Phiếm hàm trên c_0

[mathvn]

Cho $c_0 $ là các dãy số hội tụ đến $0 $,giả sử $f $ là phiếm hàm xác định trên $c_0 $ xác định bởi $f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\alpha_n}{2^n} $ nếu$x=\{\alpha_n\}_n\ \in c_0{ $. Đặt $U:=\{x\in c_0 |f(x)=0\} $. Chứng minh rằng: $\forall x\in c_{0} \setminus U $ thì $\underset{u\in U}{inf}|| x-u||=|f(x)| $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[123456]

dễ dàng chứng minh rằng f là phiếm hàm tuyến tính trên $c_0 $ với chuẩn bằng 1. Do đó, với mọi $u\in U $ ta có

$|f(x)| = |f(x-u)|\leq ||f||||x-u||\leq ||x-u|| $

tức là $|f(x)|\leq\inf\limits_{u\in U}||x-u|| $

ngược lại, chọn $v=\{v_n\} $ như sau

$v_1 = x_1-2f(x) $ và $v_n = x_n $ với n > 1. thì ta có $v\in c_0 $ và $f(v)=0 $, hay là $v\in U $, vì vậy

$|f(x)| = ||v-x||\geq \inf\limits_{u\in U}||x-u|| $
Từ hai bất đẳng thức này ta có dpcm.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[mathvn]

Nguyên văn bởi 123456

dễ dàng chứng minh rằng f là phiếm hàm tuyến tính trên $c_0 $ với chuẩn bằng 1. Do đó, với mọi $u\in U $ ta có

$v_1 = x_1-2f(x) $ và $v_n = x_n $ với n > 1. thì ta có $v\in c_0 $ và $f(v)=0 $, hay là $v\in U $, vì vậy

$|f(x)| = ||v-x||\geq \inf\limits_{u\in U}||x-u|| $
Từ hai bất đẳng thức này ta có dpcm.

Bạn kiểm tra lại biểu thức này xem,k đúng.
$|f(x)| = ||v-x||\geq \inf\limits_{u\in U}||x-u|| $
có $v-x=(-2f(x),0,0,0,.......)\to ||v-x||=2|f(x)| $ do đó bất đẳng thức thứ 2 của bạn k đúng.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[123456]

xin lỗi mình bị nhầm, phần đảo lại chứng minh như sau: với mọi k, xét $v^k=\{v^k_n\} $ như sau

$v^k_n=x_n-\frac{f(x)}{1-2^{-k}}{ $ với $n\leq k $ và $v^k_n=x_n $ với $n>k $, Khi đó $v^k\in U $ với mọi k, và $||x-v^k||=\frac{|f(x)|}{1-2^{-k}} $, do đó

$\inf\limits_{u\in U}||x-u||\leq\lim\limits_{k\to \infty}||x-v^k|| =|f(x)| $.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[mathvn]

Nguyên văn bởi 123456

xin lỗi mình bị nhầm, phần đảo lại chứng minh như sau: với mọi k, xét $v^k=\{v^k_n\} $ như sau

$v^k_n=x_n-\frac{f(x)}{1-2^{-k}}{ $ với $n\leq k $ và $v^k_n=x_n $ với $n>k $, Khi đó $v^k\in U $ với mọi k, và $||x-v^k||=\frac{|f(x)|}{1-2^{-k}} $, do đó

$\inf\limits_{u\in U}||x-u||\leq\lim\limits_{k\to \infty}||x-v^k|| =|f(x)| $.

ok.your proof is complete.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]