Đề bài và lời giải môn Toán khối A 2012

[vjpd3pz41iuai]

Đúng là $\frac{-35}{16} $ chuẩn rồi.Thằng em mình cũng ra thếAnh Thanh đi thi về sớm hả
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[navibol]

Câu hình không gian ra là $\frac{a^3\sqrt{7}}{12}$ tính $CH$ áp dụng định lý cos
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[ThangToan]

Nguyên văn bởi kien10a1

Bài bđt em làm rất là điên thế này:trong 3 số x,y,z có 2 số không khác dấu, gs là y và z.
Ta có thể viết lại$ P= 3^{\left | 2y+z \right |}+3^{\left | 2z+y \right |}+3^{\left | y-z \right |}-\sqrt{9(y+z)^2+3(y-z)^2)} $
Ta thấy (y;z) hoàn toàn có thể thay bởi (-y-z) mà P không đổi nên giả sử y,z không âm.
Khi đó $\sqrt{9(y+z)^2+3(y-z)^2)}\leq 3\left |y+z \right |+\left | y-z \right | $
Theo bđt AM-GM: $3^{\left | 2y+z \right |}+3^{\left | 2z+y \right |}\geqslant 2.3^{\frac{3}{2}(y+z)} $
Xét hàm số $ 2.3^{\frac{3}{2}t}-3t $ với t không âm, lập bảng biến thiên suy ra min đạt tại t=0.
Tương tự với hàm số$3^r-r $ với r không âm.
Vậy min P là 3 khi x=y=z=0

Các nghiệm của đạo hàm hoàn toàn có thể chứng minh là âm với bđt $e<3 $

Có thể làm đơn giản như sau:
Đặt $a=|y-z|, b=|z-x|, c=|x-y| $. Khi đó ta có
$a^2[+b^2+c^2=3(x^2+y^2+z^2) $. Khi đó biểu thức P là
$P=3^a+3^b+3^c-\sqrt{2(a^2+b^2+c^2)} $ (1)
Chú ý1: $|a-b|\le c, |c-b|\le a, |a-c|\le b $ suy ra $2(ab+bc+ca)\ge (a^2+b^2+c^2) $ suy ra $2(a^2+b^2+c^2)\le (a+b+c)^2 $ (2)
Chú ý 2. Với $t\ge 0 $ ta có $3^t\ge 1+t $
Từ chú ý 1 và 2, kết hợp với (1) suy ra $P\ge 3 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[kien10a1]

Nguyên văn bởi ThangToan

Có thể làm đơn giản như sau:
Đặt $a=|y-z|, b=|z-x|, c=|x-y| $. Khi đó ta có
$a^2[+b^2+c^2=3(x^2+y^2+z^2) $. Khi đó biểu thức P là
$P=3^a+3^b+3^c-\sqrt{2(a^2+b^2+c^2)} $ (1)
Chú ý1: $|a-b|\le c, |c-b|\le a, |a-c|\le b $ suy ra $2(ab+bc+ca)\ge (a^2+b^2+c^2) $ suy ra $2(a^2+b^2+c^2)\le (a+b+c)^2 $ (2)
Chú ý 2. Với $t\ge 0 $ ta có $3^t\ge 1+t $
Từ chú ý 1 và 2, kết hợp với (1) suy ra $P\ge 3 $

Vâng, em không thạo biến đổi nên cứ làm thẳng thành ra xử lý phức tạp.

Cả hai lời giải vẫn có điểm chung là hàm $3^t-t $ với t không âm.

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[n.v.thanh]

Nguyên văn bởi vjpd3pz41iuai

Đúng là $\frac{-35}{16} $ chuẩn rồi.Thằng em mình cũng ra thếAnh Thanh đi thi về sớm hả

A về từ 9h15 .

Ngủ dậy lúc 9h15 đó em

. Tí nữa có file PDF nhé. Có khi bảo bác Minh soạn luôn cái giáo án cho nhanh để MathScope còn đón IMO . Năm nay có khi báo đài giật tí : Cùng ngắm cậu học sinh duy nhất được điểm 9 môn Toán khối A.

Còn lại toàn 9.5 trở lên

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Chém Gió]

Câu 6 (BĐT)
Chú ý là
$6(x^2+y^2+z^2)=2(|x-y|^2+|y-z|^2+|z-x|^2)$
nên nếu đặt $A=|y-z|,B=|z-x|,C=|x-y|$ thì ta có
$P=3^A+3^B+3^C-\sqrt{2(A^2+B^2+C^2)}.$
Giả sử $x\ge y\ge z,$ ta chứng minh
$2(A^2+B^2+C^2)\le(A+B+C)^2.$
Thật vậy bất đẳng thức tương đương
$2(AB+BC+CA)\ge A^2+B^2+C^2,$
$2(x-y)(y-z)+2(x-z)(y-z)+2(x-y)(x-z)\ge(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2,$
$4(x-y)(y-z)\ge0,$
đúng vì $x\ge y\ge z.$ Vậy ta có
$P\ge 3^A+3^B+3^C-(A+B+C).$
Xét hàm số $f(x)=3^x-x$ với $x\ge 0$ ta có ngay $f(x)\ge1$ $\forall x\ge0.$ Do đó $P\ge3.$
Mặt khác tại $x=y=z=0$ thì $P=3$ và như vậy $\min P=3.$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[toanlc_gift]

Già thật rồi mất một lúc mới ra
Câu 6:
$x+y+z=0 => x^2+y^2+z^2=-2(xy+yz+zx) $
bên trong dấu căn có thể biến đổi thành
$2[(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2] $
đổi biến thì bài toán trở thành tìm min của
${3^a} + {3^b} + {3^c} - \sqrt {2({a^2} + {b^2} + {c^2})} $trong đó a,b,c không âm
đến đây thì có thể giải theo nhiều cách,chẳng hạn
xét hàm số ta chứng minh được ${3^a} \ge \sqrt{2}a + 1 $ nên
${3^a} + {3^b} + {3^c} \ge \sqrt{2}( a + b + c) +3 \ge \sqrt {2({a^2} + {b^2} + {c^2})} +3 $

p/s: may thế chưa đụng hàng cách nào bên trên ))))
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[nguoibimat]

Có ai làm câu 7a không, sao em thấy nó hơi kì kì
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[cr99]

Nguyên văn bởi kien10a1

Bài bđt em làm rất là điên thế này:trong 3 số x,y,z có 2 số không khác dấu, gs là y và z.
Ta có thể viết lại P= $3^{\left | 2y+z \right |}+3^{\left | 2z+y \right |}+3^{\left | y-z \right |}-\sqrt{9(y+z)^2+3(y-z)^2)} $
Ta thấy (y;z) hoàn toàn có thể thay bởi (-y-z) mà P không đổi nên giả sử y,z không âm.
Khi đó $\sqrt{9(y+z)^2+3(y-z)^2)}\leq 3\left |y+z \right |+\left | y-z \right | $
Theo bđt AM-GM: $3^{\left | 2y+z \right |}+3^{\left | 2z+y \right |}\geqslant 2.3^{\frac{3}{2}(y+z)} $
Xét hàm số $ 2.3^{\frac{3}{2}t}-3t $ với t không âm, lập bảng biến thiên suy ra min đạt tại t=0.
Tương tự với hàm số$3^r-r $ với r không âm.
Vậy min P là 3 khi x=y=z=0

Các nghiệm của đạo hàm hoàn toàn có thể chứng minh là âm với bđt $e<3 $

Đúng là trâu bò húc, nhưng xem ra để kéo hàm mũ và hàm căn lại gần nhau thì chỉ có cách ước lượng và khảo sát hàm. Có cao thủ nào có ý kiến khác hay hơn ko?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[n.v.thanh]

Cập nhật file PDF bởi anh Novae .
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[hamaianh0405]

Nguyên văn bởi kien10a1

Khi đó $\sqrt{9(y+z)^2+3(y-z)^2)}\leq 3\left |y+z \right |+\left | y-z \right | $

Cái này là sao anh?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[nguyenhung12]

Hệ số của $x^5$ nên k=3
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[BangchuCaiBang]

Câu tích phân tính đơn giản như thế này:
$$I=\int^{3}_{1}\dfrac{1+\ln(x+1)}{x^2}dx=\int^{3} _{1}[1+\ln(x+1)]d(-\dfrac{1}{x}-1).$$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[cr99]

Nguyên văn bởi toanlc_gift

Già thật rồi mất một lúc mới ra
Câu 6:
$x+y+z=0 => x^2+y^2+z^2=-2(xy+yz+zx) $
bên trong dấu căn có thể biến đổi thành
$2[(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2] $
đổi biến thì bài toán trở thành tìm min của
${3^a} + {3^b} + {3^c} - \sqrt {2({a^2} + {b^2} + {c^2})} $trong đó a,b,c không âm
đến đây thì có thể giải theo nhiều cách,chẳng hạn
xét hàm số ta chứng minh được ${3^a} \ge \sqrt{2}a $ nên
${3^a} + {3^b} + {3^c} \ge \sqrt{2}( a + b + c) \ge \sqrt {2({a^2} + {b^2} + {c^2})} $

p/s: may thế chưa đụng hàng cách nào bên trên ))))

Xem lại đi bạn, BĐT ${3^a} \ge \sqrt{2}a $ có dấu bằng xảy ra khi nào? GTNN bao nhiêu?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[n.v.thanh]

Nguyên văn bởi cr99

Xem lại đi bạn, BĐT ${3^a} \ge \sqrt{2}a $ có dấu bằng xảy ra khi nào? GTNN bao nhiêu?

Với bác Toanlc thì cái đó không quan trọng. Bước đặt ẩn ở trên là coi như giải xong rồi . Bác Gift nhỉ
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]