Chứng minh phương trình có vô hạn nghiệm thực

[lion]

Xin lỗi mọi người, mấy hôm vừa rồi hơi bận nên không onl được, mod nào đó tốt bụng sửa Latex nhưng sửa luôn đề rồi, đề đúng là :

$x^{\left\{x \right\}} = \left \lfloor x \right \rfloor $

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[tuan119]

- Có gì phải xin lỗi ai đâu em, làm toán tranh luận mới vui!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[lion]

Gợi ý cho bài trên hình như là chứng minh giữa 2 số nguyên liên tiếp luôn tồn tại 1 số thực là nghiệm của phương trình đó.

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[n.v.thanh]

Do latex nó khác người ý mà.Nếu gõ {a_n} mà kẹp vào thẻ TEX thì chỉ hiện là $a_n $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[asimothat]

Nguyên văn bởi lion

Xin lỗi mọi người, mấy hôm vừa rồi hơi bận nên không onl được, mod nào đó tốt bụng sửa Latex nhưng sửa luôn đề rồi, đề đúng là :

$x^{\left\{x \right\}} = \left \lfloor x \right \rfloor $

$ \left \lfloor x \right \rfloor $ cái dấu này nghĩa là thế nào vậy mọi người . Nhìn quen quen mà chẳng biết là cái gì cả .

Có tài liệu thì càng tốt nha

Nếu cái dấu ấy thay bằng $[x] $ thì hiển nhiên các số nguyên thỏa mãn bài toán
Ấy chết ,cứ nghĩ {x}=1
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[novae]

Nguyên văn bởi asimothat

$ \left \lfloor x \right \rfloor $ cái dấu này nghĩa là thế nào vậy mọi người . Nhìn quen quen mà chẳng biết là cái gì cả .

Có tài liệu thì càng tốt nha

Nếu cái dấu ấy thay bằng $[x] $ thì hiển nhiên các số nguyên thỏa mãn bài toán

Cái kí hiệu đó cũng là hàm phần nguyên thôi mà
Còn nếu $x $ nguyên thì $\{x\}=0 \Rightarrow x^{\{x\}}=1 $ sao mà thỏa mãn được.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[asimothat]

Nguyên văn bởi novae

Cái kí hiệu đó cũng là hàm phần nguyên thôi mà
Còn nếu $x $ nguyên thì $\{x\}=0 \Rightarrow x^{\{x\}}=0 $ sao mà thỏa mãn được.

ấy chết , lộn ,e cứ nghĩ {x}=1 mới chết chứ .
nếu $\left \lfloor x \right \rfloor $ cũng là hàm phần nguyên thì bài toán chứng minh :
với mọi số nguyên $a $ ; tồn tại $ 0 \leq x \leq 1 $sao cho $(a+x)^x=a $ (1)
Ta cho a là số nguyên dương lớn hơn e cho dễ làm
(1) tương đương $xln(x+a)-lna=0 $
+) nếu x=0 thì a =1
+) nếu x <>0 thì xét hàm$ f(x)=ln(x+a)-\frac{lna}{x} $ trên (0;1]
$ f'(x)=\frac{1}{x+a}+\frac{lna}{x^2} > 0 $
nên f tăng và có $lim f(x) =-\propto $ khi x tiến 0 và $f(1)=ln(a+1)-lna $
nên phương trình có nghiệm thỏa mãn
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[novae]

Nguyên văn bởi asimothat

Với mọi số nguyên $a $ ; tồn tại $ 0<x<1 $sao cho $(a+x)^x=a $

Xét hàm $f(x)=(a+x)^x-a $ với $a\in\mathbb{Z},a \ge 2 $
Ta có $f(x) $ liên tuc trên $[0;+\infty) $ và $f(0)=1-a < 0, f(1)=1>0 $.
Vậy $\exists x_a \in (0;1) $ sao cho $f(x_a)=0 \Leftrightarrow (a+x_a)^{x_a}=a $
Suy ra phương trình $x^{\{x\}}=[x] $ có nghiệm $x=a+x_a $ với số nguyên $a \ge 2 $ bất kì. Mà tập $\{ a \in \mathbb{Z},a \ge 2\} $ vô hạn nên tập nghiệm của phương trình $x^{\{x\}}=[x] $ cũng có vô hạn phần tử.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[asimothat]

Mọi người cùng quay trở lại giải quyết bài toán :

Chứng minh phương trình sau có vô số nghiệm thực

$x^x=[x] $

Phương trình này có đúng là có vô số nghiệm thực không ?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[tuan119]

+ $\left \lfloor x \right \rfloor=max\left \{ \right.m\in Z \mid m\leq x \left. \right \} $
+ $\left \lceil x \right \rceil=min\left \{ \right.n\in Z \mid n\geq x \left. \right \} $;
- Ở toán Việt mình hay sử dụng ký hiệu $[x] $ để biểu diến phần nguyên của $x $;
- Về bản chất cả hai bài trên đều sử dụng đến hệ quả của nguyên lý archimedes$\exists x \in (k;k+1) $; $x \in R; \forall k \in N^{*} $.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]