Một số bài bất đẳng thức hình ( từ mathlinks )

[psquang_pbc]

Mình có copy sang đây mấy bài bất đẳng thức hình của anh Evarist và 1 bài của anh Võ Quốc Bá Cẩn :
Kí hiệu như cũ

1, $\sum \frac {r_{a}}{l_{a}}\ge \sqrt {\frac {4R}{r} + 1} $

2, $\frac {R^{2}}{r^{2}} - \frac {R}{2r}\ge\sum\frac {r_{b}r_{c}}{m_{b}m_{c}}\ge\frac {4r}{R}(2 - \frac {r}{R}) $

3, $\sum\frac {r_{b}r_{c}}{m_{b}m_{c}}\ge 4\sum\sin^{2}{\frac {A}{2}} $

4, $\frac {r}{R} + \frac {(a^{2} - b^{2})^{2} + (b^{2} - c^{2})^{2} + (c^{2} - a^{2})^{2}}{16S^{2}}\ge \frac {1}{2} $

5, $xm_{a}h_{b}+ym_{b}h_{c}+zm_{c}h_{a}\ge 3\sqrt{xy+yz+zx},x,y,z\ge 0 $

6 $\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\ge \sqrt{\frac{3}{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2}+4\sqrt{3}S})} $

7, $\sqrt{ab+bc+ca}+\frac{1}{4}(|a-b|+|b-c|+|c-a|)\ge 3R $

8, $mp^{2}\le (m+1)R^{2}-2(m^{2}-5m+2)Rr+(4-m)r^{2},m\ge 0 $

9, $a^{2}+b^{2}+c^{2}\ge 4S(\sec\frac{A}{2}+\sec\frac{B}{2}+\sec\frac{C}{2}-\sqrt{3})+[(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}] $

10, $\sum \frac{m_{a}}{p-a}\ge \frac{p}{r} $

11, $\frac{ab+bc+ca}{4\sqrt{3}S}\ge \frac{1}{9}(a^{2}+b^{2}+c^{2})(\frac{1}{a^{2}}+\fr ac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}) $

12, $2(ab+bc+ca)-a^{2}-b^{2}-c^{2}\geq 4S\sqrt{3+4\frac{R-2r}{4R+r} $

13, Tìm hằng số $k $ tốt nhất thỏa mãn $m_{a}+m_{b}+m_{c}\leq \frac{\sqrt{3}}{2}(a+b+c)+k (|a-b|+|b-c|+|c-a|) $ ( Võ Quốc Bá Cẩn ) $k=1-\frac{\sqrt{3}}{2} $

14, $\sum \frac{r_{a}^{2}}{a^{2}}\geq \frac{9}{4}+\frac{15\prod (a-b)^{2}}{4\prod (a+b)^{2}} $

15, $\frac{{r_{a}}^{2}}{a^{2}}+\frac{{r_{b}}^{2}}{b^{2} }+\frac{{r_{c}}^{2}}{c^{2}}\geq \frac{9}{4}+\frac{15\prod(a-b)^{2}}{4\prod(a+b)^{2}} $

16, $\frac{m_{a}}{m_{b}}+\frac{m_{b}}{m_{c}}+\frac{m_{c }}{m_{a}}\geq \frac{27(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{4(m_{a}+m_{b}+m_{c})^ {2}} $

17, $\frac{{r_{a}}^{2}}{a^{2}}+\frac{{r_{b}}^{2}}{b^{2} }+\frac{{r_{c}}^{2}}{c^{2}}\geq \frac{9}{4} $

18, $\frac{5R}{16R-2r}\geq \frac{ab+bc+ca}{ (a+b+c)^{2}}\geq \frac{4r}{10r+R} $
19,$ \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{4\sqrt{3}S}\ge\frac{3}{2( cosA+cosB+cosC)} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[asimothat]

cái này chú lập psquang lập mỗi bài 1 topic để anh em còn trao đổi ,chứ thế này anh biết ở đâu của mathlinks mà tìm ,mà với những người tiếng anh gà vịt (như mình chẳng hạn ) thì tết cũng chẳng biết ở đâu
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[psquang_pbc]

Nguyên văn bởi asimothat

cái này chú lập psquang lập mỗi bài 1 topic để anh em còn trao đổi ,chứ thế này anh biết ở đâu của mathlinks mà tìm ,mà với những người tiếng anh gà vịt (như mình chẳng hạn ) thì tết cũng chẳng biết ở đâu

Gà gì hả anh, em quote sang đây rồi đó, thảo luận đi chứ mọi người . Các bài trên hình như trên mathlinks chưa có reply hoàn chỉnh đâu
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Mather]

Bài mở rộng cho bài số 4
Tìm hằng số k tốt nhất để BDT sau đúng
$\frac{r}{R}+\frac{(a^2-b^2)^2+(b^2-c^2)^2+(c^2-a^2)^2}{k.S^2}\ge \frac{1}{2} $
:facebowling:
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]