Vài bài bất đẳng thưc - Page 2

Persian · 13-12-2010, 12:13 AM

Trích:

Nguyên văn bởi tangkhaihanh

Bài 3 :
AM-GM $\frac{1}{\sqrt{a^3+2b^3+6}} = \frac{1}{\sqrt{(a^3+b^3+b^3)+6}} \le \frac{1}{sqrt{3ab^2+6}} $
$= \frac{1}{\sqrt{\frac{3b}{c}+3+3}} \le \frac{1}{\sqrt{3\sqrt[3]{\frac{3b}{c}.3.3}}}=\frac{1}{3}.\sqrt[6]{\frac{c}{b}} $
Tương tự nhưng cái tiếp teo công vào rồi Cauchy 3 số nữa là ra

Đền là a^2 mà
Dùng cauchy thì lại ngược dấu mà

manhnguyen94 · 13-12-2010, 12:13 AM

Trích:

Nguyên văn bởi tangkhaihanh

Bài 3 :
AM-GM $\frac{1}{\sqrt{a^3+2b^3+6}} = \frac{1}{\sqrt{(a^3+b^3+b^3)+6}} \le \frac{1}{sqrt{3ab^2+6}} $
$= \frac{1}{\sqrt{\frac{3b}{c}+3+3}} \le \frac{1}{\sqrt{3\sqrt[3]{\frac{3b}{c}.3.3}}}=\frac{1}{3}.\sqrt[6]{\frac{c}{b}} $
Tương tự nhưng cái tiếp teo công vào rồi Cauchy 3 số nữa là ra

Ko đc vì cô-si 3 số ---> ngược dấu

tangkhaihanh · 13-12-2010, 12:16 AM

Ừ nhỉ đúng rồi ngược dấu mình xin lỗi

abacadaeafag · 13-12-2010, 12:18 AM

Trích:

Nguyên văn bởi manhnguyen94

Câu 3: áp dụng BDT BCS và AG _GM , ta có:
[TEX]VT^2 \leq 3 ( \sum \frac{1}{a^3+2b^3+6})

Đề cho là a² chứ ko phải là a³

manhnguyen94 · 13-12-2010, 12:22 AM

Trích:

Nguyên văn bởi tangkhaihanh

Bài 3 :
AM-GM $\frac{1}{\sqrt{a^3+2b^3+6}} = \frac{1}{\sqrt{(a^3+b^3+b^3)+6}} \le \frac{1}{sqrt{3ab^2+6}} $
$= \frac{1}{\sqrt{\frac{3b}{c}+3+3}} \le \frac{1}{\sqrt{3\sqrt[3]{\frac{3b}{c}.3.3}}}=\frac{1}{3}.\sqrt[6]{\frac{c}{b}} $
Tương tự nhưng cái tiếp teo công vào rồi Cauchy 3 số nữa là ra

Sao đây tác giả lại giải là a^3 nhỉ

tangkhaihanh · 13-12-2010, 12:23 AM

Xin lỗi thật lòng xin lỗi các bạn vì làm mất thời gian của các bạn minh chép sai đề.
Vậy còn bài 1 thì sao, mình chắc chắn la chép đúng đề( vì mình vừa sửa lại một lần rồi mà). Mình mới làm được một bài gần gần giông thế là cho a+b+c=3 tim min($(a^3+b^3+c^3) $ nhưng bài này mình chưa làm được

NguyenNhatTan · 13-12-2010, 12:27 AM

Nếu đề là a³ thì giải như sau:

Đặt $a=\frac{x}{y};b=\frac{y}{z};c=\frac{z}{x} $

Có: $a^{3}+2b^{3}+6=(a^{3}+b^{3}+1)+(b^{3}+1+1)+3 $
$\geq 3(ab+b+1)=3(\frac{x}{z}+\frac{y}{z}+1)=\frac{3(x+y +z)}{z} $

Do đó: $\sum{\frac{1}{\sqrt{a^{3}+2b^{3}+6}} \leq \frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}{\sqrt{3(x+y+z)}} \leq 1 $

tangkhaihanh · 13-12-2010, 08:51 PM

Bài 1:
ĐẶt a+b+c=x
Áp dụng AM-GM:
$ a^3+ (\frac{8x}{17})^3+(\frac{8x}{17})^3 \ge 3\sqrt[3]{a^3.(\frac{8x}{17})^3.(\frac{8x}{17})^3}=\frac{3. 64.ax^2}{289} $

$c^3+(\frac{8x}{17})^3+(\frac{8x}{17})^3 \ge 3\sqrt[3]{c^3.(\frac{8x}{17})^3.(\frac{8x}{17})^3}=\frac{3. 64.cx^2}{289} $

$ (4b)^3+(\frac{4x}{17})^3+(\frac{4x}{17})^3 \ge 3\sqrt[3]{(4b)^3.(\frac{4x}{17})^3.(\frac{4x}{17})^3} =\frac{3.64.bx^2}{289} $

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta có:

$a^3+b^3+c^3+4(\frac{8x}{17})^3+2(\frac{4x}{17})^3} \ge \frac{3.64.x^2(a+b+c)}{289}= \frac{3.64.x^3}{289} $

$\Leftrightarrow a^3+64b^3+c^3 \ge \frac{64x^3}{289} $

$\Leftrightarrow 289(a^3+64b^3+c^3 ) \ge 64(a+b+c)^3 $
Dấu ''='' xảy ra khi và chỉ khi $a=c=2b>0 $

Persian · 13-12-2010, 11:08 PM

Trích:

Nguyên văn bởi tangkhaihanh

Bài 3: Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa mãn abc=1. CMR
$\frac{1}{\sqrt{a^3+2b^3+6}} + \frac{1}{\sqrt{b^3+2c^3+6}} + \frac{1}{\sqrt{c^3+2a^3+6}} \le 1 $

Nếu đề là ^3 thì có thể giải như sau

$\sum {\frac{1}{{\sqrt {{a^3} + 2{b^3} + 6} }} \le \sum {\frac{1}{{\sqrt {3a + 6b} }}} ({a^3} + 1 + 1 \ge 3a,{b^3} + 1 + 1 \ge 3b)} \\ $
$\sum {\frac{1}{{\sqrt {3a + 6b} }}} = \sum {\frac{3}{{\sqrt {9(3a + 6b)} }}} \le \sum {\frac{6}{{3a + 6b + 9}}} = \sum {\frac{2}{{a + 2b + 3}}} \le 1\\ $
Đặt:$a = {x^2},b = {y^2},c = {z^2} \Rightarrow xyz = 1\\ $
Ta phải cm:
$\frac{1}{{{x^2} + 2{y^2} + 3}} + \frac{1}{{{y^2} + 2{z^2} + 3}} + \frac{1}{{{z^2} + 2{x^2} + 3}} \le \frac{1}{2}\\ $

$LHS \le \frac{1}{{2xy + 2y + 2}} + \frac{1}{{2yz + 2z + 2}} + \frac{1}{{2zx + 2x + 2}} = \frac{1}{{2xy + 2y + 2}} + \frac{{xy}}{{2y + 2 + 2xy}} + \frac{y}{{2 + 2xy + 2y}} = \frac{1}{2} $

minhhieu123 · 14-12-2010, 01:45 PM

Sửa lại đề đi, để a^{2} sao làm

13-12-2010, 12:23 AM	#21
tangkhaihanh +Thành Viên+ Tham gia ngày: Oct 2010 Bài gởi: 74 Thanks: 32 Thanked 13 Times in 9 Posts	Xin lỗi thật lòng xin lỗi các bạn vì làm mất thời gian của các bạn minh chép sai đề. Vậy còn bài 1 thì sao, mình chắc chắn la chép đúng đề( vì mình vừa sửa lại một lần rồi mà). Mình mới làm được một bài gần gần giông thế là cho a+b+c=3 tim min($(a^3+b^3+c^3) $ nhưng bài này mình chưa làm được thay đổi nội dung bởi: tangkhaihanh, 13-12-2010 lúc 12:29 AM

13-12-2010, 12:27 AM	#22
NguyenNhatTan +Thành Viên+ Tham gia ngày: Jul 2010 Đến từ: THPT Lào Cai 1 Bài gởi: 202 Thanks: 30 Thanked 246 Times in 122 Posts	Nếu đề là a³ thì giải như sau: Đặt $a=\frac{x}{y};b=\frac{y}{z};c=\frac{z}{x} $ Có: $a^{3}+2b^{3}+6=(a^{3}+b^{3}+1)+(b^{3}+1+1)+3 $ $\geq 3(ab+b+1)=3(\frac{x}{z}+\frac{y}{z}+1)=\frac{3(x+y +z)}{z} $ Do đó: $\sum{\frac{1}{\sqrt{a^{3}+2b^{3}+6}} \leq \frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}{\sqrt{3(x+y+z)}} \leq 1 $ __________________ Tớ sẽ cố gắng ...... vì cậu

13-12-2010, 12:16 AM	#18
tangkhaihanh +Thành Viên+ Tham gia ngày: Oct 2010 Bài gởi: 74 Thanks: 32 Thanked 13 Times in 9 Posts	Ừ nhỉ đúng rồi ngược dấu mình xin lỗi

13-12-2010, 08:51 PM	#23
tangkhaihanh +Thành Viên+ Tham gia ngày: Oct 2010 Bài gởi: 74 Thanks: 32 Thanked 13 Times in 9 Posts	Bài 1: ĐẶt a+b+c=x Áp dụng AM-GM: $ a^3+ (\frac{8x}{17})^3+(\frac{8x}{17})^3 \ge 3\sqrt[3]{a^3.(\frac{8x}{17})^3.(\frac{8x}{17})^3}=\frac{3. 64.ax^2}{289} $ $c^3+(\frac{8x}{17})^3+(\frac{8x}{17})^3 \ge 3\sqrt[3]{c^3.(\frac{8x}{17})^3.(\frac{8x}{17})^3}=\frac{3. 64.cx^2}{289} $ $ (4b)^3+(\frac{4x}{17})^3+(\frac{4x}{17})^3 \ge 3\sqrt[3]{(4b)^3.(\frac{4x}{17})^3.(\frac{4x}{17})^3} =\frac{3.64.bx^2}{289} $ Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta có: $a^3+b^3+c^3+4(\frac{8x}{17})^3+2(\frac{4x}{17})^3} \ge \frac{3.64.x^2(a+b+c)}{289}= \frac{3.64.x^3}{289} $ $\Leftrightarrow a^3+64b^3+c^3 \ge \frac{64x^3}{289} $ $\Leftrightarrow 289(a^3+64b^3+c^3 ) \ge 64(a+b+c)^3 $ Dấu ''='' xảy ra khi và chỉ khi $a=c=2b>0 $

14-12-2010, 01:45 PM	#25
minhhieu123 +Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2010 Đến từ: xứ bụi Bình Phước Bài gởi: 69 Thanks: 31 Thanked 20 Times in 11 Posts	Sửa lại đề đi, để a^{2} sao làm