Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa

[bybossy]

Tìm miền hội tụ của:
$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n(x-1)^{3n}}{2n+3} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[magician_14312]

Nguyên văn bởi bybossy

Tìm miền hội tụ của:
$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n(x-1)^{3n}}{2n+3} \,\ (1) $

Đặt $(x-1)^3=X $, chuỗi $(1) $ được viết lại thành $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{nX^n}{2n+3} \,\ (2). $
Ta có $a_n=\frac{n}{2n+3} $ và $\lim_{n \to \infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=1 $,
do đó, bán kính hội tụ bằng $1 $ và khoảng hội tụ của $(2) $ là $-1 < X < 1. $
*) Tai điểm $X=1 $, thay vào $(2) $ ta được chuỗi

$\sum_{1}^{+\infty}\frac{n}{2n+3} $ phân kì do $\lim_{n \to +\infty}a_n=\frac{1}{2} \neq 0. $

*) Tại điểm $X=-1 $, thay vào $(2) $ ta được chuỗi

$\sum_{1}^{+\infty} \frac{(-1)^nn}{2n+3} $ cũng phân kì.

Vậy miền hội tụ của $(2) $ là $-1 < X < 1 \Leftrightarrow -1< (x-1)^3< 1 $
Từ đó suy ra miền hội tụ của chuỗi $(1) $ là $0 < x < 2. $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]