Cực trị hình học

[khong_hai]

Cho đường tròn (O:R) và hai điểm phân biệt A,B cố định nằm trên (O;R) sao cho đường thẳng AB không đi qua tâm O. Gọi d và d' thứ tự là tiếp tuyến của (O;R) tại các tiếp điểm A,B. Điểm M di đông trên cung nhỏ AB của (O:R)sao cho M khác A và B. Kẻ MH vuông góc với d tại H, MK vuông góc với d' tại K.Tìm vị trí của M để $\frac{1}{MH}+\frac{1}{MK} $ đạt giá trị nhỏ nhất
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[kthptdc4]

Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Tìm vị trí điểm M để 2MA+MB+MC đạt giá trị nhỏ nhất
------------------------------
mời mọi người cùng giải
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[nam1994]

Mình nghĩ bài 2 phải là căn 2 thì đẹp hơn
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[kthptdc4]

căn hai thì M là tâm đường tròn nội tiếp tam jiac ABC
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[truongvoki_bn]

Nguyên văn bởi kthptdc4

Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Tìm vị trí điểm M để 2MA+MB+MC đạt giá trị nhỏ nhất
------------------------------
mời mọi người cùng giải

Bài này chỉ dùng vector là ra thôi. Đánh giá điểm M với điểm
A min= AB+AC khi M trùng A.
2MA+MB+MC>=2MA+vetorMA.((vetorAB/AB+vetorAC/AC)+AB+AC>=AB+AC.....
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[dangchienbn]

Bài 1. Hạ $MD $ vuông góc với $AB $ ($D $ thuộc $AB $). Ta có tam giác $MHA $ đồng dạng với tam giác $MDB $ nên $\frac {1}{MH}=\frac{MB}{MA.MD} $
Tương tự suy ra $\frac{1}{MK}=\frac{MA}{MB.MD} $
Từ đây nhận thấy $\frac{1}{MH}+\frac{1}{MK} \geq \frac{2}{MD} \geq \frac{2}{MD'} $ với $D' $ là trung điểm cung $AB $
Bài 2 đã có tổng quát rồi. Bạn Thủy Trạm gõ Tex hẳn hoi nhé.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[nam1994]

Nguyên văn bởi truongvoki_bn

Bài này chỉ dùng vector là ra thôi. Đánh giá điểm M với điểm
A min= AB+AC khi M trùng A.
2MA+MB+MC>=2MA+vetorMA.((vetorAB/AB+vetorAC/AC)+AB+AC>=AB+AC.....

Này Thủy ơi sai rồi mới đầu mình làm vậy sai nên phải sửa, xem lại đi
$((vetorAB/AB+vetorAC/AC) $không bằng 2 đâu
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[dangchienbn]

Bài toán tổng quát. Cho tam giác $ABC $. Tìm $M $ để $xMA+yMB+zMC $ min.
Gọi điểm $N $ là điểm thỏa mãn $x\frac{\overrightarrow{NA}}{NA}+y \frac{\overrightarrow{NB}}{NB}+z \frac{\overrightarrow{NC}}{NC}=0 $
Ta có $xMA+yMB+zMC=\sum \frac{MA.NA}{NA} $
$\geq \sum x\frac{\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{NA}}{NA } $$=\sum x\frac{(\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NA}). \overrightarrow{NA}}{NA}= $$\sum xNA+\overrightarrow{MN} \sum x\frac{\overrightarrow{NA}}{NA}=\sum xNA $
Dấu bằng khi $M $ trùng $N $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[truongvoki_bn]

Nguyên văn bởi nam1994

Này Thủy ơi sai rồi mới đầu mình làm vậy sai nên phải sửa, xem lại đi
$((vetorAB/AB+vetorAC/AC) $không bằng 2 đâu

thế xin hỏi bạn 2 có lớn hơn căn 2 không???
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[nam1994]

Nguyên văn bởi truongvoki_bn

thế xin hỏi bạn 2 có lớn hơn căn 2 không???

Bạn vui tính nhỉ vậy thì biểu thức cần tìm vẫn còn phụ thuôc vào M mà, xem lại hộ cái thủy trạm à
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[truongvoki_bn]

Nguyên văn bởi nam1994

Bạn vui tính nhỉ vậy thì biểu thức cần tìm vẫn còn phụ thuôc vào M mà, xem lại hộ cái thủy trạm à

BẠn cũng vui tính phết:
Ta có:


$2MA+MB+MC \geq 2MA+AB+AC+\overrightarrow {MA}.(\frac{\overrightarrow {AB}}{AB}+\frac{\overrightarrow {AC}}{AC}) $
Mà
$(\frac{\overrightarrow {AB}}{AB}+\frac{\overrightarrow {AC}}{AC}) ^{2}=2 $
Suy ra:
$2MA+MB+MC \geq 2MA+AB+AC+\overrightarrow {MA}.(\frac{{\overrightarrow {AB}}}{AB}+ $$\frac{\overrightarrow {AC}}{AC})\geq 2MA+AB+AC+\sqrt{2}MA.cos\alpha \geq MA(2-\sqrt{2})+AB+AC \geq AB+AC $
Dấu "=" xảy ra khi M $\equiv $A

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[nam1994]

Nguyên văn bởi truongvoki_bn

Dấu "=" xảy ra khi M $\equiv $A

Mình nhầm làm ra đến kia rùi quên mất M $\equiv $A lên không dám post nhưng mà dòng trên không có cần cos
------------------------------
$2MA+MB+MC \geq 2MA+AB+AC-\overrightarrow {AM}.(\frac{{\overrightarrow {AB}}}{AB}+ $$\frac{\overrightarrow {AC}}{AC})\geq MA(2-\sqrt{2})+AB+AC \geq AB+AC $
P/S: Chắc là vậy
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[truongvoki_bn]

Đến giờ mình cũng không hiểu tam giác ABC vuông cân làm gì. Mình nghĩ chỉ cần vuông là đủ.
Không biết có đúng không
và nếu ta giải theo cách giải tổng quát của dangchienbn thì khi này điểm N chính là điểm A (do dấu = xảy ra tại A) nhưng $ \frac{\overrightarrow {AB}}{AB}+\frac{\overrightarrow {AC}}{AC} $ lại khác $\overrightarrow {0} $
Không biết có phải cách giải trên của mình sai..
Mong ai đó giải đáp giúp mình.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[truongvoki_bn]

Nguyên văn bởi dangchienbn

Bài toán tổng quát. Cho tam giác $ABC $. Tìm $M $ để $xMA+yMB+zMC $ min.
Gọi điểm $N $ là điểm thỏa mãn $x\frac{\overrightarrow{NA}}{NA}+y \frac{\overrightarrow{NB}}{NB}+z \frac{\overrightarrow{NC}}{NC}=0 $
Ta có $xMA+yMB+zMC=\sum \frac{MA.NA}{NA} $
$\geq \sum x\frac{\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{NA}}{NA } $$=\sum x\frac{(\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NA}). \overrightarrow{NA}}{NA}= $$\sum xNA+\overrightarrow{MN} \sum x\frac{\overrightarrow{NA}}{NA}=\sum xNA $
Dấu bằng khi $M $ trùng $N $

Có vẻ cách giải này của bạn sai thì phải
cái đoạn "Gọi điểm $N $ là điểm thỏa mãn $x\frac{\overrightarrow{NA}}{NA}+y \frac{\overrightarrow{NB}}{NB}+z \frac{\overrightarrow{NC}}{NC}=\overrightarrow{0} $"

Hình như có vấn đề . Khi x=y=z thì hình như không có điểm N nào thỏa mãn $\frac{\overrightarrow{NA}}{NA}+\frac{ \overrightarrow{NB}}{NB}+ \frac{\overrightarrow{NC}}{NC}=\overrightarrow{0} $

Không biết có đúng không

Mình chưa gặp tâm tỷ cự mà các vector là vector đơn vị
Ai có cách giải tổng quát của bài kia thì post mình xem được không

kiến thức mình nông cạn cần học hỏi nhiều

Mong mọi ngưới xem dùm mình. Thank
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[dangchienbn]

Đừng cố cãi Điểm N có thể dựng được dễ dàng như véc tơ đơn vị Đây là cách làm cổ truyền rồi bạn ạ.
Thích thì kiếm trong mục chuyên đề hình học có bài viết về BĐT hình học đấy. Xem kĩ nhé. Mình đoán bạn gặp vấn đề ở $\sqrt 2 $. Kiểm tra xem nó có đúng vs các quy tắc phép tính véc tơ ko nhé Mình cũng ko chắc lắm
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]