Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Tài Liệu > Đề Thi > Đề Thi HSG Cấp Tỉnh ở Việt Nam

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 18-09-2018, 02:41 PM   #1
MATHSCOPE
Administrator

 
Tham gia ngày: Nov 2007
Bài gởi: 30
Thanks: 110
Thanked 183 Times in 68 Posts
Đề thi các trường chuyên và các tỉnh năm học 2018-2019-Lời giải và bình luận

Thời điểm này, nhiều tỉnh và các trường chuyên đã và đang hoàn tất việc thi chọn đội tuyển học sinh giỏi tham dự VMO. Tiếp nối truyền thống nhiều năm trước, trang www.mathscope.org kết hợp với phong trào BM2E lại mở chuyên mục này. Công việc này, không có mục đích nào lớn hơn là để các thầy cô và các bạn học sinh có một nguồn tư liệu tham khảo hữu ích.

Các bài toán sẽ được chia ra làm các thể loại như sau:
  1. Các bài toán Đại Số.
  2. Các bài toán Số Học.
  3. Các bài toán Hình Học.
  4. Các bài toán Giải Tích.
  5. Các bài toán Rời Rạc.
Chúng tôi sẽ tập hợp các đề toán theo từng chủ đề, gửi lên đây và chúng ta có thể vào giải và bình luận. Có thể bình luận trực tiếp trong chủ đề này hoặc là gửi file đính kèm. Một số đề mà chúng tôi không chủ động sưu tập được, mong các thành viên đóng góp thêm.

Các bài toán và lời giải-bình luận, sẽ được chúng tôi tổng hợp lại thành 1 file pdf. Bây giờ xin bắt đầu bằng chủ đề Số Học.


Các bài toán Số Học

$\boxed{1}$ [Chuyên ĐHSP Hà Nội] Cho các số nguyên $m,\,n$ lớn hơn $1$ thỏa mãn trong $n$ số $x^2-x$ với $x=1,\,2,\,\ldots n$ không có hai số nào cùng số dư khi chia $m$. Chứng minh rằng:
  1. $m\ge 2n-1$,
  2. $m=2n-1$ thì $m$ là số nguyên tố lẻ.

$\boxed{2}$ [Chuyên ĐHSP Hà Nội] Với mỗi số nguyên $n>1$ ta gọi một hoán vị $\left\{a_1,\,a_2,\,\ldots,\,a_n\right\}$ của $\left\{1,\,2,\,\ldots,\,n\right\}$,(tập hợp gồm $n$ số nguyên dương đầu tiên) là tốt nếu \[\left| {{a_1} - 1} \right| = \left| {{a_2} - 2} \right| = \ldots = \left| {{a_n} - n} \right| \ne 0.\] Chứng minh rằng
  1. Không tồn tại hoán vị tốt nếu $n$ lẻ.
  2. Nếu $n$ chẵn thì số các hoán vị tốt bằng số các ước dương của $\dfrac{n}{2}$.
$\boxed{3}$ [Chuyên ĐHSP Hà Nội] Ghi lên bảng $2018$ số nguyên dương đầu tiên. Thực hiện thuật toán sau: mỗi lần cho phép xóa đi hai số $a,\,b$ mà không có số nào là bội của số kia và thay thế chúng bởi hai số khác là ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất của $a,\,b$ hỏi ta có thể thực hiện thuật toán trên vô hạn lần không? Vì sao?

$\boxed{4}$ [Chuyên KHTN Hà Nội] Tìm các cặp số nguyên dương $(p,\,n)$ với $p$ là số nguyên tố, sao cho tổng của tất cả các ước số nguyên dương của $p^{2^n-1}$ là một số chính phương

$\boxed{5}$ [Chuyên KHTN Hà Nội] Cho dãy số $\left\{a_n\right\}_{n\in\mathbb Z^+}$ bởi công thức truy hồi $a_1=0,\,a_2=3$ và\[a_{n+2}=7a_{n+1}-a_n+3,\quad\forall\,n\in\mathbb Z^+.\]Chứng minh rằng $2027\nmid\left( 5+a_n\right)$ với mọi $n\in\mathbb Z^+$.

$\boxed{6}$ [Ninh Bình] Cho đa thức $P(x)$ có hệ số nguyên và $a,b,c$ là các số nguyên thỏa mãn $P(a)=1,P(b)=2,P(c)=3$. Chứng minh rằng: $a+c=2b$.

$\boxed{7}$ [Ninh Bình] Với số $n$ nguyên dương đặt $f(n)$ là số ước nguyên dương của $n$. Gọi $p_i$ là số nguyên tố thứ $i$ và xét tập hợp $$G=\left \{ n\in \mathbb{N}^*: f(m)<f(n),\; \forall\,m\in \mathbb{N},0<m<n \right \}.$$
  1. Chứng minh rằng: Nếu $n$ thuộc $G$ và $p_m$ là ước nguyên tố của $n$ thì $p_1p_2...p_m$ là ước của $n$.
  2. Với số nguyên tố $p_m$, gọi $k, \,M$ là các số nguyên dương thỏa mãn $2^k>p_m$ và $M=\left(p_1p_2...p_{m-1}\right)^{2k}$.
    Chứng minh rằng: Nếu $n>M$ và $n$ thuộc $G$ thì $n$ chia hết cho $p_m$.

$\boxed{8}$ [Sóc Trăng] Cho hai dãy số $\left\{a_n\right\}_{n\in\mathbb Z^+}$ và $\left\{b_n\right\}_{n\in\mathbb Z^+}$ có công thức số hạng tổng quát như sau\[\begin{array}{l}
{a_n} &= 6{n^3} + 103{n^2} + 96n + 5\quad \forall\,n \in \mathbb Z^+,\\
{b_n} &= 3{n^2} + 2n + 15\quad \forall\,n \in \mathbb Z^+.
\end{array}\]
Đặt $x_n$ là ước chung lớn nhất của $a_n$ và $b_n$. Chứng minh rằng, tồn tại số nguyên dương $k$ sao cho $x_{n+k}=x_n\quad\forall\,n\in\mathbb Z^+$ và tìm một giá trị của $k$ thỏa điều đó.

$\boxed{9}$ [Phú Thọ] Cho dãy số thực $(a_n)_{n\ge 1}$ xác định bởi: $a_1=a_2=1,a_3=2$ và $a_{n+3}=\frac{a_{n+1}a_{n+2}+7}{a_n}$ với mọi số nguyên dương $n$. Chứng minh rằng $a_n$ là số nguyên, với mọi số nguyên dương $n$.

$\boxed{10}$ [Phú Thọ] Chứng minh rằng:
  1. Tồn tại $2018$ số nguyên dương liên tiếp là hợp số.
  2. Tồn tại $2018$ số nguyên dương liên tiếp chứa đúng $2$ số nguyên tố.

$\boxed{11}$ [Phú Thọ] Cho dãy số thực $(x_n)_{n\ge 0}$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:
  1. $x_n=0$ khi và chỉ khi $n=0$.
  2. ${x_{n + 1}} = x_{\left\lfloor {\frac{{n + 3}}{2}} \right\rfloor }^2 + {( - 1)^n}x_{\left\lfloor {\frac{n}{2}} \right\rfloor }^2$ với mọi $n\ge 0$.
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n$, nếu $x_n$ là số nguyên tố thì $n$ là số nguyên tố hoặc $n$ không có ước nguyên tố lẻ.

$\boxed{12}$ [PTNK]Cho số tự nhiên $p$, xét phương trình nghiệm nguyên $x^3+x+p=y^2$ (*).
  1. Tìm số nguyên tố $p=4k+1$ nhỏ nhất sao cho (*) có nghiệm.
  2. Chứng minh rằng nếu $p$ là số chính phương thì (*) luôn có nghiệm $x\ne 0$.

$\boxed{13}$ [Quảng Bình] Cho $2018$ số nguyên dương ${a_1},{\mkern 1mu} {a_2},{\mkern 1mu} {a_3},{\mkern 1mu} \ldots ,{a_{2018}}$ và số nguyên $a>1$ sao cho ${a_1}.{a_2}.{a_3}. \ldots {a_{2018}}\mid a$. Chứng minh rằng $a^{2109}+a-1$ không là bội của $\left( {a + {a_1} - 1} \right).\left( {a + {a_2} - 1} \right){\mkern 1mu} \ldots \left( {a + {a_{2018}} - 1} \right)$.

$\boxed{14}$ [Đà Nẵng] Cho $p$ là một số nguyên tố lẻ, số nguyên dương n được gọi là "tốt" nếu tồn tại đa thức $P(x)$ với hệ số nguyên, có bậc bằng $p$ và hệ số bậc cao nhất bằng 1 sao cho $n$ là ước số của $P(k)$ với mọi số nguyên $k$. Một số nguyên dương mà không phải là số tốt được gọi là số "xấu". Chứng minh rằng
  1. $p$ là số tốt,
  2. $p^2$ là số xấu.

$\boxed{15}$ [Đà Nẵng] Dãy $\left\{a_n\right\}_{n \in \mathbb{Z^+}}$ được gọi là một "cấp số cộng hai phía" nếu với mọi số nguyên n thì $a_{n+1}-a_n = d$ là hằng số ( $d$ được gọi là công sai của dãy). Kí hiệu $M$ là tập tất cả các cấp số cộng hai phía với các số hạng nguyên và công sai lớn hơn 1.
  1. Chứng minh rằng tồn tại 5 cấp số cộng thuộc $M$ có công sai đôi một khác nhau, sao cho mỗi số nguyên bất kì đều là phần tử của một trong các cấp số cộng đó.
  2. Cho $m$ ($m \in \mathbb{N}, m>=2$) cấp số cộng thuộc $M$, sao cho các công sai của chúng đôi một nguyên tố cùng nhau. Chứng minh rằng tồn tại một số nguyên không phải là phần tử của bất kì cấp số cộng nào trong m cấp số cộng đó.

$\boxed{16}$ [Hưng Yên] Cho các số nguyên dương $a_1,\,a_2,\,\ldots,\,a_{2018}$, xét tập\[S_{2018} = \left\{ {{{\left( { - 1} \right)}^{{k_1}}}\sqrt {{a_1}} + {{\left( { - 1} \right)}^{{k_2}}}\sqrt {{a_2}} + \ldots + {{\left( { - 1} \right)}^{{k_{2018}}}}\sqrt {{a_{2018}}} :\;{k_i} \in \mathbb Z^+} \right\}.\]Chứng minh rằng, tích các phần tử của $S_{2018}$ là một số chính phương.

$\boxed{17}$ [Hưng Yên] Cho đa giác lồi $P$. Bạn An muốn ghi vào mỗi đỉnh của $P$ một số nguyên dương, sao cho các điều kiện sau đây được đồng thời thỏa mãn.
  1. Trong các số được ghi có ít nhất một số chẵn.
  2. Tổng ba số ghi trên ba đỉnh liên tiếp là một số lẻ.
Chứng minh rằng bạn An có thể thực hiện được việc ghi số khi và chỉ khi số đỉnh của $P$ là bội của 3.

$\boxed{18}$ [Đồng Nai] Tìm số nguyên tố $p$ sao cho phương trình nghiệm nguyên sau có nghiệm\[4x^2+12xy+13y^2=p.\]
$\boxed{19}$ [Hà Nam] Cho $k$ là số nguyên dương, chứng minh rằng $\left(4k^2-1\right)^2$ có ước nguyên dương dạng $12kn -1$ (với $n$ là số nguyên dương) khi và chỉ khi $k$ chia hết cho 3.

$\boxed{20}$ [Sài Gòn] Gọi $S$ là tập hợp các hoán vị của 164 số nguyên dương đầu tiên.
  1. Có bao nhiêu hoán vị $\left(a_1,\,a_2,\,\ldots ,\,a_{164}\right)\in S$, thỏa mãn $a_i\ne i\;\forall\,i=\overline{1,\,164}$ và $a_i\equiv i\pmod{41}\quad\forall\,i=\overline{1,\,164}?$

  2. Tồn tại hay không một hoán vị $\left(a_1,\,a_2,\,\ldots ,\,a_{164}\right)\in S$, thỏa mãn với mỗi $i\in\{1,\,2,\,\ldots ,\,164\}$ luôn tồn tại $b_i\in\{0,\,1,\,\ldots ,\,40\}$ sao cho $a_1+a_2+\ldots+a_i\equiv b_i^2\pmod{41}$.

$\boxed{21}$ [Sài Gòn] Trên mặt phẳng tọa độ vuông góc $Oxy$. Hai điểm nguyên $A,\,B$ được gọi là "thân thiết" với nhau nếu $A,\,B$ khác $O$ và $ - 1 \le \overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB} \le 1$ với $O$ là gốc tọa độ.
  1. Hỏi có tất cả bao nhiêu điểm nguyên $M(x,\,y)$ với $\left| x \right| \le 19,{\mkern 1mu} y \le 19$ thỏa mãn điểm $M$ và điểm $N\left( {3,{\mkern 1mu} 7} \right)$ "thân thiết" với nhau?

  2. Hỏi có tất cả bao nhiêu điểm nguyên đôi một thân thiết với nhau?

$\boxed{22}$ [Hà Nội] Gọi $d_1,\,d_2,\,\ldots,d_k$ là các ước nguyên dương của $n$ được xếp theo thứ tự tăng dần. Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ có tính chất sau\[ \begin{cases}
{d_s} - {d_j} &= 40,\\
7{d_s} + 8{d_j} &= 3n.
\end{cases} \]
$\boxed{23}$ [Hà Nội] Cho đa thức $P(x)=x^p+ax^2+bx+c$ trong đó $a,\,b,\,c$là những số nguyên và $p$ là số nguyên tố. Biết rằng $P(x)$ có ba nghiệm nguyên $x_1,\,x_2,\,x_3$ thỏa mãn $\left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {{x_2} - {x_3}} \right)\left( {{x_3} - {x_1}} \right)$ không chia hết cho $p$. Chứng minh rằng $abc+ac$ chia hết cho $p^3.$

$\boxed{24}$ [Hà Nội] Xét các số hứu tỉ dương $x_1,\,x_2,\,\ldots,\, x_n$ thỏa mãn ${x_1} + \dfrac{1}{p_1},\,{x_2} + \dfrac{1}{{{p_2}}},\, \ldots, \,{x_n} + \dfrac{1}{p_n}$ là các số nguyên dương (với ${p_i} = \dfrac{{{x_1}{x_2} \ldots {x_n}}}{{{x_i}}},\; \forall i=\overline{1,\,n}$ ).
  1. Chứng minh rằng $x_1x_2\ldots x_n=1.$

  2. Có bao nhiêu bộ số $\left(x_1,\,x_2,\,\ldots,\, x_n\right)$ thỏa mãn đề bài.

$\boxed{25}$ [Bắc Ninh] Tìm đa thức hệ số nguyên $P(x)$, biết rằng\[n\mid P\left(2^n\right)\quad\forall\,n\in\mathbb Z^+.\]
$\boxed{26}$ [Ninh Bình] Một số nguyên dương $a$ gọi "đẹp" nếu tồn tại số nguyên dương $b$ thỏa mãn $a^5+b^7$ chia hết cho $2018$. Tìm số các số đẹp không lớn hơn 2018.


Sẽ update thường xuyên..
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
MATHSCOPE is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 4 Users Say Thank You to MATHSCOPE For This Useful Post:
huynhcongbang (03-10-2018), kimlinh (19-09-2018), ncthanh (19-09-2018), vnt.hnue (20-09-2018)
Old 18-09-2018, 02:41 PM   #2
MATHSCOPE
Administrator

 
Tham gia ngày: Nov 2007
Bài gởi: 30
Thanks: 110
Thanked 183 Times in 68 Posts
Đề thi các trường chuyên và các tỉnh năm học 2018-2019-Lời giải và bình luận

Các bài toán Đại Số

$\boxed{1}$ [Chuyên ĐHSP Hà Nội] Cho $n$ là số nguyên lớn hơn $1$ và $\left\{x_1,\,x_2,\,\ldots,\,x_n\right\}$ là một hoán vị của $\left\{1,\,2,\,\ldots,\,n\right\}$,(tập hợp gồm $n$ số nguyên dương đầu tiên). Chứng minh rằng
\[\sum\limits_{k = 1}^n {k{x_k}\left( {k + {x_k}} \right)} \le \dfrac{{{n^2}{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}{2}.\]
$\boxed{2}$ [Chuyên ĐHSP Hà Nội] Cho tam thức bậc hai $f(x)=x^2+ax+b$, với $a,\,b\in\mathbb{R}$. Biết rằng tồn tại duy nhất số thực $x_0$ sao cho $f(f(x_0))=0$. Chúng minh rằng $a,\,b$ là các số không âm.

$\boxed{3}$ [Lạng Sơn] Cho $a,\,b,\,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng \[{\left( {\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}} \right)^2} \ge \left( {a + b + c} \right)\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right).\]
$\boxed{4}$ [Lạng Sơn] Cho đa thức $p(x)$ có hệ số nguyên, bậc là $2$ và hệ số bậc $2$ bằng $1$ thỏa mãn tồn tại đa thức $Q(x) $ có hệ số nguyên sao cho $P(x),\,Q(x)$ là đa thức có tất cả các hệ số đều là $1,\,-1$
  1. Chứng mimh rằng nếu $P(x) $ có nghiệm thực $x_0$ thì $\left| {{x_0}} \right| < 2$,
  2. Tìm tất cả các đa thức $P(x)$.

$\boxed{5}$ [Chuyên KHTN Hà Nội] Tìm tất cả các hàng số $C$, sao cho tồn tại đa thức $P(x)$ thỏa mãn\[P^2(x)-P\left(x^2\right)=Cx^{2018}.\]

$\boxed{6}$ [Chuyên KHTN Hà Nội] Cho các số thực $x,\,y,\,z$ không âm thay đổi và thỏa mãn\[\frac{x}{{x + 1}} + \frac{y}{{y + 1}} + \frac{z}{{z + 1}} = 1.\]Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của\[P = xy + yz + zx + x\sqrt {yz} + y\sqrt {zx} + z\sqrt {xy} .\]

$\boxed{7}$ [Ninh Bình] Cho đa thức $P(x)$ có hệ số nguyên và $a,b,c$ là các số nguyên thỏa mãn $P(a)=1,P(b)=2,P(c)=3$. Chứng minh rằng: $a+c=2b$.

$\boxed{8}$ [Ninh Bình] Cho ba số thực dương $a,\,b,\,c$. Chứng minh bất đẳng thức\[\left( {a + b + c} \right)\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) + 4\sqrt 2 \left( {\frac{{ab + bc + ca}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}} \right) \ge 9 + 4\sqrt 2 .\]
$\boxed{9}$ [Sóc Trăng] Cho $x,\,y,\,z>0$ thỏa $x+y+z\le 1$, tìm giá trị nhỏ nhất của\[T = \frac{{\sqrt {{x^2}{y^2} + 1} }}{y} + \frac{{\sqrt {{y^2}{z^2} + 1} }}{z} + \frac{{\sqrt {{z^2}{z^2} + 1} }}{x}.\]

$\boxed{10}$ [Hải Phòng] Giải phương trình sau với 2018 dấu phân số\[1 + \dfrac{1}{{1 + \dfrac{1}{\begin{array}{l}
1 + \\
\quad\ddots \;1 + \dfrac{1}{x}\\

\end{array}}}} = x.\]

$\boxed{11}$ [Phú Thọ] Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ thỏa mãn$$f(f(x)-y^2)=f(x^2)+y^2f(y)-2f(xy)\quad\forall x,y\in \mathbb{R}.$$

$\boxed{12}$ [Quảng Bình] Cho $P\left( x \right) = {x^n} + {a_{n - 1}}{x^{n - 1}} + {a_{n - 2}}{x^{n - 2}} + \ldots + {a_1}x + {a_0}$ là đa thức hệ số thực có $n$ nghiệm thực ($n$ chẵn và các nghiệm không nhất thiết phân biệt). Giả sử $y$ là số thực dương thỏa mãn với mọi số thực $t$ bé hơn $y$ thì $P(x)> 0$. Chứng minh rằng \[\sqrt[n]{{P\left( 0 \right)}} - \sqrt[n]{{P\left( y \right)}} \ge y.\]
$\boxed{13}$ [Quảng Bình] Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn hệ thức \[f(x - y) + f(xy) = f(x) - f(y) + f(x)f(y),\quad \forall\,x,\,y\in\mathbb R.\]
$\boxed{14}$ [Sài Gòn]Cho đa thức bậc ba $P(x) = x^3-3x$.
  1. Chứng minh rằng tồn tại các số thực $a,\,b,\,c$ đôi một phân biệt sao cho \[P(a)=b,\,P(b)=c,\,P(c)=a.\]
  2. Giả sử tồn tại ba bộ số thực $\left( a_i, \,b_i, \,c_i)\right)$ với $\overline {1,{\mkern 1mu} 3} $ gồm $9$ số đôi một phân biệt sao cho $P\left( {{a_i}} \right) = {b_i},{\mkern 1mu} P\left( {{b_i}} \right) = {c_i},{\mkern 1mu} P\left( {{c_i}} \right) = {a_i},\, \overline {1,{\mkern 1mu} 3}.$ Đặt ${S_i} = {a_i} + {b_i} + {c_i},\,\overline {1,{\mkern 1mu} 3}.$ Chứng minh rằng ${S_1}^2 + S_2^2 + S_3^2 \ne {S_1}{S_2} + {S_2}{S_3} + {S_3}{S_1}.$

$\boxed{15}$ [Sài Gòn] Cho hàm số $f:R \to R$ thỏa mãn \[\begin{array}{l}
{\left( {f\left( {{x^3} + x} \right)} \right)^2} \le f\left( {2x} \right) + 2,{\mkern 1mu} {\left( {f\left( { - 2x} \right)} \right)^3} \ge 3f\left( { - {x^3} - x} \right) + 2\\
\end{array},\quad\forall x\in\mathbb{R}.\]
  1. Chứng minh rằng $f(x)$ không phải đơn ánh trên $\mathbb{R}.$

  2. Chứng minh rằng $f(x)\ge -1,\quad\forall x \in\mathbb{R}$.

$\boxed{16}$ [Ninh Bình] Cho hai dãy số dương và đều là dãy tăng là $\left\{a_n\right\}_{n\in\mathbb Z^+}$ và $\left\{b_n\right\}_{n\in\mathbb Z^+}$, biết rằng $\left\{a_n\right\}_{n\in\mathbb Z^+}$ là một cấp số cộng và $\left\{b_n\right\}_{n\in\mathbb Z^+}$ là một cấp số nhân, đồng thời $a_1=b_1,\;a_n=b_n$ với $n>2$, chứng minh rằng\[a_k>b_k\quad\forall\,k=1,\,2,\,\ldots ,\,n-1.\]

$\boxed{17}$ [Ninh Bình] Tìm tất cả các đa thức $P(x)$, có các hệ số là các số thực không âm. Biết rằng $P(0)=0,\,P(1)=1$ và \[P(x)\ge x^{2018}\quad\forall\,x\ge 0.\]


Sẽ update thường xuyên..
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
MATHSCOPE is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 4 Users Say Thank You to MATHSCOPE For This Useful Post:
huynhcongbang (03-10-2018), kimlinh (19-09-2018), ncthanh (19-09-2018), vnt.hnue (20-09-2018)
Old 18-09-2018, 02:41 PM   #3
MATHSCOPE
Administrator

 
Tham gia ngày: Nov 2007
Bài gởi: 30
Thanks: 110
Thanked 183 Times in 68 Posts
Đề thi các trường chuyên và các tỉnh năm học 2018-2019-Lời giải và bình luận

Các bài toán Hình Học

$\boxed{1}$ [Chuyên ĐHSP Hà Nội] Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân, nội tiếp đường tròn $(O)$ $P,\,Q$ theo thứ tự là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác $OAB,\,OAC$. $R$ là điểm đối xứng của $O$ qua $BC$. Gọi $X$ là giao điểm của $RP$ và $CP$, $Y$ là giao điểm của $RC$ và $BQ$. Chứng minh rằng $\widehat{BAX} = \widehat{YAC}$.

$\boxed{2}$ [Chuyên ĐHSP Hà Nội]Cho tam giác $ABC$ không cân nội tiếp đường tròn $O$, $I$ là tâm đường tròn nội tiếp. Gọi $E$ là giao điểm của $BI$ và $AC$, $F$ là giao điểm của $CI$ và $AB$; $M,\,N$ lần lượt là giao điểm thứ hai của $BI$ và $CI$ và đường tròn $O$. Đường thẳng $BI$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $BNF$ tại điểm thứ hai $P$, đường thẳng $CI$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $CME$ tại điểm thứ hai $Q$.
  1. Chứng minh rằng tứ giác $EFBQ$ nội tiếp một đường tròn.
  2. Qua $I$ kẻ đường thẳng $\Delta$ vuông góc với $BC$. Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác $EFBQ$ nằm trên $\Delta$.

$\boxed{3}$ [Lạng Sơn] Cho hình chữ nhật $ABCD$, nội tiếp đường tròn $O$. Gọi $M,\,N$ lần lượt là trung điểm các cung nhỏ $BC,\,AD$. Gọi $I,\,J$ lần lượt là trung điểm $OM,\,ON$. Gọi $K$ là điểm dối xứng với $O$ qua $M$.
  1. Chứng minh răng tứ giác $BJDK$ nội tiếp đường tròn
  2. Gọi $P,\,Q$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $I$ lên $AB,\,AC$. Chứng minh rằng $AK\bot PQ$.

$\boxed{4}$ [Quảng Bình] Cho tam giác $ABC$ có $M$ là trung điểm $BC$. Gọi $D,\,E,\,F$ lần lượt là tiếp điểm của đường tròn ($I$) nội tiếp tam giác $ABC$ với các cạnh $AB,\,BC,\,AC$, đường thẳng $EF$ cắt đường thẳng $CI,\,BI,\,AM$ lần lượt tại $X,\,Y,\,N$. Chứng minuh rằng
  1. Giả sử $BC$ cố định và $A$ thay đổi trong mặt phẳng sao cho $\widehat{BAC}=\alpha,\;\ 0 < \alpha< 180^o$. Chứng minh độ dài đoạn $XY$ không đổi.
  2. Giả sử tam giác $ABC$ không cân, chứng minh rằng ba điểm $N,\,I,\,D$ thẳng hàng và $\dfrac{{NX}}{{NY}} = \dfrac{{AC}}{{AB}}$.

$\boxed{5}$ [Quảng Bình] Cho tam giác $ABC$ nhọn không cân, ($AB<AC$) có $H$ là trực tâm, nội tiếp đường tròn $(O)$ $BE,\,CF$ là các đường cao của tam giác $ABC$ $(E\in AC,\,F\in AB )$. Đường thẳng $EF$ cắt $BC$ tại $G$, đường thẳng $AG$ cắt đường tròn $(O)$ tại $M$.
  1. Gọi $T$ trung điểm $BC$, chứng minh rằng $GH\bot AT$.

  2. Lấy điểm $P$ nào đó trên tia $BC$ ($P$ nằm ngoài đoạn $PC$). Đường tròn $(O)$ cắt $AP$ tại $I$ và cắt đường tròn đường kính $AP$ tại $Q$ ($I,\,Q$ đều khác $A$) $AQ$ cắt $BC$ tại $J$. Chứng minh rằng đường thẳng $IJ$ luôn đi qua một điểm cố định.

$\boxed{6}$ [Sài Gòn] Cho $AB$ là một dây cố định khác đường kính của đường tròn $(O)$ cố định. Gọi $M$ là trung điểm của cung nhỏ $AB$. Xét đường tròn $\left(O' \right)$ thay đổi tiếp xúc $(O)$ tại một điểm thuộc cung lớn $AB$ ($\left(O' \right)$ khác phía đối với $M$ so với đường thẳng $AB$). Các đường thẳng qua $M$ vuông góc với $O'A$ và $O'B$ cắt $AB$ tại các điểm $C,\,D$.
  1. Chứng minh rằng $AB=2CD$.

  2. Gọi $T$ là một điểm thuộc $O'$ sao cho góc $ATB=90^o$. Giả sử tiếp tuyến của $\left(O' \right)$ tại $T$ cắt đoạn $AB$ tại $N$ và đường thẳng $MN$ cắt $\left(O\right)$ tại $K$ khác $M$. Vẽ đường tròn $M,\,K$ tiếp xúc ngoài với $\left(O' \right)$ tại $S$. Chứng minh rằng $S$ luôn di chuyển trên một đường tròn cố định khi $\left(O' \right)$ thay đổi.

$\boxed{7}$ [Sài Gòn] Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân và nội tiếp $(O)$. Một đường tròn $(J)$ thay đổi đi qua $B,\,C$ và cắt các đoạn $AB,\,AC$ lần lượt tại $D,\,E$. Trên đường thẳng $BC$ lấy hai điểm phân biệt $R,\,S$ sao cho $(DER)$ và $(DES)$ tiếp xúc với đường thẳng $BC$. giả sử $(ADE)$ cắt $(O)$ tại $M$ khác $A$. Gọi $(O')$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $RSM$.
  1. Chứng minh rằng đường tròn $(O')$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $RSM$.

  2. Chứng minh rằng điểm $O'$ luôn di động trên một đường thẳng cố định khi $(J)$ thay đổi.

$\boxed{8}$ [Hà Nội] Cho hai đường tròn $(O)$ và $\left( {O'} \right)$ cắt nhau tại $A,\,B$. Qua $A$ kẻ hai đường thẳng $A_1$ và $A_2$, đường thẳng $A_1$ cắt hai đường tròn $(O)$ và $\left( {O'} \right)$ lần lượt tại $C$ và $D$;đường thẳng $A_2$ cắt hai đường tròn $(O)$ và $\left( {O'} \right)$ lần lượt tại $E$ và $F$($C,\,D,\,E,\,F$ khác $A$). Các đường trung trực $CD$ và $EF$ cắt nhau tại $K$. Đường thẳng $d$ thay đổi đi qua $K$ cắt đường tròn $\left( {O'} \right)$ tại $P,\,Q$. Chứng minh rằng trực tâm tam giác $APQ$ luôn nằm trên một đường tròn cố định.

Sẽ update thường xuyên..
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
MATHSCOPE is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 2 Users Say Thank You to MATHSCOPE For This Useful Post:
huynhcongbang (03-10-2018), ncthanh (21-09-2018)
Old 18-09-2018, 03:05 PM   #4
chemthan
Administrator

 
chemthan's Avatar
 
Tham gia ngày: Mar 2009
Bài gởi: 349
Thanks: 0
Thanked 308 Times in 161 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi MATHSCOPE View Post
$\boxed{3}$ [Chuyên ĐHSP Hà Nội] Ghi lên bảng $2018$ số nguyên dương đầu tiên. Thực hiện thuật toán sau: mỗi lần cho phép xóa đi hai số $a,\,b$ mà không có số nào là bội của số kia và thay thế chúng bởi hai số khác là ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất của $a,\,b$ hỏi ta có thể thực hiện thuật toán trên vô hạn lần không? Vì sao?
Cho 2 dãy $n$ số nguyên $a_1\ge a_2\ge ....\ge a_n$, $b_1\ge b_2\ge ....\ge b_n$. Dãy $a[]$ gọi là có thứ tự từ điển lớn hơn dãy $b[]$ nếu tồn tại $1\le i \le n$ sao cho $a_1 = b_1, a_2 = b_2, ..., a_{i - 1} = b_{i - 1}$ và $a_i > b_i$. Qua mỗi lần thực hiện thuật toán thì dãy sau có thứ tự từ điển lớn hơn dãy trước. Số các số dãy có thể là hữu hạn nên thuật toán sẽ dừng lại sao một số lần hữu hạn.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
chemthan is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 2 Users Say Thank You to chemthan For This Useful Post:
kimlinh (19-09-2018), ncthanh (19-09-2018)
Old 19-09-2018, 01:30 AM   #5
nguyenhaan2209
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Jul 2017
Bài gởi: 7
Thanks: 1
Thanked 6 Times in 4 Posts
Đề SP & KHTN
Số học
$1$.Câu $a$ đơn thuần là chọn số câu $b$ giả sử phản chứng $m=p.S$ thì chú ý $p,S<=m/3$ nên chọn đc $xi-xj=p$ và $xi+xj-1=2S$ từ đó có ĐPCM
$2$. Đặt $a1=m$ chia khoảng và chú ý $a_x=y$ và $a_y=x$ nên $2m-2|n$
$3$. Phản chứng là vô hạn. Do tích $= 2018!$, tổng $2018$ số $<=2018!+2017$, mà dễ thấy qua mỗi bước tổng đều tăng nên dễ thấy vô lí
$4$.Khai triển $p^{2^{n+1}}-1/p-1$ ta được $(p+1)...(p^{2^n}+1)$ mà CM đc các thừa số trên nguyên tố cùng nhau nên $p+1=a^2$, $p^2+1=b^2$ nên $a^4-2a^2+2=b^2$ dùng pp chặn thấy chỉ có $a=1$ là t/m
$5$. Đặt $u_n=a_n+1$ thì $u_1=1, u_2=4$ và $u_{n+2}=7u_{n+1}-u_{n}-2$ bằng quy nạp đơn giản thu được $u_n=F_{2n-1}^2$ nên $a_n+5=F_{2n-1}^2+4$ chú ý rằng $2027$ là số nguyên tố có dạng $4k+3$ nên theo bổ đề quen thuộc ta có ĐPCM
Đại số
$1$. Dùng $ab(a+b)<=a^3+b^3$ và CT tính $1^3+...+n^3$
$2$. Sử dụng phản chứng thì đc $f$ có $2$ hoặc $4$ nghiệm cân bằng hệ số đc ĐPCM
$5$. Xuất phát từ bài toán quen thuộc $P(x)^2=P(x^2)$: Xét bậc $2n, 2n-1$ của VP thì suy ra $P(x)=x^k$ thay vào được $C=0$ đáp số là $0,1,x^n$
$6$. Đặt $x=a/b+c$ thì ta tính được $P<=2-6abc/(a+b)(b+c)(c+a)<=5/4$ và $P>=0$ do $a,b,c$ không âm
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: nguyenhaan2209, 19-09-2018 lúc 07:17 AM
nguyenhaan2209 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 2 Users Say Thank You to nguyenhaan2209 For This Useful Post:
kimlinh (19-09-2018), ncthanh (19-09-2018)
Old 19-09-2018, 03:45 PM   #6
ncthanh
Moderator
 
Tham gia ngày: Oct 2017
Đến từ: THPT Chuyên Bảo Lộc
Bài gởi: 17
Thanks: 51
Thanked 10 Times in 7 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi MATHSCOPE View Post

$\boxed{7}$ [Ninh Bình] Cho đa thức $P(x)$ có hệ số nguyên và $a,b,c$ là các số nguyên thỏa mãn $P(a)=1,P(b)=2,P(c)=3$. Chứng minh rằng: $a+c=2b$.
Ta có tính chất quen thuộc sau: " Với $P(x)$ là đa thức hệ số nguyên và $x$, $y$ là các số nguyên thì $x-y$ là ước của $P(x)-P(y)$ "
Áp dụng tính chất trên ta suy ra $b-a\mid P(b)-P(a)=1$ và $c-b\mid P(c)-P(b)=1$, nên $b-a$ và $c-b$ nhận giá trị bằng $1$ hoặc $-1$, nhưng $P(a)\ne P(c)$ nên $a\ne c$, tức là $(b-a)+(c-b)\ne 0$, nên $b-a$ và $c-b$ cùng bằng $1$ hoặc cùng bằng $-1$, do đó $a+c=2b$, ta có điều cần chứng minh.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
ncthanh is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to ncthanh For This Useful Post:
MATHSCOPE (20-09-2018)
Old 19-09-2018, 11:47 PM   #7
vnt.hnue
Moderator
 
Tham gia ngày: Sep 2016
Bài gởi: 23
Thanks: 26
Thanked 15 Times in 8 Posts
$\boxed{10}$ [Hải Phòng] Giải phương trình sau với 2018 dấu phân số\[1 + \dfrac{1}{{1 + \dfrac{1}{\begin{array}{l}
1 + \\
\quad\ddots \;1 + \dfrac{1}{x}\\

\end{array}}}} = x.\]
- Nhận xét 1 : Nếu $a$ là nghiệm của phương trình $f(x)=x$ thì cũng là nghiệm của $f(f(x))=x$ (vì $f(f(a))=f(a)=a$ . Áp dụng nhận xét liên tiếp 2017 lần với $f(x)=1+\frac{1}{x}$, ta suy ra 2 nghiệm của phương trình $1+\frac{1}{x}=x$ cũng là nghiệm của phương trình đề bài.
- Nhận xét 2: Phương trình đã cho thực chất là phương trình bậc 2 nên có tối đa 2 nghiệm. Từ đó ta kết luận được phương trình có 2 nghiệm là $\frac{1-\sqrt{5}}{2}$; $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: vnt.hnue, 20-09-2018 lúc 04:23 PM
vnt.hnue is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 20-09-2018, 12:16 AM   #8
vnt.hnue
Moderator
 
Tham gia ngày: Sep 2016
Bài gởi: 23
Thanks: 26
Thanked 15 Times in 8 Posts
$\boxed{1}$ [Chuyên ĐHSP Hà Nội] Cho các số nguyên $m,\,n$ lớn hơn $1$ thỏa mãn trong $n$ số $x^2-x$ với $x=1,\,2,\,\ldots n$ không có hai số nào cùng số dư khi chia $m$. Chứng minh rằng:
  1. $m\ge 2n-1$,
  2. $m=2n-1$ thì $m$ là số nguyên tố lẻ.

a. Đặt $f(t)=t^2-t$. Xét hiệu $f(x)-f(y)=(x-y)(x+y-1)$ với $x,y$ là các số nguyên dương không vượt quá $n$.
Nhận thấy nếu $m|(x+y-1)$ thì không thỏa mãn đề bài. Nếu $m<2n-1$, ta luôn chọn được $x,y$ thỏa mãn $m=x+y-1$, dẫn đến phản chứng. Suy ra điều phải chứng minh.
b. Nếu $m$ là hợp số, đặt $m=ab(b\ge a; a,b\ge 3)$ suy ra $ \frac {2n-1}{3}\ge a,b$ và $ n>a,b$
Chọn $x=b-\frac{a-1}{2},y=b+\frac{a+1}{2}$ được $x,y$ nguyên dương,ta có:
+) $x=b-\frac{a-1}{2}<b<n$
+) $2n-1=ab=2b+(a-2)b\ge 2b+3(a-2)\ge 2b+a+2(a-3)\ge 2b+a=2y-1$. Do đó $n\ge y$.
+) $x-y=a,x+y+1=2b$, suy ra $ab|(x-y)(x+y-1)$ hay $m|(f(x)-f(y))$. mâu thuẫn. Do đó ta có điều phải chứng minh.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: vnt.hnue, 20-09-2018 lúc 12:20 AM
vnt.hnue is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 20-09-2018, 12:26 AM   #9
vnt.hnue
Moderator
 
Tham gia ngày: Sep 2016
Bài gởi: 23
Thanks: 26
Thanked 15 Times in 8 Posts
$\boxed{3}$ [Chuyên ĐHSP Hà Nội] Ghi lên bảng $2018$ số nguyên dương đầu tiên. Thực hiện thuật toán sau: mỗi lần cho phép xóa đi hai số $a,\,b$ mà không có số nào là bội của số kia và thay thế chúng bởi hai số khác là ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất của $a,\,b$ hỏi ta có thể thực hiện thuật toán trên vô hạn lần không? Vì sao?

Vì $(a,b)[a,b]=ab$ nên sau mỗi lần thực hiện thuật toán, tích của 2018 số vẫn giữ nguyên.
Đặt $a=da',b=db' (d=(a,b))$ thì $[a,b]=da'b'$. Vì hai số không là bội của nhau nên $a',b'>1$
Xét hiệu $a+b- (a,b) - [a,b]=d(1-a')(b'-1)<0$. Do đó sau mỗi lần thực hiện, tổng 2018 số tăng lên.
Hai tổng khác nhau thì tương ứng với 2 bộ số khác nhau, do đó nếu thực hiện được quy trình trên vô số lần thì số bộ số có tích bằng $2018!$ cũng là vô hạn. Điều này vô lý.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
vnt.hnue is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 20-09-2018, 12:34 AM   #10
vnt.hnue
Moderator
 
Tham gia ngày: Sep 2016
Bài gởi: 23
Thanks: 26
Thanked 15 Times in 8 Posts
$\boxed{3}$ [Lạng Sơn] Cho $a,\,b,\,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng \[{\left( {\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}} \right)^2} \ge \left( {a + b + c} \right)\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right).\]

Đặt $\frac{a}{b}=x,\frac{b}{c}=y,\frac{c}{a}=z$, có $xyz=1$. BĐT trở thành:
$(x+y+z)^{2}\ge x+y+z+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+3$
hay
$(x+y+z)^{2}\ge x+y+z+xy+yz+zx+3$
hay
$x^{2}+y^{2}+z^{2}+xy+yz+zx\ge x+y+z+3$
Sử dụng giả thiết $xyz=1$, bđt cần chứng minh có được trực tiếp từ $xy+yz+zx\ge 3$ và $x^{2}+y^{2}+z^{2}\ge x+y+z$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
vnt.hnue is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 20-09-2018, 03:35 PM   #11
ncthanh
Moderator
 
Tham gia ngày: Oct 2017
Đến từ: THPT Chuyên Bảo Lộc
Bài gởi: 17
Thanks: 51
Thanked 10 Times in 7 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi MATHSCOPE View Post

$\boxed{9}$ [Sóc Trăng] Cho $x,\,y,\,z>0$ thỏa $x+y+z\le 1$, tìm giá trị nhỏ nhất của\[T = \frac{{\sqrt {{x^2}{y^2} + 1} }}{y} + \frac{{\sqrt {{y^2}{z^2} + 1} }}{z} + \frac{{\sqrt {{z^2}{z^2} + 1} }}{x}.\]
Ta có:
\[\begin{array}{l}
{\rm{ }}\frac{{\sqrt {{x^2}{y^2} + 1} }}{y} + \frac{{\sqrt {{y^2}{z^2} + 1} }}{z} + \frac{{\sqrt {{z^2}{x^2} + 1} }}{x}\\
= \sqrt {{x^2} + \frac{1}{{{y^2}}}} + \sqrt {{y^2} + \frac{1}{{{z^2}}}} + \sqrt {{z^2} + \frac{1}{{{x^2}}}} \\
= \sqrt {\left( {{x^2} + \frac{1}{{81{y^2}}}} \right) + \frac{{80}}{{81{y^2}}}} + \sqrt {\left( {{y^2} + \frac{1}{{81{z^2}}}} \right) + \frac{{80}}{{81{z^2}}}} + \sqrt {\left( {{z^2} + \frac{1}{{81{x^2}}}} \right) + \frac{{80}}{{81{x^2}}}} \\
\ge \sqrt {\frac{{2x}}{{9y}} + \frac{{80}}{{81}}{y^2}} + \sqrt {\frac{{2y}}{{9z}} + \frac{{80}}{{81}}{z^2}} + \sqrt {\frac{{2z}}{{9x}} + \frac{{80}}{{81}}{x^2}} {\rm{ }}\left( {AM - GM} \right)\\
\ge \sqrt {\frac{2}{9}{{\left( {\sqrt {\frac{x}{y}} + \sqrt {\frac{y}{z}} + \sqrt {\frac{z}{x}} } \right)}^2} + \frac{{80}}{{81}}{{\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right)}^2}} \\
\ge \sqrt {\frac{2}{9}{{\left( {3\sqrt[3]{{\frac{x}{y}.\frac{y}{z}.\frac{z}{x}}}} \right)}^2} + \frac{{80}}{{81}}{{\left( {\frac{9}{{x + y + z}}} \right)}^2}} {\rm{ }}\left( {Minkowski} \right)\\
= \sqrt {82}
\end{array}\]
Vậy giá trị nhỏ nhất của $T$ là $\sqrt {82}$ đạt được khi $x = y = z = \frac{1}{3}$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
ncthanh is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 20-09-2018, 04:24 PM   #12
Thụy An
+Thành Viên+

 
Tham gia ngày: Oct 2017
Bài gởi: 93
Thanks: 1
Thanked 68 Times in 45 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi MATHSCOPE View Post
$\boxed{10}$ [Phú Thọ] Chứng minh rằng:
  1. Tồn tại $2018$ số nguyên dương liên tiếp là hợp số.
  2. Tồn tại $2018$ số nguyên dương liên tiếp chứa đúng $2$ số nguyên tố.
  1. Các số đó là $n_k=2019!+k$ với $2\le k\le 2019$.
  2. Với mỗi $n\in\mathbb N$, đặt $p(n)$ là số các số nguyên tố trong tập $\{n+k:\;k\in\mathbb N^*,\,k\le 2018\}$, ta có ngay\[\left| {p\left( {n + 1} \right) - p\left( n \right)} \right| \le 1.\]Vậy, $p(n)$ là hàm liên tục rời rạc. Từ $p(1)>2$ và $p\left(2019!+1\right)=0$, theo định lý giá trị trung bình ta có điều cần chứng minh.

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: Thụy An, 20-09-2018 lúc 04:28 PM
Thụy An is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 2 Users Say Thank You to Thụy An For This Useful Post:
fatalhans (21-09-2018), ncthanh (20-09-2018)
Old 20-09-2018, 04:32 PM   #13
nkhanh75
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Jun 2013
Bài gởi: 2
Thanks: 0
Thanked 0 Times in 0 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi vnt.hnue View Post
$\boxed{10}$ [Hải Phòng] Giải phương trình sau với 2018 dấu phân số\[1 + \dfrac{1}{{1 + \dfrac{1}{\begin{array}{l}
1 + \\
\quad\ddots \;1 + \dfrac{1}{x}\\

\end{array}}}} = x.\]
........
- Nhận xét 2: Phương trình đã cho thực chất là phương trình bậc 2 nên có tối đa 2 nghiệm.
Cái nhận xét 2 này chưa ổn chút nào
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
nkhanh75 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 20-09-2018, 06:23 PM   #14
ncthanh
Moderator
 
Tham gia ngày: Oct 2017
Đến từ: THPT Chuyên Bảo Lộc
Bài gởi: 17
Thanks: 51
Thanked 10 Times in 7 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi MATHSCOPE View Post

$\boxed{9}$ [Phú Thọ] Cho dãy số thực $(a_n)_{n\ge 1}$ xác định bởi: $a_1=a_2=1,a_3=2$ và $a_{n+3}=\frac{a_{n+1}a_{n+2}+7}{a_n}$ với mọi số nguyên dương $n$. Chứng minh rằng $a_n$ là số nguyên, với mọi số nguyên dương $n$.
Ta có: $a_{n+3}=\frac{a_{n+1}a_{n+2}+7}{a_n}$ với mọi số nguyên dương $n$ nên ${a_n}{a_{n + 3}} = {a_{n + 1}}{a_{n + 2}} + 7$ và ${a_{n + 1}}{a_{n + 4}} = {a_{n + 2}}{a_{n + 3}} + 7,\forall n = 1,2,...$
Suy ra:\[\frac{{{a_{n + 2}} + {a_{n + 4}}}}{{{a_{n + 3}}}} = \frac{{{a_n} + {a_{n + 2}}}}{{{a_{n + 1}}}},\forall n = 1,2,...\]
Từ đó nếu $n$ là số chẵn thì ta có:\[\frac{{{a_{n + 2}} + {a_{n + 4}}}}{{{a_{n + 3}}}} = \frac{{{a_2} + {a_4}}}{{{a_3}}} = 5.\]
Tức là với $n$ chẵn thì ${a_{n + 4}} = 5{a_{n + 3}} - {a_{n + 2}}.$ Tương tự, ta có ${a_{n + 4}} = 3{a_{n + 3}} - {a_{n + 2}}$ với $n$ lẻ. Từ đó, bằng quy nạp ta dễ dàng chứng minh được ${a_n}$ là số nguyên với mọi số nguyên dương $n$.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
ncthanh is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to ncthanh For This Useful Post:
MATHSCOPE (20-09-2018)
Old 21-09-2018, 10:09 AM   #15
Le khanhsy
Super Moderator
 
Tham gia ngày: Oct 2017
Bài gởi: 48
Thanks: 52
Thanked 57 Times in 30 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi MATHSCOPE View Post
$\boxed{8}$ [Ninh Bình] Cho ba số thực dương $a,\,b,\,c$. Chứng minh bất đẳng thức\[\left( {a + b + c} \right)\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) + 4\sqrt 2 \left( {\frac{{ab + bc + ca}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}} \right) \ge 9 + 4\sqrt 2 .\]
Xét một bất đẳng thức rất chặt sau đây
$$27(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2=4(p^2-3q)^3-(2p^3-9pq+27r)^2 \ge 0$$
Chúng ta thu được
\[- 2(p^2-3q)\sqrt{p^2-3q} \le 2p^3-9pq+27r \le 2(p^2-3q)\sqrt{p^2-3q},\]
từ đây ta có
\[\dfrac{-2p^3+9pq-2(p^2-3q)\sqrt{p^2-3q}}{9} \le abc \le \dfrac{-2p^3+9pq+2(p^2-3q)\sqrt{p^2-3q}}{27}.\]
Bây giờ ta xét $a,b,c$ không âm, ta chuẩn hóa $a+b+c=3$ và khi đó tồn tại $t\in[0;1)$ sao cho $ab+bc+ca=3-3t^2$. Khi đó ta có
\[ (t+1)^2(1-2t)\le abc \le (t-1)^2(2t+1)\]
Vậy nên chúng ta cần chứng minh
\[\dfrac{3(3-3t^2)}{(t-1)^2(2t+1)} +\dfrac{4\sqrt{2}(3-3t^2)}{3+6t^2}\ge 9+4\sqrt{2}.\]
Việc nhóm các đối tượng cùng trọng số dễ dàng đưa chúng ta đến
\[\dfrac{24\sqrt{2}t^2\left(t+2-\dfrac{3}{\sqrt{2}} \right)^2}{(1-t)(2t+1)(2t^2+1)} \ge 0 .\]
Hoàn tất chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$ và hoán vị $\left(x,x,x\sqrt{2} \right).$

Ngoài ra chúng ta cũng có thể giải bằng thuần Cauchy-Schwarz một cách dễ dàng
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Le khanhsy is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 2 Users Say Thank You to Le khanhsy For This Useful Post:
MATHSCOPE (21-09-2018), ncthanh (21-09-2018)
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 03:46 PM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 130.01 k/145.77 k (10.81%)]