Đề bài và lời giải môn Toán khối A 2012

[levietbao]

Đề thi đại học năm nay nhìn cũng khá khó nhỉ
xin được đóng góp vài tích phân
$\int_{1}^{3}\frac{1+ln(x+1)}{x^{2}}dx$
ta tách làm hai rích phân là $I_1=\int_{1}^{3}\frac{1}{x^{2}}dx$
và $I_2=\int_{1}^{3}\frac{ln(x+1)}{x^{2}}dx$
tích phân $I_1$ dễ dàng tìm ra nguyên hàm và có kết quả là $I_1=\frac{2}{3}$.Với tích phân $I_2$ ta dùng công thức tính tích phân từng phần ,đặt $\begin{cases} u=ln(x+1)\\ dv=\frac{1}{x^{2}}dx\end{cases}$ suy ra
$\begin{cases} du=\frac{1}{x+1}dx\\v=\frac{-1}{x}dx\end{cases}$ ,theo công thức tích phân từng phần ta có
$I_2=\frac{-ln(x+1)}{x}+\int_{1}^{3}\frac{1}{x(x+1)}dx$
tích phân $\int_{1}^{3}\frac{1}{x(x+1)}dx=\int_{1}^{3}(\frac {1}{x}-\frac{1}{x+1})dx$.Đến đây công việc chỉ là thủ tục
ta có kết quả cuối cùng là $I=I_1+I_2=\frac{-ln4}{3}+ln3+\frac{2}{3}$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[toanlc_gift]

Nguyên văn bởi cr99

Xem lại đi bạn, BĐT ${3^a} \ge \sqrt{2}a $ có dấu bằng xảy ra khi nào? GTNN bao nhiêu?

ui chết,sr,thiếu số 1
phải là ${3^a} \ge \sqrt{2}a +1 $ ^^!
đã edit lại
p/s: mấy lời giải bên trên ai xét hàm cũng thiếu hằng số thì phải ))
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[toanineq]

Có ai có file đáp án đầy đủ chưa ạ ?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[kien10a1]

Nguyên văn bởi hamaianh0405

Cái này là sao anh?

Vì đã giả sử y,z không âm nên $ \left | y+z \right |\geqslant \left | y-z \right | $ bình phương lên thì nó hiển nhiên đúng thôi.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[BangchuCaiBang]

Nguyên văn bởi toanlc_gift

ui chết,sr,thiếu số 1
phải là ${3^a} \ge \sqrt{2}a +1 $ ^^!
đã edit lại
p/s: mấy lời giải bên trên ai xét hàm cũng thiếu hằng số thì phải ))

Hệ số này là ln3 chứ nhỉ?
------------------------------

Nguyên văn bởi BangchuCaiBang

Hệ số này là ln3 chứ nhỉ?

Để cho gọn ta nên chọn $k=\frac{\sqrt{3}}{2}. $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[toanlc_gift]

Nguyên văn bởi BangchuCaiBang

Hệ số này là ln3 chứ nhỉ?
------------------------------


Để cho gọn ta nên chọn $k=\frac{\sqrt{3}}{2}. $

chọn hệ số là $\sqrt{2} $ để còn chứng minh
$\sqrt 2 (a + b + c) \ge \sqrt {2({a^2} + {b^2} + {c^2})} $
bình phương lên cái rút gọn ngon ơ ^^!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[vinhhop.qt]

Nguyên văn bởi nguoibimat

Có ai làm câu 7a không, sao em thấy nó hơi kì kì

Bai này giải cách bình thường thì không nói làm gì. Có thể giải nhanh hơn như sau:
Bước 1. Chứng minh góc $\widehat{MAN}=45^0$ (dùng hàm cosin là xong).
Bước 2. Gọi $A(t; 2t-3)$. Dùng tích vố hướng giữa vector AM và vector chỉ phuơng của AN, dẫn đến một phuơng trình bậc 2 theo $t$. Giải phuơng trình này thu được $t=1$ hoặc $t=4$.
Bước 3. Kết luận.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Anh Khoa]

Cô Đỗ Hồng An (giáo viên trường THPT Amsterdam HN) cho biết đề thi năm nay: "Đề tương đối phù hợp với kiến thức cơ bản của học sinh. Kiến thức trong đề được rải đều theo 3 năm học chứ không tập trung riêng vào một năm. Có khoảng 70% là kiến thức lớp 12. Trong đó câu 1, khảo sát hàm số là kiến thức lớp 10. Câu 2 giải phương trình phù hợp với chương trình giảm tải của bộ Giáo dục. Câu 4 tích phân cũng tường đối vừa phải, chỉ cần nắm chắc kiến thức cơ bản là đã có thể làm được. Trong phần chung cho các thí sinh (7 điểm) chỉ có câu 6 là câu bất đẳng thức hơi khó. Nhận xét chung, đề năm nay tương đối cơ bản. Tuy đề thi không dễ hơn so với năm ngoái nhưng độ phức tạp trong tính toán thì đơn giản hơn". Cô cũng cho biết với đề này, học sinh không khó khăn để đạt điểm. Tuy nhiên có một lưu ý là bài làm phải được trình bày cẩn thẩn, đạt đúng chuẩn về các bước tính toán. Nếu làm tắt hay bỏ qua các bước, các em sẽ bị mất điểm.

Trích : [Only registered and activated users can see links. ]
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[n.v.thanh]

Nguyên văn bởi toanineq

Có ai có file đáp án đầy đủ chưa ạ ?

Bạn Google thử xem. Topic này đã thảo luận hết những cái đáng thảo luận rồi .
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[BangchuCaiBang]

Nguyên văn bởi toanlc_gift

chọn hệ số là $\sqrt{2} $ để còn chứng minh
$\sqrt 2 (a + b + c) \ge \sqrt {2({a^2} + {b^2} + {c^2})} $
bình phương lên cái rút gọn ngon ơ ^^!

Nhưng $\sqrt{2}$ trội hơn $ln3$ nên BDT đó chắc là không đúng.
------------------------------

Nguyên văn bởi vinhhop.qt

Bai này giải cách bình thường thì không nói làm gì. Có thể giải nhanh hơn như sau:
Bước 1. Chứng minh góc $\widehat{MAN}=45^0$ (dùng hàm cosin là xong).
Bước 2. Gọi $A(t; 2t-3)$. Dùng tích vố hướng giữa vector AM và vector chỉ phuơng của AN, dẫn đến một phuơng trình bậc 2 theo $t$. Giải phuơng trình này thu được $t=1$ hoặc $t=4$.
Bước 3. Kết luận.

Cứ gọi đại $BC:a(x-11)+b(y-1)=0 $ với $a^2+b^2 \ne 0 $ rồi chọn tìm ra $a,b $. Có BC thì nhẹ gánh rồi.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[batigoal]

Câu 4 . Mình có cách nhanh đây
Đặt \[u = 1 + \ln (1 + x)\],\[dv = \frac{1}{{{x^2}}}dx\] , ta có:
.
Vậy \[du = \frac{1}{{1 + x}},v = \frac{{ - 1}}{x}\]
\[I=\frac{{ - (1 + \ln (1 + x))}}{x}|_1^3 + \int\limits_1^3 {\frac{1}{{{x^3}}}} dx = \frac{{ - (1 + \ln (1 + x))}}{x}|_1^3 - \frac{1}{{2{x^2}}}|_1^3 = ...\]
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Galois_vn]

Nguyên văn bởi toanlc_gift

Già thật rồi mất một lúc mới ra
Câu 6:
$x+y+z=0 => x^2+y^2+z^2=-2(xy+yz+zx) $
bên trong dấu căn có thể biến đổi thành
$2[(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2] $
đổi biến thì bài toán trở thành tìm min của
${3^a} + {3^b} + {3^c} - \sqrt {2({a^2} + {b^2} + {c^2})} $trong đó a,b,c không âm
đến đây thì có thể giải theo nhiều cách,chẳng hạn
xét hàm số ta chứng minh được ${3^a} \ge \sqrt{2}a + 1 $ nên
$................ $

p/s: may thế chưa đụng hàng cách nào bên trên ))))

Trước hết, tôi khẳng định BĐT ${3^a} \ge \sqrt{2}a + 1 $ là sai!

Vì tôi chuộng hàm số hơn là kỹ thuật đánh nên tui sẽ kế thừa những kết quả trên và chuyển về BĐT dạng $f(a)+f(b)+f(c)\ge 0. $

Cũng bằng phép đổi biến và lý luận trên, ta cần cm:
nên
${3^a} + {3^b} + {3^c} -3 \ge \sqrt {2({a^2} + {b^2} + {c^2})} +3, $

trong đó, $a,b,c \ge 0. $

Ta bình phương lên và dùng đánh giá $xy\ge x+y-1, \forall x,y \ge 1 $ (do

$(x-1)(y-1)\ge 0. $

)

Khi đó, ta cần cm:

$\sum (3^{2a}-4.3^a)+9\ge 2(\sum a^2), $với $a, b, c\ge 0. $

Như vậy, ta xét $f(x)=9^x-4.3^x-2x^2+3, x\ge 0 $

ps: Cũng gặp trục trặc như trên!





Vẫn chưa được!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[batigoal]

Câu 9 Gọi \[z = x + yi.x,y \in R\]
Ta có
\[\begin{array}{l}
\frac{{5(\overline z + i)}}{{z + 1}} = 2 - i\\
\Leftrightarrow 5(x - yi + i) = (2 - i)(x + yi + 1)\\
\Leftrightarrow 3x - y - 2 + (x - 7y + 6)i = 0
\end{array}\]
Ta có hệ phương trình
\[\begin{array}{l}
3x - y = 2(1)\\
x - 7y = - 6(2)
\end{array}\]Vậy x=1;y=1 . Do đó .\[z = 1 + i\]


Vậy $x=1;y=1$ . Do đó $z=1+i$
\[{z^2} + z + 1 = 2i + 1 + i + 1 = 2 + 3i \Rightarrow |z| = \sqrt {13} \]%
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[tir]

Zing: [Only registered and activated users can see links. ]
Vnexpress: [Only registered and activated users can see links. ]

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[batigoal]

Câu 8 aĐường thẳng d qua điểm M(-1;0;2) và có vec to chỉ phương
Mặt phẳng (P) qua I(0;0;3) và vuông góc với d có phương trình:

Gọi H là hình chiếu ủa I lên d thì H là giao điểm của đường thẳng d và mp(P)
H thuộc d nên $H( -1+t; 2t; 2+t).$ mà H thuộc (P) nên ta có:
$-1+t+4t+2+t-3=0 $ suy ra \[t = \frac{1}{3}\] . Vậy \[H\left( {\frac{{ - 2}}{3};\frac{2}{3};\frac{7}{3}} \right)\].
\[IH = \sqrt {{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^2}} = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\]

Vì tam giác IAB vuông ơ I nên IH=AH (Theo tính chất trung tuyến tam giác vuông. )
V ậy
\[{R^2} = {\left( {\frac{{2\sqrt 3 }}{3}} \right)^2} + {\left( {\frac{{2\sqrt 3 }}{3}} \right)^2} = \frac{8}{3}\]

.
Phương trình mặt cầu cần tìm \[{x^2} + {y^2} + {(z - 2)^2} = \frac{8}{3}\]
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]