|
|
|
Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé ! * Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope * Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây |
| Ðiều Chỉnh | Xếp Bài |
22-05-2012, 12:15 PM | #1 |
Moderator Tham gia ngày: Oct 2011 Đến từ: Hội Fan của thầy Thái (VVT Fan Club) Bài gởi: 1,058 Thanks: 937 Thanked 1,249 Times in 433 Posts | Thảo luận về "60 bài hệ phương trình" Trong các tài liệu mà anh huynhcongbang đã cho TrauBo thấy có 1 file rất hay đó là hephuongtrinh.pdf là tuyển tập 60 bài hệ phương trình. TrauBo đã nghiên cứu một thời gian và thấy những bài trong đó được tuyển chọn khá kĩ, theo từng chuyên đề, nhưng chỉ ghi đáp án chứ không ghi ý tưởng nên nhiều bài cũng không biết vì sao ra được như vậy. Vì vậy, để tạo không khí sôi nổi cho chuyên đề phương trình - hệ phương trình Mathscope, TrauBo xin phép lập topic này. TrauBo sẽ lần lượt lập từng chủ đề để mọi người thảo luận, mục tiêu chính là khai thác triệt để tài liệu trên. Vào topic này, các bạn có thể: _ Đưa ra câu hỏi về PP làm bài (nhớ in đậm câu hỏi) _ Đưa ra ý kiến về phương pháp làm bài, tại sao lại nghĩ tới hướng đó, đưa ra mở rộng, chia sẻ bài tập tương tự, ... _ Nếu thấy bài nào hay các bạn cứ tự nhiên đưa vào chuyên đề mình đang viết. Để tránh trùng lặp bạn nào lấy bài thì nhớ ghi "Mình xin lấy bài ... vào chuyên đề ... của mình". _ Topic này được lập ra vì nhiều mục đích, do đó mong các bạn thảo luận trên tinh thần chia sẻ, học hỏi và không spam. Xin cảm ơn các bạn. File đính kèm ở bên dưới -------------------------------------------------------------------------- Chúng ta đến với Chủ đề 1: HỆ SỐ BẤT ĐỊNH TRONG HỆ PHƯƠNG TRÌNH HỮU TỈ (Bài 1 -> 6, 11, 14) Hệ số bất định là nguồn gốc cho nhiều lời giải đẹp trong các bài phương trình - hệ phương trình. Qua những bài tập trong file, chúng ta sẽ nghiên cứu kĩ hơn về PP này. ** Bài 1, 2, 3, 11: ** Bài 4, 14: ** Bài 5, 6: Thật ra TrauBo đã tìm ra một số hướng đi khác cho những bài trên. Cụ thể như sau: ** Bài $4, 5, 6$: ** Bài 5, 6: Trên đây là những câu hỏi và giải pháp mà TrauBo đã nghiên cứu trong thời gian qua. Xin các bạn góp ý thêm thay đổi nội dung bởi: TrauBo, 23-05-2012 lúc 09:29 AM |
The Following 17 Users Say Thank You to TrauBo For This Useful Post: | 1703025 (22-05-2012), dzitxiem (25-12-2012), hgly1996 (23-05-2012), ilikeit (27-06-2012), ladykillah96 (27-05-2012), Lê Đình Mẫn (15-07-2012), n.v.thanh (22-05-2012), nguoibimat (22-05-2012), Ng_Anh_Hoang (23-05-2012), nhatnippro (24-05-2012), ohara (22-05-2012), retre (23-06-2012), thanhgand (22-05-2012), truongson2007 (23-06-2012), tuanben1995 (10-06-2012), VinhPhucNK (23-05-2012), vjpd3pz41iuai (22-05-2012) |
22-05-2012, 02:08 PM | #2 |
+Thành Viên Danh Dự+ Tham gia ngày: May 2011 Đến từ: Biên Hòa-Đồng Nai Bài gởi: 862 Thanks: 206 Thanked 503 Times in 295 Posts | Cái đó hình như là tuyển tập 60 hệ của math.vn phải ko??? __________________ You've set my heart soaring Ma đáng yêu |
22-05-2012, 04:18 PM | #3 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Apr 2012 Đến từ: Dải Ngân Hà Bài gởi: 163 Thanks: 256 Thanked 59 Times in 39 Posts | Lấy ở đâu chả được bạn à? . Quan trọng là có biết khai thác nó không. Ý tưởng của bác TrauBo khá hay đấy nhưng mình vẫn chưa tìm ra hướng đi nào cả Cho tớ hỏi là cái xét delta có khả thi trong nhiều bài không nhỉ? Nhìn qua thì nó sẽ dẫn tới giải một phương trình nghiệm nguyên kiểu như $$ax^2+bx=cy^2$$ Bài 5 và 6 khá đặc biệt vì $c<0$ nhưng tổng quát thì chưa biết sao [Only registered and activated users can see links. ] Có gì mọi người qua đây nhé thảo luận cái PT nghiệm nguyên ở đây coi chừng bị coi là spam |
The Following 3 Users Say Thank You to Ng_Anh_Hoang For This Useful Post: |
23-05-2012, 06:35 PM | #4 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Apr 2012 Đến từ: Dải Ngân Hà Bài gởi: 163 Thanks: 256 Thanked 59 Times in 39 Posts | Trích:
Thôi thì đôi ta tự sướng với nhau vậy À ở bài 4,5,6 bạn hỏi có tồn tại phép đặt $\begin{cases} x=au+bv \\ y=cu+dv \end{cases} $ để từ $mx^3+nxy^2$ khử hết $xy^2$ giống trong bài kia là $x^3+3xy^2$, thì mình cũng suy nghĩ và thấy cách đặt này không ổn lắm. Cho $m=n=1$ ta có $x^3+xy^2$ Đặt ẩn phụ như trên thì: $$\begin{cases} x^3=a^3u^3+3a^2b(u^2v)+3ab^2(uv^2)+b^3v^3 \\ xy^2=ac^2.u^3+(2acd+bc^2).u^2v+(ad^2+2bcd).uv^2+bd ^2.v^3 \end{cases}$$ Để khử được $u^2v ; uv^2$ ta cần có: $$\begin{cases} ac^2=a^3\ (1) \\ 2acd+bc^2=-3a^2b\ (2) \\ ad^2+2bcd=-3ab^2\ (3) \\ b^3=bd^2\ (4) \end{cases}$$ Từ (1) và (4) có $\begin{cases} a= \pm c \\ b = \pm d \end{cases}$ Thử cả 4 trường hợp vào (2) đều không thoả Mình nghĩ chắc chỉ có thể nói là: Không phải hệ nào cũng giải bằng HSBĐ được Nhưng mình sẽ tiếp tục nghiên cứu . Khoái cái này rồi thay đổi nội dung bởi: Ng_Anh_Hoang, 23-05-2012 lúc 06:37 PM Lý do: Tự động gộp bài | |
The Following 5 Users Say Thank You to Ng_Anh_Hoang For This Useful Post: | dzitxiem (25-12-2012), ilikeit (15-07-2012), ngoduchung8A (23-06-2012), TrauBo (23-05-2012), VinhPhucNK (23-05-2012) |
23-05-2012, 07:43 PM | #5 | ||
Moderator Tham gia ngày: Oct 2011 Đến từ: Hội Fan của thầy Thái (VVT Fan Club) Bài gởi: 1,058 Thanks: 937 Thanked 1,249 Times in 433 Posts | Trích:
Trích:
Đây chắc chắn là kết luận cuối cùng rồi bạn, có điều nó không "chặt", không phải điều mà TrauBo muốn tìm. Cũng giống như mệnh đề "Với $k \ge 100$ thì $x^2+y^2 \ge kxy$ không luôn đúng" là chuẩn, nhưng không chặt. Ta lại phải đặt ra câu hỏi "Vậy đâu là số k lớn nhất để $x^2 +y^2 \ge kxy$ luôn đúng?". Sau này nhờ Cauchy ta biết đó là $k=2$ . Ở đây cũng vậy, cái mà TrauBo tìm chính là "phương pháp HSBĐ có thể giải được bao nhiêu (dạng) hệ PT?" Mong tiếp tục được thảo luận cùng bạn | ||
The Following 3 Users Say Thank You to TrauBo For This Useful Post: |
23-05-2012, 08:11 PM | #6 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Jan 2012 Bài gởi: 80 Thanks: 79 Thanked 38 Times in 19 Posts | Chà các bác thảo luận hăng quá nhỉ? Tớ cũng khoái cái HSBĐ lắm mà biết gì bác TrauBo nói hết rồi Thôi góp 1 BT nho nhỏ vậy bạn nào đưa vô chuyên đề nè Giải phương trình $$21x-25+2\sqrt{x+2}=19\sqrt{x^2-x-2}+\sqrt{x+1}$$ |
The Following User Says Thank You to VinhPhucNK For This Useful Post: | dzitxiem (25-12-2012) |
23-05-2012, 08:36 PM | #7 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Apr 2011 Đến từ: Chân núi Hồng Lĩnh Can Lộc Bài gởi: 259 Thanks: 64 Thanked 131 Times in 89 Posts | Ui, trong hệ phương trình cái trò có khi nhân (1) với $\alpha $, (2) với $\beta $ khi thì cả hai phương trình là mình bịa đấy, cơ mà nhiều anh thấy cái này đành liền chế ra nhiều phương trình để ra đề thi cho học sinh trong đó có phương trình lượng giác. ------------------------------ Không ngờ có người lại khai thác sâu vào cái này, khi thấy số mũ của x,y rồi xy đổ theo "dốc hằng đẳng thức" thì nghĩ ngay đến mẹo vặt này thôi. ------------------------------ Bun cái $21x-25=21x+21-46 $ và $x^2-x-2=(x+1)(x-2) $ biết thế thôi nhỉ! thay đổi nội dung bởi: LSG, 23-05-2012 lúc 08:49 PM Lý do: Tự động gộp bài |
The Following 2 Users Say Thank You to LSG For This Useful Post: | ngoduchung8A (23-06-2012), TrauBo (23-05-2012) |
23-05-2012, 09:23 PM | #8 | |
Moderator Tham gia ngày: Oct 2011 Đến từ: Hội Fan của thầy Thái (VVT Fan Club) Bài gởi: 1,058 Thanks: 937 Thanked 1,249 Times in 433 Posts | Trích:
Bạn có thể giải thích thêm về khái niệm "số mũ đổ dốc hằng đẳng thức"? Dạng tổng quát của nó là gì? Và có tồn tại cách đặt ẩn phụ $\begin{cases} x=au+bv \\ y=cu+dv \end{cases} không? | |
23-05-2012, 09:28 PM | #9 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Apr 2011 Đến từ: Chân núi Hồng Lĩnh Can Lộc Bài gởi: 259 Thanks: 64 Thanked 131 Times in 89 Posts | Trích:
tương tự đối với y, rồi là $x^3,y^3,x^2y;xy^2 $.. "đổ dốc" của hằng đẳng thức đó thây. Còn khi đặt câu hỏi có tồn tại cách đặt ẩn phụ cho $\begin{cases} x=au+bv \\ y=cu+dv \end{cases} $ là bạn đã có sẵn câu trả lời trong đầu rồi đó. P/S: Có phải hôm nọ chú gọi cho anh không đó. | |
The Following 3 Users Say Thank You to LSG For This Useful Post: |
23-05-2012, 10:08 PM | #10 |
+Thành Viên Danh Dự+ Tham gia ngày: Feb 2011 Bài gởi: 657 Thanks: 388 Thanked 470 Times in 196 Posts | Mình xin trình bày suy nghĩ của mình: Bài 4: $$\begin{cases}x^2+y^2=\dfrac{1}{5}\\ 4x^2+3x-\dfrac{57}{25}=-y(3x+1)\end{cases}$$ Để đơn giản (mất dạng phân số) ta thay $x=\dfrac{a}{5}, y=\dfrac{b}{5}$. Khi đó hệ trở trành:$$\begin{cases}a^2+b^2-5=0\\ 4a^2+15a-57+3ab+5b=0\end{cases}$$ Bây giờ nhân phương trình (1) với $\alpha$ rồi cộng với phương trình (2), ta sẽ có phương trình: $(4+\alpha)a^2+3(b+5)a+\alpha b^2+5b-5\alpha-57=0 (*)$ Xem đây là phương trình bậc 2 ẩn $a$ thì: $\Delta_a=9(b+5)^2-4(4+\alpha)(\alpha b^2+5b-5\alpha-57)$ Mình phải tìm sao cho $\Delta_a$ chính phương. Khai triển rồi thu gọn $\Delta_a$ thành một tam thức bậc 2 theo $b$, tham số là $\alpha$. Mình tính được $\Delta_b$ theo $\alpha$ là: $\Delta_b=16(20\alpha^4+388\alpha^3+2349\alpha^2+3 830\alpha -2552$ Thật ra không cần phải khai triển ra như vầy. Chỉ cần lập biểu thức $\Delta_b$ là được. Khi đó giải phương trình $\Delta_b=0$, ta tìm được nghiệm $\alpha=\dfrac{1}{2}$. Việc giải phương trình này là đơn giản với máy tính bỏ túi. Từ đó ta thay lại vào (*) là xong ------------------------------ Còn một cách thứ 2, đơn giản hơn theo mình là từ phương trình (2) tính $y$ theo $x$ rồi thay vào phương trình (1), khai triển, thu gọn sẽ ra được phương bậc 4 ẩn $x$. Như vậy không cần phải chọn hệ số $\alpha$ gì hết và phát huy được khả năng dùng máy tính . Đó chỉ là suy nghĩ của mình, không biết các bạn nghĩ thế nào. Chứ mình nghĩ cho đề kiểu thế này giống bắt mình đoán ý người ra đề quá ------------------------------ Mình nghĩ bài hệ sau có thể sử dụng phương pháp hệ số bất định. $$\begin{cases}x^2+xy+y^2=(x-y)^4\\x^2-xy+y^2=x-y\end{cases}$$ $$\begin{cases}2x^2-xy+y^2+x-3y=0\\x^2+xy-3y^2=x-2y\end{cases}$$ Lời giải hệ (2) của mình sử dụng phương pháp hệ số bất định . Các bạn xem thử nhé thay đổi nội dung bởi: Trầm, 24-05-2012 lúc 11:25 AM Lý do: Tự động gộp bài |
24-05-2012, 10:13 AM | #11 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Apr 2012 Đến từ: Dải Ngân Hà Bài gởi: 163 Thanks: 256 Thanked 59 Times in 39 Posts | Trích:
Cảm ơn bạn tanggo đã đưa ra một cách lí giải khác. Về ý tưởng thì cũng là đưa về xét $\triangle$. Có điều bài 5, 6 bạn làm vậy được vì 1 PT có bậc cao hơn. Còn ở bài 4 cách làm này không thật sự thuyết phục: cả 2 phương trình có bậc 2 thì làm sao biết nhân $\alpha$ vào phương trình nào? Nếu bạn nhân $\alpha$ vào (2) thì $\triangle$ sẽ rất cồng kềnh và $\alpha$ không phải số hữu tỉ đâu. Ở bài này có thể lí giải rằng phương trình (1) nhìn đơn giản hơn nên nhân vào, nhưng ở 2 bài mà bạn đưa ra thì PT nào cũng như nhau. Bạn suy nghĩ thêm nhé, à cái phương trình (2) của bài 4 bạn viết sai kìa, phải là $$4a^2+15a-57+3ab+5b=0$$ mới đúng. | |
The Following 4 Users Say Thank You to Ng_Anh_Hoang For This Useful Post: |
24-05-2012, 10:33 AM | #12 | |
Moderator Tham gia ngày: Oct 2011 Đến từ: Hội Fan của thầy Thái (VVT Fan Club) Bài gởi: 1,058 Thanks: 937 Thanked 1,249 Times in 433 Posts | Trích:
Tuy nhiên 2 bài này... không cần thiết phải dùng HSBĐ . Ta vẫn có cách giải đơn giản hơn như sau: ** Bài 1: $$\begin{cases}x^2+xy+y^2=(x-y)^4\\x^2-xy+y^2=x-y\end{cases}$$ Đặt $a=x+y;b=x-y$. Ta có HPT: $$\begin{cases} 3a^2+b^2=4b^4\ (1) \\ a^2+3b^2=4b\ (2) \end{cases}$$ Từ (1) có $a^2=\dfrac{4b^4-b^2}{3}$ Thay vào (2) có $\dfrac{4b^4-b^2}{3}+3b^2=4b \Leftrightarrow b \in \{0 ; 1\}$ (đẹp như mơ) Cách đặt ẩn phụ đưa về tổng tích là một PP rất hay, chúng ta sẽ nói đến kĩ hơn trong Chủ đề 2. Giờ cố xong cái Chủ đề 1 đã ** Bài 2: $$\begin{cases}2x^2-xy+y^2+x-3y=0\ (1)\\x^2+xy-3y^2=x-2y\ (2)\end{cases}$$ $(1)+(2):3x^2-2y^2-y=0 \Leftrightarrow x^2=\dfrac{2y^2+y}{3}$ Thay vào (1) ta có PT: $$\dfrac{7}{3}y^2-y(\dfrac{7}{3}+x)+x=0$$ Có $\triangle=(\dfrac{7}{3}+x)^2-4.\dfrac{7}{3}.x=(\dfrac{7}{3}-x)^2$ Vậy là xong Bài của bạn VinhPhucNK đưa lên là một bài rất hay, có nhiều điều để khai thác. TrauBo sẽ phân tích sau. Cảm ơn bạn thay đổi nội dung bởi: TrauBo, 24-05-2012 lúc 10:39 AM | |
The Following 3 Users Say Thank You to TrauBo For This Useful Post: |
24-05-2012, 11:07 AM | #13 |
Super Moderator Tham gia ngày: Apr 2009 Bài gởi: 696 Thanks: 8 Thanked 800 Times in 423 Posts | File tuyển tập 60 bài trên cũng là file chưa hoàn chỉnh do tôi tổng hợp từ diễn đàn math.vn. (file gốc latex tôi vẫn giử). Nay các bạn có ý hoàn thiện sâu hơn về chuyên đề này thì tôi sẽ sẵn sàng chia sẻ file nguồn các câu mà các bạn cần. __________________ |
The Following 7 Users Say Thank You to hungchng For This Useful Post: | duccleverboy (24-05-2012), dzitxiem (25-12-2012), ilikeit (15-07-2012), maxmin (28-05-2012), ngoduchung8A (23-06-2012), TrauBo (24-05-2012), Trầm (24-05-2012) |
24-05-2012, 11:36 AM | #14 |
+Thành Viên Danh Dự+ Tham gia ngày: Feb 2011 Bài gởi: 657 Thanks: 388 Thanked 470 Times in 196 Posts | Lời giải của mình như sau $$\begin{cases}x^2+xy+y^2=(x-y)^4 (1)\\x^2-xy+y^2=x-y (2)\end{cases}$$ Để ý cả hai phương trình đều có nhân tử $(x-y)$ Vậy ta sẽ thêm bớt rồi cộng lại sao cho tạo được một phương trình có ẩn là $(x-y)$. Nhân phương trình (2) cho $a$ rồi cộng phương trình (1) ta được. $(1+a)x^2+(1-a)xy+(1+a)y^2=(x-y)^4+a(x-y)$ Tới đây chọn sao cho biểu thức: $(1+a)x^2+(1-a)xy+(1+a)y^2 =k(x-y)^2$. Ta tìm được $a=-3$. Như vậy ta sẽ giải phương trình $-2(x-y)^2=(x-y)^4-3(x-y)$. Phương trình này không quá khó khăn $$\begin{cases}2x^2-xy+y^2=-x+3y\\x^2+xy-3y^2=x-2y\end{cases}$$ Hệ này khá đơn giản do mỗi phương trình không có hệ số tự do. . Bằng nhận xét các hệ số, thử thay $ x=y$ vào mỗi phương trình ta sẽ có: $$\begin{cases}2y^2-y^2+y^2=-y+3y (1)\\y^2+y^2-3y^2=y-2y (2)\end{cases}$$ Hai phương trình (1) và (2) là tương đương nhau. Như vậy hệ sẽ có một nghiệm là $x=y$. Từ đó ta có: nhân phương trình sau cho $a$ rồi cộng với phương trình đầu ta có: $(2+a)x^2+(a-1)xy+(y-3a)y^2=(a-1)x+(3-2a)y$ (3) Do hệ có nghiệm $x=y$ nên phương trình (3) sẽ tách được một nhân tử dạng $(x-y)$. Khi đó ta có: $a-1=-(3-2a)$ Từ đó ta được $a=2$. Tới đây (3) trở thành: $4x^2+xy-5y^2=x-y \Leftrightarrow (x-y)(4x+5y)=x-y$ Như thế ta đã giải quyết xong hệ. Bạn mình có một cách thêm bớt rất hay, nhưng hình như dựa vào bản năng của nó. Mình cũng không chú ý lắm nên không nhớ Ở đây mình còn một hệ nữa: $$\begin{cases}x^2-4x+y^2-6y+9=0 (1)\\xy+x+2y-22=0 (2)\end{cases}$$ Mình giải bằng cách từ phương trình (2) tính $y$ theo $x$ rồi thay vào phương trình (1) ra phương trình bậc 4, bấm máy. Tuy nhiên bạn mình sử dụng một cách thêm bớt để đưa về một phương trình bậc 2 rất gọn. Mình nghĩ chắc do hên xui chứ thực sự nó chẳng biết đồng nhất hệ số là gì hết . Các bạn cùng cho ý kiến nhé. Ở đây không chỉ là trình bày bài giải mà xin các bạn cho ý kiến tại sao lại làm vậy? thay đổi nội dung bởi: Trầm, 24-05-2012 lúc 12:14 PM Lý do: Tự động gộp bài |
The Following 5 Users Say Thank You to Trầm For This Useful Post: | DoThanhTung_ĐH (31-05-2012), dzitxiem (25-12-2012), ilikeit (15-07-2012), ngoduchung8A (23-06-2012), TrauBo (24-05-2012) |
24-05-2012, 12:46 PM | #15 | ||
Moderator Tham gia ngày: Oct 2011 Đến từ: Hội Fan của thầy Thái (VVT Fan Club) Bài gởi: 1,058 Thanks: 937 Thanked 1,249 Times in 433 Posts | Trích:
Chúng ta tiếp tục thảo luận Trích:
Bài 4 có nhiều cách giải. Cách tự nhiên nhất là dùng phép thế đưa về PT bậc 4. Hệ số bậc 4 tuy lên tới 10000 nhưng PT có nghiệm hữu tỉ nên không khó. Bài này cũng còn một cách khá "khủng" như sau: Như vậy rõ ràng đề không phải được chế một cách tự nhiên mà được chọn lọc kĩ, nếu không khó có thể tồn tại cách giải đẹp như trên được. Bài 6 là của thầy Kiều Đình Minh, bài này thầy đặt ẩn phụ $2x=u+v;2y=u-v$ rồi đưa về hệ không có $uv$: $$\begin{cases} u^3-v^3=35 \\ 3u^2+9u=-2v^2+4v \end{cases} $$ Đến đây làm như bài 1, 2, 3 ta nhân 3 vào PT (2), cộng với (1) để được $(u+3)^3=(v-2)^3$ Như vậy các bài trên đều có hướng đi riêng. Từ đó TrauBo đặt ra câu hỏi phải chăng lời giải bằng HSBĐ trong file là do biết trước nghiệm? Nếu vậy thì khó lòng tổng quát hoá phương pháp này. TrauBo đã gửi tin nhắn tới anh Lữ và thầy Nam Dũng, hi vọng sẽ nhận được câu trả lời hay Nếu thuận lợi chúng ta qua chủ đề tiếp theo luôn thay đổi nội dung bởi: TrauBo, 24-05-2012 lúc 01:23 PM | ||
The Following 5 Users Say Thank You to TrauBo For This Useful Post: | Akira Vinh HD (24-05-2012), dzitxiem (25-12-2012), ngoduchung8A (23-06-2012), Ng_Anh_Hoang (24-05-2012), Trầm (24-05-2012) |
Bookmarks |
|
|