Bài tập Giải tích hàm [Mình đang ôn thi Cao học]

robin · 20-02-2008, 11:50 AM

1, X là không gian Banach vô hạn chiều. Chứng minh rằng X không thể có một cơ sở gồm đếm được phần tử.

2, Giả sử X là không gian tuyến tính, $f_1,...,f_2,g $ là m+1 phiếm hàm tuyến tính trên X. Chứng minh rằng nếu g(x)=0 tại mọi điểm x thỏa mãn $f_1(x)=...=f_2(x)=0 $ thì g là một tổ hợp tuyến tính của $f_1,...,f_m $.

**Mr Stoke** · 22-02-2008, 01:46 PM

Bài thứ hai thì quy nạp theo $m $, bài thứ nhất p/chứng nếu nó có cơ sở đếm được $\{e_1,e_2,\ldots\} $ thì xét $X_n=span\{e_1,...,e_n\} $ các không gian con hữu hạn chiều nên hiển nhiên đóng. Ngoài ra nó nằm trong không gian con $X_{n+1} $ số chiều n+1 nên phần trong của $X_n $ bằng rỗng. Do đó X là hợp đếm được các tập không đâu trù mật, mẫu thuẫn với định lý Baire.

Lonely · 23-02-2008, 04:51 PM

Trích:

Nguyên văn bởi robin

2, Giả sử X là không gian tuyến tính, $f_1,...,f_2,g $ là m+1 phiếm hàm tuyến tính trên X. Chứng minh rằng nếu g(x)=0 tại mọi điểm x thỏa mãn $f_1(x)=...=f_2(x)=0 $ thì g là một tổ hợp tuyến tính của $f_1,...,f_m $.

Dùng kết quả này : Nếu $f_1,...,f_n $ là hệ các phiếm hàm tuyến tính độc lập tuyến tính khi đó có các phần tử $x_1,...,x_n $ sao cho $f_i(x_j)=\delta_{ij} $.

mathvn · 25-02-2008, 06:20 PM

Trích:

Nguyên văn bởi robin

1, X là không gian Banach vô hạn chiều. Chứng minh rằng X không thể có một cơ sở gồm đếm được phần tử.

Mình chỉnh lại đề bài tí nha.
X là không gian Banach vô hạn chiều. Chứng minh rằng X không thể có một cơ sở "Hamel" gồm đếm được các phần tử.
Không biết có phải bạn Robin viết thiếu đề bài ko?
Định nghĩa cơ sở Hamel:
Cho $B $ là một tập con khác trống của không gian vectơ $X $.$B $ được gọi là cơ sở(hay cơ sở Hamel)của $X $nếu:
a)$B $ là một tập hợp độc lập tuyến tính.
b) Với mọi $x\in X, x $ là một tổ hợp tuyến tính của một số hữu hạn các phần tử của $B $, nghĩa là.
$\forall x\in X, \exists \alpha_1,...,\alpha_n\in K, x_1,...,x_n\in B: x=\sum_{i=1}^n\alpha_i x_i $

mathvn · 25-02-2008, 07:06 PM

Phản chứng, giả sử $\{x_1,x_2,...x_n,...\} $là một cơ sở Hamel đếm được của $X $.Đặt $X_n=<\{x_1,...,x_n\}> $ thì $X_n $ là không gian con hữu hạn chiều của $X $ nên nó là tập đóng. Hơn nữa, $X=\bigcup_{n=1}^{\infty}X_n $. Vì $X $là không gian Banach nên nó thuộc phạm trù II. vậy tồn tại $n_o $ để $intX_{n_0} $ khác $\emptyset $ do đó $\exists B(x_0,r)\subset X_{n_0} $ suy ra $X\subset X_{n_0} $ hay $X=X_{n_0} $ mâu thuân giả thiết.

P/s:Đánh kí hiệu "\ne" là dấu khác mà không hiểu sao lại không dùng được, admin xem lại cost cái.

Lonely · 25-02-2008, 10:56 PM

Trích:

Nguyên văn bởi mathvn

P/s:Đánh kí hiệu "\ne" là dấu khác mà không hiểu sao lại không dùng được, admin xem lại cost cái.

Đánh thế này này a\not = b. Bây giờ xin góp 1 bài

3, Giả sử X là không gian lồi địa phương và B là tập con tuyệt đối lồi của nó, $a\not\in \overline{B} $. Chứng minh rằng tồn tại f thuộc $X^* $ sao cho f(a)>1, $|f(x)|\leq 1\forall x\in B $.

mathematicae · 04-04-2008, 11:48 PM

Trích:

Nguyên văn bởi mathvn

Phản chứng, giả sử $\{x_1,x_2,...x_n,...\} $là một cơ sở Hamel đếm được của $X $.Đặt $X_n=<\{x_1,...,x_n\}> $ thì $X_n $ là không gian con hữu hạn chiều của $X $ nên nó là tập đóng. Hơn nữa, $X=\bigcup_{n=1}^{\infty}X_n $. Vì $X $là không gian Banach nên nó thuộc phạm trù II. vậy tồn tại $n_o $ để $intX_{n_0} $ khác $\emptyset $ do đó $\exists B(x_0,r)\subset X_{n_0} $ suy ra $X\subset X_{n_0} $ hay $X=X_{n_0} $ mâu thuân giả thiết.

P/s:Đánh kí hiệu "\ne" là dấu khác mà không hiểu sao lại không dùng được, admin xem lại cost cái.

Cũng cần nói cho rõ thêm là không gian con $X_{n_0} $ của X chứa quả cầu $B(x_0,r) $ nên nó chứa $x_0 + \frac{r}{2||x||}x $ với mọi $x \not =0 $ và do $x_0 $ cũng thuộc $X_{n_0} $ nên $\frac{r}{2||x||}x $ thuộc $X_{n_0} $ , vậy x thuộc $X_{n_0} $ và hiển nhiên $X_{n_0} $ chứa 0. vậy ta có X là tập con của $X_{n_0} $ nên X hữu hạn chiều. Điều này là vô lí.

mrvuive · 20-07-2008, 06:06 PM

Cho em hỏi định nghĩa tập tuyệt đối lồi. Còn nếu tập là lồi cân thì bài của Lonely là hệ quả trực tiếp của định lý Hahn-Banach.

20-02-2008, 11:50 AM	#1
robin +Thành Viên+ Tham gia ngày: Dec 2007 Bài gởi: 6 Thanks: 0 Thanked 0 Times in 0 Posts	Bài tập Giải tích hàm [Mình đang ôn thi Cao học] 1, X là không gian Banach vô hạn chiều. Chứng minh rằng X không thể có một cơ sở gồm đếm được phần tử. 2, Giả sử X là không gian tuyến tính, $f_1,...,f_2,g $ là m+1 phiếm hàm tuyến tính trên X. Chứng minh rằng nếu g(x)=0 tại mọi điểm x thỏa mãn $f_1(x)=...=f_2(x)=0 $ thì g là một tổ hợp tuyến tính của $f_1,...,f_m $.

25-02-2008, 07:06 PM	#5
mathvn Banned Tham gia ngày: Nov 2007 Bài gởi: 54 Thanks: 0 Thanked 16 Times in 7 Posts	Phản chứng, giả sử $\{x_1,x_2,...x_n,...\} $là một cơ sở Hamel đếm được của $X $.Đặt $X_n=<\{x_1,...,x_n\}> $ thì $X_n $ là không gian con hữu hạn chiều của $X $ nên nó là tập đóng. Hơn nữa, $X=\bigcup_{n=1}^{\infty}X_n $. Vì $X $là không gian Banach nên nó thuộc phạm trù II. vậy tồn tại $n_o $ để $intX_{n_0} $ khác $\emptyset $ do đó $\exists B(x_0,r)\subset X_{n_0} $ suy ra $X\subset X_{n_0} $ hay $X=X_{n_0} $ mâu thuân giả thiết. P/s:Đánh kí hiệu "\ne" là dấu khác mà không hiểu sao lại không dùng được, admin xem lại cost cái. thay đổi nội dung bởi: mathvn, 25-02-2008 lúc 07:20 PM

22-02-2008, 01:46 PM	#2
Mr Stoke +Thành Viên Danh Dự+ Tham gia ngày: Dec 2007 Bài gởi: 252 Thanks: 40 Thanked 455 Times in 95 Posts	Bài thứ hai thì quy nạp theo $m $, bài thứ nhất p/chứng nếu nó có cơ sở đếm được $\{e_1,e_2,\ldots\} $ thì xét $X_n=span\{e_1,...,e_n\} $ các không gian con hữu hạn chiều nên hiển nhiên đóng. Ngoài ra nó nằm trong không gian con $X_{n+1} $ số chiều n+1 nên phần trong của $X_n $ bằng rỗng. Do đó X là hợp đếm được các tập không đâu trù mật, mẫu thuẫn với định lý Baire.

20-07-2008, 06:06 PM	#8
mrvuive +Thành Viên+ Tham gia ngày: Mar 2008 Bài gởi: 7 Thanks: 0 Thanked 0 Times in 0 Posts	Cho em hỏi định nghĩa tập tuyệt đối lồi. Còn nếu tập là lồi cân thì bài của Lonely là hệ quả trực tiếp của định lý Hahn-Banach.