Định lý Desargues và những ứng dụng

[mathandyou]

Chào các thành viên MS.

Đây là topic về Định lí Desargues.

Các bạn khi post bài trong topic này lưu ý vài điều:
1)Đánh số bài,viết tiếng việt có dấu và không sử dụng ngôn ngữ chat.
2)Nên phân tích hướng giải,ý tưởng và trình bày rõ ràng.Có thêm mở rộng hay nhận xét càng tốt.
Thân.

I-Phát biểu định lí Desargues

Cho tam giác $ABC$ và tam giác $A'B'C'$. Khi đó $AA', BB', CC'$ đồng quy khi và chỉ khi các giao điểm của $BC$ và $B'C'$, $CA$ và $C'A'$, $AB$ và $A'B'$ thẳng hàng.



Chứng minh:

Gọi $X, Y, Z$ là lần lượt là các giao điểm của các cặp cạnh BC và B’C’, CA và C’A’, AB và A’B’ .

Phần thuận:
Giả sử các đường thẳng $AA’, BB’, CC’$ đồng quy tại $S$. Ta chứng minh $X, Y, Z$ thẳng hàng.
Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác $SBC$ với cát tuyến $XB'C'$ ta có:
$\frac{\bar{XB}}{\bar{XC}}.\frac{\bar{C'C}}{\bar{C' S}}.\frac{\bar{B'S}}{\bar{B'B}}=1 $ hay $\frac{\bar{XB}}{\bar{XC}} = \frac{\bar{SC'}}{\bar{SB'}}.\frac{\bar{BB'}}{\bar{ CC'}} $

Tương tự, ta có:
$\frac{\bar{YC}}{\bar{YA}} = \frac{\bar{SA'}}{\bar{SC'}}.\frac{\bar{CC'}}{\bar{ AA'}} $ và $\frac{\bar{ZA}}{\bar{ZB}} = \frac{\bar{SB'}}{\bar{SA'}}.\frac{\bar{AA'}}{\bar{ BB'}} $

Nhân từng vế các đẳng thức trên lại với nhau, và theo định lí Menelaus suy ra $X, Y, Z$ thẳng hàng.

Phần đảo:
Giả sử các điểm $X, Y, Z$ thẳng hàng. Ta chứng minh các đường thẳng $AA’, BB’, CC’$ đồng quy.
Gọi $S$ là giao điểm của $AA’$và $BB’$. $SC$ cắt đường thẳng $AC’$ tại $C”$.
Xét $2$ tam giác $ABC$ và $A’B’C”$ có các đường nối các đỉnh tương ứng đồng quy, do đó theo phần thuận giao điểm của các cạnh tương ứng cũng đồng quy.
Ta thấy $AB$ cắt $A’B’$ tại $Z$, $AC$ cắt $A’C”$ tại $Y$ (do $A’, C’, C”$ thẳng hàng), suy ra giao điểm $X’$ của $BC$ và $B’C”$ phải thuộc $YZ$. Tức là $X’$ là giao của $YZ$ và $BC$ nên $X’$ trùng với $X$.
Suy ra $C”$ trùng với $C’$, hay $AA’, BB’, CC’$ đồng quy.

Đây là một định lí hay và đẹp trong hình phẳng,tuy nhiên khi đi thi các bạn phải chứng minh lại định lí.
Định lí này thường đi cùng với các tính chất của hàng điều hoà,các định lí Menelaus,Ceva,Pascal...

II-Bài tập áp dụng:

Bài 1: Cho điểm $A$ nằm ngoài $(O)$ và vẽ cát tuyến $ABC, ADE$ đến $(O)$. Qua $D$ vẽ đường song song $AC$ cắt $(O)$ tại $F$. $AF$ cắt $(O)$ tại $G$. $EG$ cắt $AC$ tại $M$. $DM$ cắt $AF$ tại $X$. $N$ đối xứng $A$ qua $M$. Chứng minh: $BX,DN,CF$ đồng quy.
Bài 2:Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn $(O)$ với $AB$ không là đường kính của $(O)$. $P$ là điểm di chuyển trên cung $CD$ không chưa $A,B$ của $(O)$. $PA$ cắt $DB,DC$ lần lượt tại $E,F$ . $PB$ cắt $CA,CD$ lần lượt tại $G,H$ . $GF$ giao $EH$ tại $Q$ . Chứng minh ràng $PQ$ luôn đi qua điểm cố định khi $P$ di chuyển .
Bài 3:Cho tam giác $ABC$ nhọn không cân tại $A$, nội tiếp đường tròn $(O)$ bán kính $R$. Tiếp tuyến với $(O)$ tại $A$ cắt $BC$ tại $S$. $SO$ theo thứ tự cắt $AB, AC$ tại $E, F$. $M, N$ theo thứ tự là trung điểm của $AB, AC$. Chứng minh rằng $OA, EN, FM$ đồng quy.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]