Chứng mnh tồn tại đa thức bất khả quy bậc 5 trong vành đa thức?

[frazier]

Cho K là một trường, $f(X)$ ∈ $K[X]$ là một đa thức khác không. Kí
hiệu $(f(X)) $là ideal của $K[X]$ sinh bởi $f(X)$. Chứng minh rằng:
(a) $(f(X))$ là một ideal cực đại khi và chỉ khi $f(X)$ là một đa thức bất khả quy.
(b) Với mọi n nguyên dương, luôn tồn tại một đa thức bất khả quy bậc n trong
$Q[X]$. Tồn tại hay không một đa thức bất khả quy bậc 5 trong $R[X]$?
(c)Có đẳng cấu vành:
$$Q[X] /(X^4 − 2) \cong Q[\sqrt[4]{2}] = {a + b\sqrt[4]{2} + c\sqrt[4]{4} + d\sqrt[4]{8} | a, b, c, d ∈ Q}.$$
Từ đó suy ra $Q[\sqrt[4]{2}]$ là một trường.
(d) Khẳng định (a) còn đúng không nếu thay giả thiết K là một trường bởi giả thiết K là một miền nguyên? Tại sao?

em làm được phần a rồi, phần c em đã chứng minh được đẳng cấu, tại sao $Q[X] /(X^4 − 2)$ lại là 1 trường?
những phần còn lại mong được chỉ bảo ạ
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Ngonkhtn]

Nguyên văn bởi frazier

Cho K là một trường, $f(X)$ ∈ $K[X]$ là một đa thức khác không. Kí
hiệu $(f(X)) $là ideal của $K[X]$ sinh bởi $f(X)$. Chứng minh rằng:
(a) $(f(X))$ là một ideal cực đại khi và chỉ khi $f(X)$ là một đa thức bất khả quy.
(b) Với mọi n nguyên dương, luôn tồn tại một đa thức bất khả quy bậc n trong
$Q[X]$. Tồn tại hay không một đa thức bất khả quy bậc 5 trong $R[X]$?
(c)Có đẳng cấu vành:
$$Q[X] /(X^4 − 2) \cong Q[\sqrt[4]{2}] = {a + b\sqrt[4]{2} + c\sqrt[4]{4} + d\sqrt[4]{8} | a, b, c, d ∈ Q}.$$
Từ đó suy ra $Q[\sqrt[4]{2}]$ là một trường.
(d) Khẳng định (a) còn đúng không nếu thay giả thiết K là một trường bởi giả thiết K là một miền nguyên? Tại sao?

em làm được phần a rồi, phần c em đã chứng minh được đẳng cấu, tại sao $Q[X] /(X^4 − 2)$ lại là 1 trường?
những phần còn lại mong được chỉ bảo ạ

câu b) bạn có thể xét đa thức $x^n-2$, đa thức này bất khả quy trên $\mathbb{Z}$ theo tiêu chuẩn Eisenstein, nên bất khả quy trên $\mathbb{Q}$ theo bổ đề Gauss.
Đa thức bậc lẻ luôn có nghiệm trong $\mathbb{R}$ nên rõ ràng rồi.

câu c) Nói riêng $x^4-2$ bất khả quy nên ideal sinh bởi nó là nguyên tố, $\mathbb{Q}[x]$ là một P.I.D nên ideal đó cực đại nên ta có $Q[X] /(X^4 − 2)$ là một trường

câu d) ta chỉ có định lý trong một P.I.D, một ideal là nguyên tố nếu và chỉ nếu nó là cực đại, nếu bỏ giả thiết đó đi thì sai. Trong trường hợp này thì $\mathbb{Z}[x]$ không là một P.I.D và ta có thể lấy phản ví dụ $(x+2)\subset (x,2)\neq \mathbb{Z}[x]$.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]