Định nghĩa của R-đại số

Ngonkhtn · 07-07-2015, 09:49 AM

Trong sách abstract algebra của Dummit, Foote, họ định nghĩa R-đại số như sau: cho R là một vành giao hoán với 1. Một R-đại số là một vành A với 1 cùng với một đồng cấu vành f:R $\to$ A sao cho f(1)=1 và f(R) nằm trong tâm A.

Nhưng khi mình xem trên wiki [Only registered and activated users can see links. ]) thì người ta lại định nghĩa có vẻ tự nhiên hơn giống như hồi học đại số tuyến tính. Và sau đó mình xem thêm thì cái định nghĩa trong sách wiki gọi là đại số kết hợp. Câu hỏi của mình là định nghĩa đại số nào hay dùng hơn, học lý thuyết module với định nghĩa đại số như vậy có sao không, ý mình là có mất tổng quát hơn không vì hiểu theo cách nào đó thì các kết quả sau này liên quan đến đại số trong sách chỉ mới chứng minh cho đại số kết hợp?

99 · 08-07-2015, 03:11 PM

Định nghĩa trong sách của Dummit-Foote cũng giống định nghĩa trong sách của Atiyah-McDonald, nên chắc là định nghĩa hay dùng đấy.

Khi học đại số, bạn sẽ thấy rất nhiều định nghĩa với mức độ tổng quát khác nhau và bạn sẽ thấy ngợp, và lo lắng. Lý do là vì đại số tổng quát hóa từ những ngành khác, vậy nên bạn cần phải có kiến thức cơ bản của đúng cái ngành mà đại số tổng quát từ đó.

Ví dụ: mình là người học giải tích phức, mình chỉ quan tâm vành giao hoán, có đơn vị, module trên vành giao hoán có đơn vị, vành Noether (vành mầm hàm chỉnh hình là Noether), vành địa phương v.v. kiểu kiểu vậy. Nhưng nếu bạn học lý thuyết Toán tử, thì bạn sẽ muốn dùng những thứ không giao hoán, vì toán tử thì thường không giao hoán.

Tóm lại, nên học những thứ Toán cụ thể + trực giác, rồi dần dần sang tổng quát, thì mọi thứ rất dễ dàng.

EDIT: cái định nghĩa trong wiki hơi giống món đại số Lie, có lẽ điểm nhìn của họ là từ đấy chăng?

07-07-2015, 09:49 AM	#1
Ngonkhtn +Thành Viên+ Tham gia ngày: Jul 2013 Bài gởi: 60 Thanks: 11 Thanked 16 Times in 15 Posts	Định nghĩa của R-đại số Trong sách abstract algebra của Dummit, Foote, họ định nghĩa R-đại số như sau: cho R là một vành giao hoán với 1. Một R-đại số là một vành A với 1 cùng với một đồng cấu vành f:R $\to$ A sao cho f(1)=1 và f(R) nằm trong tâm A. Nhưng khi mình xem trên wiki [Only registered and activated users can see links. ]) thì người ta lại định nghĩa có vẻ tự nhiên hơn giống như hồi học đại số tuyến tính. Và sau đó mình xem thêm thì cái định nghĩa trong sách wiki gọi là đại số kết hợp. Câu hỏi của mình là định nghĩa đại số nào hay dùng hơn, học lý thuyết module với định nghĩa đại số như vậy có sao không, ý mình là có mất tổng quát hơn không vì hiểu theo cách nào đó thì các kết quả sau này liên quan đến đại số trong sách chỉ mới chứng minh cho đại số kết hợp? thay đổi nội dung bởi: Ngonkhtn, 07-07-2015 lúc 09:52 AM

08-07-2015, 03:11 PM	#2
99 +Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2007 Bài gởi: 2,995 Thanks: 537 Thanked 2,429 Times in 1,376 Posts	Định nghĩa trong sách của Dummit-Foote cũng giống định nghĩa trong sách của Atiyah-McDonald, nên chắc là định nghĩa hay dùng đấy. Khi học đại số, bạn sẽ thấy rất nhiều định nghĩa với mức độ tổng quát khác nhau và bạn sẽ thấy ngợp, và lo lắng. Lý do là vì đại số tổng quát hóa từ những ngành khác, vậy nên bạn cần phải có kiến thức cơ bản của đúng cái ngành mà đại số tổng quát từ đó. Ví dụ: mình là người học giải tích phức, mình chỉ quan tâm vành giao hoán, có đơn vị, module trên vành giao hoán có đơn vị, vành Noether (vành mầm hàm chỉnh hình là Noether), vành địa phương v.v. kiểu kiểu vậy. Nhưng nếu bạn học lý thuyết Toán tử, thì bạn sẽ muốn dùng những thứ không giao hoán, vì toán tử thì thường không giao hoán. Tóm lại, nên học những thứ Toán cụ thể + trực giác, rồi dần dần sang tổng quát, thì mọi thứ rất dễ dàng. EDIT: cái định nghĩa trong wiki hơi giống món đại số Lie, có lẽ điểm nhìn của họ là từ đấy chăng? thay đổi nội dung bởi: 99, 08-07-2015 lúc 03:13 PM Lý do: .