4 bài toán giải tích

[hoangnam94]

1/Cho $f :\mathbb{R} \to \mathbb{R} $ liên tục tại 0 và thoả mãn $f(2x) = f(x)cosx$, với mọi $x \in \mathbb{R}$
2/Cho hàm $f$ liên tục trên $[a;b]$ và $f: [a;b] \to \mathbb{R}$, sao cho $f(a)=f(b)=f'(a)=f'(b)=0$. Chứng minh rằng tồn tại số $c \in [a;b]$ sao cho $f(c)= f"(c)$
3/Cho $f: [0;+\infty) \to \mathbb{R}$ là một hàm liên tục, không âm sao cho $lim_{x \to + \infty} \frac{f(x)}{x} = l <1$
Chứng minh rằng tồn tại số $x_0$ sao cho $f(x_0) = x_0$
4/Cho hàm $f: [0;1] \to \mathbb{R}$ liên tục. Tính $lim_{n \to +\infty} (n \int_0^1 x^nf(x)dx$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]