Phương trình - hệ phương trình vô tỷ

[conami]

Phương trình và hệ phương trình vô tỉ là một phần rất quan trọng của đại số. Những bài tập trong phần này cũng rất đa dạng, phong phú và cũng yêu cầu sự linh hoạt cao của người làm bài để có những lời giải chính xác, ngắn gọn và độc đáo. Hôm nay mình lập topic này với mong muốn cũng các bạn trên Mathscope trao đổi với nhau về các dạng bài tập và phương pháp giải phương trình-hệ phương trình vô tỉ. Rất mong nhận được sự ủng hộ nhiệt tình từ phía các bạn.
Khai trương topic bằng một bài tập giải phương trình:
Bài 1:
a) $(\sqrt{x+5}- \sqrt{x+2})(1+\sqrt{x^{2}+7x+10})=3 $
b) $\sqrt[3]{x+1} +\sqrt[3]{x-1} = \sqrt[3]{5x} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[hieultv12]

B) $\sqrt[3]{x+1} +\sqrt[3]{x-1} = \sqrt[3]{5x} $
$\Leftrightarrow 2x+3\sqrt[3]{x^2-1}(\sqrt[3]{x+1} +\sqrt[3]{x-1})=5x $
$\Leftrightarrow \sqrt[3]{x^2-1}\sqrt[3]{5x}=x $
đến đây thì co thể tự làm tiếp rồi
a) $(\sqrt{x+5}- \sqrt{x+2})(1+\sqrt{x^{2}+7x+10})=3 $
Đk: $x\ge -2 $
$(\sqrt{x+5}- \sqrt{x+2})(1+\sqrt{x^{2}+7x+10})=3 $
$\Leftrightarrow \frac{3}{\sqrt{x+5}+ \sqrt{x+2}}(1+\sqrt{x^{2}+7x+10})=3 $
$\Leftrightarrow 1+\sqrt{x^{2}+7x+10}=\sqrt{x+5}+ \sqrt{x+2} $
$\Leftrightarow (\sqrt{x+5}-1)(\sqrt{x+2}-1)=0 $
$\Leftrightarrow $ x=-1
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[ptk_1411]

Nguyên văn bởi conami

Khai trương topic bằng một bài tập giải phương trình:
a) $(\sqrt{x+5}- \sqrt{x+2})(1+\sqrt{x^{2}+7x+10})=3 $

a) $(\sqrt{x+5}-\sqrt{x+2})(1+\sqrt{x^2+7x+10})=3\Leftrightarrow 3\left [ 1+\sqrt{(x+2)(x+5}) \right ]=3(\sqrt{x+5}+\sqrt{x+2}) $

$\Leftrightarrow 1+\sqrt{(x+2)(x+5)}=\sqrt{x+2}+\sqrt{x+5} \Leftrightarrow (\sqrt{x+5}-1)(\sqrt{x+2}-1)=0 \Leftrightarrow x=-1 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[ptk_1411]

Giải phương trình: $\mathbf{\sqrt{3x^2-7x+3}-\sqrt{3x^2-5x-1}=\sqrt{x^2-2}-\sqrt{x^2-3x+4}} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Anh Khoa]

Nguyên văn bởi ptk_1411

Giải phương trình: $\mathbf{\sqrt{3x^2-7x+3}-\sqrt{3x^2-5x-1}=\sqrt{x^2-2}-\sqrt{x^2-3x+4}} $

ĐK:...
Phương trình tương đương:
$\frac{-2x+4}{\sqrt{3x^2-7x+3}+\sqrt{3x^2-5x-1}}=\frac{3x-6}{\sqrt{x^2-2}+\sqrt{x^2-3x+4}} $
$(x-2)[\frac{2}{\sqrt{3x^2-7x+3}+\sqrt{3x^2-5x-1}}+\frac{3}{\sqrt{x^2-2}+\sqrt{x^2-3x+4}}] $
$x=2 $
So với đk...
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[conami]

Nguyên văn bởi anhkhoavo1210

ĐK:...
Phương trình tương đương:
$\frac{-2x+4}{\sqrt{3x^2-7x+3}+\sqrt{3x^2-5x-1}}=\frac{3x-6}{\sqrt{x^2-2}+\sqrt{x^2-3x+4}} $
$(x-2)[\frac{2}{\sqrt{3x^2-7x+3}+\sqrt{3x^2-5x-1}}+\frac{3}{\sqrt{x^2-2}-\sqrt{x^2-3x+4}}] $
$x=2 $
So với đk...

Bạn viết cái gì dzậy
Có bạn nào có tài liệu hay link gì về các phương pháp giải phương trình vô tỉ hok??? Post cho mọi người tham khảo nào
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Anh Khoa]

Bạn không hiểu hay như thế nào? Đây là phương pháp lượng liên hiệp,bạn xem kĩ nhé,nếu có vấn đề nào khác xin chỉ rõ
PS:"dzậy","hok"
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[HBM]

Mình có một tài liệu khá hay về pt xin gửi cho mọi người tham khảo

anh Khoa gọi phương pháp ấy là liên hiệp à, giờ em mới biết tên gọi ấy đấy, trước giờ em toàn gọi là liên hợp

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Anh Khoa]

Nguyên văn bởi minhdeptrai26

Mình có một tài liệu khá hay về pt xin gửi cho mọi người tham khảo

anh Khoa gọi phương pháp ấy là liên hiệp à, giờ em mới biết tên gọi ấy đấy, trước giờ em toàn gọi là liên hợp

Liên hiệp với liên hợp 1 thứ mà chỉ có điều người nói thế này người nói thế kia thôi
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[ptk_1411]

Mời các anh tiếp tục ạ.

Giải các phương trình vô tỉ sau:

a) $\mathbf{\sqrt{x-\frac{1}{x}}+\sqrt{1-\frac{1}{x}}=x} $

b) $\mathbf{8x^2+\sqrt{\frac{1}{x}}=\frac{5}{2}} $

Các anh chém bằng cách THCS nhá!!

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[phantiendat_hv]

Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}
\sqrt{x}+\sqrt{y} = 5\\
\sqrt{x+5}+\sqrt{y+5} = 8
\end{array} \right. $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[coixaygiovt]

Nguyên văn bởi ptk_1411

Mời các anh tiếp tục ạ.

Giải các phương trình vô tỉ sau:

a) $\mathbf{\sqrt{x-\frac{1}{x}}+\sqrt{1-\frac{1}{x}}=x} $

${\sqrt{x-\frac{1}{x}}+\sqrt{1-\frac{1}{x}}=x} $
$\Leftrightarrow {\sqrt{(1-\frac{1}{x})(x+1)}+\sqrt{1-\frac{1}{x}}=(x-1)+1} $
$\Leftrightarrow {\sqrt{1-\frac{1}{x}}(\sqrt{x+1}+1)=(\sqrt{x+1}+1)(\sqrt{x+ 1}-1)} $
$\Leftrightarrow \sqrt{x+1}={\sqrt{1-\frac{1}{x}}+1 $

Tiếp tục nhé!

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[ptk_1411]

Nguyên văn bởi phantiendat_hv

Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}
\sqrt{x}+\sqrt{y} = 5\\
\sqrt{x+5}+\sqrt{y+5} = 8
\end{array} \right. $

$\begin{cases} \sqrt{x}+\sqrt{y}=5\\ \sqrt{x+5}+\sqrt{y+5}=8\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} x+y=25-2\sqrt{xy}\\ x+y=54-2\sqrt{(x+5)(y+5)}\end{cases}\Rightarrow 25-2\sqrt{xy}=54-2\sqrt{(x+5)(y+5)} $

$\Leftrightarrow 2\sqrt{(x+5)(y+5)}=29+2\sqrt{xy}\Rightarrow 4(xy+5x+5y+25)=4xy+116\sqrt{xy}+841 $

$\Leftrightarrow 20(x+y)=116\sqrt{xy}+741\Leftrightarrow 20(25-2\sqrt{xy})=116\sqrt{xy}+741\Leftrightarrow 156\sqrt{xy}=-241 $ (vô lí!)

Vậy hệ vô nghiệm.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[coixaygiovt]

Nguyên văn bởi ptk_1411

Mời các anh tiếp tục ạ.

Giải các phương trình vô tỉ sau:


b) ${8x^2+\sqrt{\frac{1}{x}}=\frac{5}{2}} $

Áp dụng BDT AM_GM ta có: ${8x^2+\sqrt{\frac{1}{x}}={8x^2+4.\frac{1}{4}\sqrt{ \frac{1}{x}} \geq 5.\sqrt[5]{8x^2(\frac{1}{4}\sqrt{\frac{1}{x}})^4}=\frac{5}{2 } $
Suy ra: ${8x^2+\sqrt{\frac{1}{x}}=\frac{5}{2}} $
$\Leftrightarrow 8x^2=\frac{1}{4}\sqrt{\frac{1}{x}} \Leftrightarrow x=\frac{1}{4} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[HBM]

Nguyên văn bởi coixaygiovt

Áp dụng BDT AM_GM ta có: ${8x^2+\sqrt{\frac{1}{x}}={8x^2+4.\frac{1}{4}\sqrt{ \frac{1}{x}} \geq 5.\sqrt[5]{8x^2(\frac{1}{4}\sqrt{\frac{1}{x}})^4}=\frac{5}{2 } $
Suy ra: ${8x^2+\sqrt{\frac{1}{x}}=\frac{5}{2}} $
$\Leftrightarrow 8x^2=\frac{1}{4}\sqrt{\frac{1}{x}} \Leftrightarrow x=\frac{1}{4} $

Cũng xài AM-GM luôn nhưng cách mình có vẻ gọn hơn 1 tí. Đặt $\frac{1}{\sqrt{x}} =a (a>0) \Rightarrow x=\frac{1}{a^2} $. Pt trở thành $\frac{8}{a^4}+\frac{a}{4}+\frac{a}{4}+\frac{a}{4}+ \frac{a}{4} \ge \frac{5}{2} $.Dấu "=" xảy ra khi $a=2 \Leftrightarrow x=\frac{1}{4} $.

bạn ǹao post đề lên nhớ đánh theo thứ tự nhé để cho dễ theo dõi hơn,để cho dễ đánh thì bài tíêp theo là bài 1 đi

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]