đó dễ sai quá.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[batigoal]

Nguyên văn bởi neo_hv

Mình làm theo batigoal và giải được rồi. Do tính toán và lại không nắm vững cách giải nữa. Tiện đây mình muốn hỏi có cách tính ma trận nghịch đảo nào là dễ tính nhất. Hôm trước mình tính theo kiểu biến đổi về ma trận đơn vị, nhưng thấy cách đó dễ sai quá.

Bài này ma trận cấp 4. Mình cũng làm theo cách biến đổi về ma trận nghịch đảo đó, còn cách khác sử dụng định nghĩa tính , an toàn nhưng mà cũng dài lắm.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[neo_hv]

Nếu có thời gian batigoal post lên cho mình xem với, tại vì nghe nói là mình chỉ được thực hiện theo dòng phải không, mình tính toán nó cứ ra số hữu tỉ không ra đẹp như thế. mình phải dùng ma trận phụ hợp
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[franciscokison]

Tính ma trận nghịch đảo là bước nhiều người ngại nhất, tính toán phải hết sức cẩn thận. Bạn nên tham khảo các dạng ma trận đặc biệt trong cuốn Toán cao cấp (Đại số) để biết thêm về những t/c của chúng, từ đó phát hiện nhanh matrix nghich đảo.

Đề thi trường mình có hai câu chéo hóa, phải sử dụng ma trận nghịch đảo, các phần tử thì toàn căn thức, nếu ko phát hiện nhanh thì , đề gồm 10 ý mà

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[lamphong177]

Nguyên văn bởi neo_hv

sau đó mình tìm được ma trận biểu diễn chính là $B=P^{-1}AP $

nếu mình không nhầm thì cái đó bắt nguồn từ định lý:
Cho B và B' là 2 cơ sở trong không gian vectơ hữu hạn chiều V trên trường K. khi đó, đối với mọi toán tử tuyến tính $f \in End(V) $ ta có:
$[f]_B'=(B \rightarrow B')^{-1}[f]_B(B \rightarrow B') $
Mở rộng hơn một chút, ta có:
Cho V và W là các không gian vectơ hữu hạn chiều trên trường K; B,B' và C, C' tương ứng là các cặp cơ sở trong V và W. khi đó, với mọíanh xạ tuyến tính $f: V \rightarrow W $, ta có:
$[f]_{B',C'}=(C \rightarrow C')^{-1}[f]_{B,C}(B \rightarrow B') $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]