Phương trình Pell mở rộng

[ptk_1411]

Tìm $x,y$ nguyên thoả mãn $$x^4-5y^4=1$$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[tranghieu95]

Nguyên văn bởi ptk_1411

Tìm $x,y$ nguyên thoả mãn $$x^4-5y^4=1$$

Xét pt Pell dạng: $a^2-5b^2=1$ có nghiệm
$$a_n=(9+4 \sqrt{5})^n=(2+\sqrt{5})^{2n}$$
$$b_n=(9- 4 \sqrt{5})^n=(2- \sqrt{5})^{2n}$$
$$\Rightarrow x_n=(2+\sqrt{5})^{n}$$
$$y_n=(2- \sqrt{5})^{n}$$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[hansongkyung]

Nguyên văn bởi ptk_1411

Tìm $x,y$ nguyên thoả mãn $$x^4-5y^4=1$$

Phương trình $a^2 - 5b^2 = 1$ có cặp nghiệm cơ bản là (9, 4)
Suy ra nghiệm của pt trên là cặp $(a_n;b_n)$ được xác định như sau:
$$a_0=1, a_1=9, a_{n+2} = 18a_{n+1} - a_n$$
$$b_0=0, b_1 =4, b_{n+2}=18b_{n+1}-b_n$$
Bây giờ ta phải tìm các chỉ số chỉ số n sao cho cả 2 số $a_n,b_n$ đều là số chính phương.
Đến đây thì nó trở thành 1 bài toán quen thuộc.

nói là quen thuộc thôi chứ mình thỉnh thoảng mới gặp mấy bài này, không biết trong trường hợp này thì nó thế nào nhỉ

---------
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[ptk_1411]

Nguyên văn bởi tranghieu95

Xét pt Pell dạng: $a^2-5b^2=1$ có nghiệm
$$a_n=(9+4 \sqrt{5})^n=(2+\sqrt{5})^{2n}$$
$$b_n=(9- 4 \sqrt{5})^n=(2- \sqrt{5})^{2n}$$
$$\Rightarrow x_n=(2+\sqrt{5})^{n}$$
$$y_n=(2- \sqrt{5})^{n}$$

$x_n,y_n$ đâu có nguyên đâu bạn Bạn bị nhầm chỗ công thức tổng quát rồi.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]