Ánh xạ khả vi lớp C^1 ?

[novice_dhsphn]

Cho $E $ là không gian Banach các hàm liên tục nhận giá trị thực trên đoạn [a,b] với chuẩn sup và $\phi : R\to R $ là một hàm thuộc lớp $C^2 $. Chứng minh rằng ánh xạ $f\to \int_a^b\phi(f(x))dx $ là một ánh xạ khả vi từ $E $ vào $R $. Hỏi ánh xạ này có thuộc lớp $C^1 $ không ?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[123456]

Nguyên văn bởi novice_dhsphn

Cho $E $ là không gian Banach các hàm liên tục nhận giá trị thực trên đoạn [a,b] với chuẩn sup và $\phi : R\to R $ là một hàm thuộc lớp $C^2 $. Chứng minh rằng ánh xạ $f\to \int_a^b\phi(f(x))dx $ là một ánh xạ khả vi từ $E $ vào $R $. Hỏi ánh xạ này có thuộc lớp $C^1 $ không ?

Dùng công thức khai triển Taylor ta có
$\phi(x+y)=\phi(x)+\phi^{'}(x)y+y^2\int_0^1\phi^{'' }(x+ty)(1-t)dt $
Cố định $f\in E $ thì tồn tại M > 0 sao cho $||f||_E< M $, chọn $\epsilon=M-||f||_E>0 $, do $\phi $ thuộc lớp $C^2 $ nên $\phi^{''} $ liên tục, do đó tồn tại $C_M>0 $ sao cho $|\phi^{''}(x)|\leq C_M $ với mọi $x\in [-M,M] $. với $h\in E $ sao cho $||h||_E<\epsilon $ thì với mọi $0\leq t\leq 1, x\in R $ ta có $|f(x)+th(x)|\leq M $. Ta có
$\int_a^b\phi(f(x)+h(x))dx=\int_a^b[\phi(f(x))+\phi^{'}(f(x))h(x)+h(x)^2\int_0^1\phi^{ ''}(f(x)+th(x))(1-t)dt]dx $
do đó ta có
$|\int_a^b\phi(f(x)+h(x))dx-\int_a^b\phi(f(x))dx-\int_a^b\phi^{'}(f(x))h(x)dx|\leq ||h||_E^2\int_a^b\int_0^1|\phi^{''}(f(x)+th(x))|(1-t)dtdx\leq C_M(b-a)\frac{||h||^2_E}{2} $
Do ánh xạ $h\to \int_a^b\phi^{'}(f(x))h(x)dx $ là tuyến tính, liên tục trên E. Kết hợp với bất đẳng thức trên ta có, ánh xạ $f\to \int_a^b\phi(f(x))dx $ là khả vi, với đạo hàm tại f là ánh xạ tuyển tính, liên tục $h\to \int_a^b\phi^{'}(f(x))h(x)dx $.
Như trên ta có ánh xạ đạo hàm là $F: E\to E^* $ với $F(f) $ là ánh xạ tuyến tính $F(f): h\to \int_a^b\phi^{'}(f(x))h(x)dx $. Ta chứng minh F là liên tục từ E vào $E^* $. Thật vậy, cố định f thuộc E, chọn M, $\epsilon $ như trên với mọi $h, g\in E $ sao cho $||h||_E\leq 1, ||g||_E<\epsilon $, ta có,
$|(F(f+g)-F(f))h|=|\int_a^b(\phi^{'}(f(x)+g(x))-\phi^{'}(f(x)))h(x)dx|=|\int_a^b(g(x)\int_0^1\phi^ {''}(f(x)+tg(x))dt)h(x)dx|\leq ||h||_EC_M||g||_E(b-a)=C_M(b-a)||g||_E||h||_E $
Lấy sup theo h, ta có
$||F(f+g)-F(f)||_{E^*}\leq C_M(b-a)||g||_E $ với mọi $||g||_E<\epsilon $ đã chọn ở trên.
Do đó F liên tục tại f. Vậy hàm đã cho thuộc lớp $C^1 $ trên E.

Không biết có đúng không nữa
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]