Kỳ thi chọn HSGQG môn Toán 2015 - Đề thi - Page 2

magic. · 08-01-2015, 02:35 PM

Trích:

Nguyên văn bởi quocbaoct10

Nhìn câu tổ hợp mà mình muốn khóc, tại sao đề thi HSG mà lại ra cái câu như thế này ?

Trích:

Nguyên văn bởi quocbaoct10

Được bạn. Hình như có thể chia thành 2 dãy, $a_n$ chia hết cho 3 và $b_n$ không chia hết cho 3. Công thức truy hồi cũng không khó tính.
Từ cách gọi dãy như mình ở trên, ta được 2 công thức:
$a_{n+1}=a_n+3b_n$ và $a_n+b_n=4^n$.
Đến đây thì dễ rồi.

Bạn xem lại công thức truy hồi nhé!

**quocbaoct10** · 08-01-2015, 02:47 PM

Trích:

Nguyên văn bởi magic.

Bạn xem lại công thức truy hồi nhé!

Đúng là nhầm thật, cảm ơn anh.

lupanh7 · 08-01-2015, 12:12 PM

Bài 3 làm truy hồi cũng không khó lắm
Kết quả là:
$\frac{4^K-1}{3}+1$ nếu K chia hết cho 3
$\frac{4^K-1}{3}$ nếu K không chia hết cho 3

**Nguyen Van Linh** · 08-01-2015, 12:22 PM

Câu b bài hình:
Xét trục đẳng phương cho $(I)$, đường tròn đường kính $BC$ và $(BHC)$ suy ra $EF, PQ, BC$ đông quy tại $K$. Kẻ tiếp tuyến $KT$ tới $(O)$.
Ta có $KM.KN=KP.KQ=KB.KC=KT^2$ nên $(TPQ)$ tiếp xúc với $(O)$, $(TMN)$ tiếp xúc với $(O).$
Ta có $\angle BTM=\angle KTM-\angle KTB=\angle TNM-\angle TCN=\angle NTC$. Suy ra $TM,TN$ đẳng giác trong $\angle BTC$ hay phân giác $MTN$ đi qua trung điểm cung $BC$ không chứa $A.$

**huynhcongbang** · 08-01-2015, 12:26 PM

Gửi mọi người đề thi ngày 1, bản PDF đọc cho rõ.

**huynhcongbang** · 08-01-2015, 12:47 PM

Câu 3 tổ hợp theo mình nghĩ thì nếu ai học về đếm bằng truy hồi thì cũng đã từng gặp bài tương tự rồi.

Ở đây tuy đề có yêu cầu số chữ số không vượt quá $K$ nhưng may mắn là trong các số cần lập thì có số 0. Điều này cho phép ta đưa về bài toán:

Đếm số các bộ số có thứ tự có đúng $K$ số, có tổng chia hết cho 3 và có các chữ số là $\{ 2, 0, 1, 5 \}$ (*)

Chú ý rằng cách đếm trên có thể có các chữ số 0 đứng đầu và thông qua đó, ta đã gián tiếp đếm các số có ít hơn $K$ chữ số.

Cách của bạn haojack123 vậy là ổn rồi, nhưng mình nghĩ là nên rút gọn ra đến kết quả cuối cùng luôn, do đó đều là các tổng của các cấp số nhân đơn giản.

Câu 2, ý 2 dành cho bạn nào quên BĐT Schur bậc 4.

Đặt $\sqrt{a}=x,\sqrt{b}=y,\sqrt{c}=z$ thì BĐT thứ hai chính là:
\[\begin{align}
& ({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}})(xy+yz+zx)+{{({{x}^ {2}}-{{y}^{2}})}^{2}}+{{({{y}^{2}}-{{z}^{2}})}^{2}}+{{({{z}^{2}}-{{x}^{2}})}^{2}}\ge {{({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}})}^{2}} \\
& \Leftrightarrow {{({{x}^{2}}-{{y}^{2}})}^{2}}+{{({{y}^{2}}-{{z}^{2}})}^{2}}+{{({{z}^{2}}-{{x}^{2}})}^{2}}\ge ({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}})\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-xy-yz-zx \right) \\
& \Leftrightarrow {{(x-y)}^{2}}{{(x+y)}^{2}}+{{(y-z)}^{2}}{{(y+z)}^{2}}+{{(z-x)}^{2}}{{(z+x)}^{2}} \\
& \ge \frac{1}{2}({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}})\left( {{(x-y)}^{2}}+{{(y-z)}^{2}}+{{(z-x)}^{2}} \right) \\
& \Leftrightarrow \sum{{{(x-y)}^{2}}\left( 2{{(x+y)}^{2}}-({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}) \right)}\ge 0 \\
& \Leftrightarrow \sum{{{(x-y)}^{2}}\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+4xy-{{z}^{2}} \right)}\ge 0 \\
\end{align}\]
Giả sử $x\ge y\ge z$ thì rõ ràng $\left\{ \begin{align}
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+4xy-{{z}^{2}}\ge 0 \\
& {{z}^{2}}+{{x}^{2}}+4zx-{{y}^{2}}\ge 0 \\
\end{align} \right.$ . Ta có \[\left| y-z \right|\le \left| x-z \right|\Rightarrow {{(y-z)}^{2}}\le {{(x-z)}^{2}}\] nên ta có
\[{{(z-x)}^{2}}\left( {{z}^{2}}+{{x}^{2}}+4zx-{{y}^{2}} \right)+{{(y-z)}^{2}}\left( {{y}^{2}}+{{z}^{2}}+4yz-{{x}^{2}} \right)\ge {{(y-z)}^{2}}(2{{z}^{2}}+4zx+4yz)\] và $${{(x-y)}^{2}}({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+4xy-{{z}^{2}})\ge 0.$$ Do đó, ta có đpcm.

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z$ hoặc $x=y, z=0$ và các hoán vị.

Tarantallegra · 08-01-2015, 12:30 PM

Có ai giải ý a bài 1 bằng Lagrange không ạ?

haojack123 · 08-01-2015, 12:27 PM

Vì $n\le {{10}^{k}}$ nên suy ra $n=\overline{{{a}_{1}}{{a}_{2}}...{{a}_{k}}}$ với ${{a}_{i}}\in \left\{ 2,1,0,5 \right\}.$
Ta có $n\vdots 3\Leftrightarrow {{a}_{1}}+{{a}_{2}}+...+{{a}_{k}}\vdots 3.$
Gọi ${{A}_{k}}$ là số tập $\left( {{a}_{1}},{{a}_{2}},...,{{a}_{k}} \right)$ với ${{a}_{i}}\in \left\{ 2,1,0,5 \right\}$ mà $\sum\limits_{i=}^{k}{{{a}_{i}}\equiv 1\left( \bmod 3 \right).}$
Gọi ${{B}_{k}}$ là số tập $\left( {{a}_{1}},{{a}_{2}},...,{{a}_{k}} \right)$ với ${{a}_{i}}\in \left\{ 2,1,0,5 \right\}$ mà $\sum\limits_{i=}^{k}{{{a}_{i}}\equiv 2\left( \bmod 3 \right).}$
Gọi ${{C}_{k}}$ là số tập $\left( {{a}_{1}},{{a}_{2}},...,{{a}_{k}} \right)$ với ${{a}_{i}}\in \left\{ 2,1,0,5 \right\}$ mà $\sum\limits_{i=}^{k}{{{a}_{i}}\equiv 0\left( \bmod 3 \right).}$
Ứng với một tập con của ${{C}_{k}}$ thì ta được một số tự nhiên $n$ thoả mãn bài toán.
Khi đó số các số tự nhiên cần tìm là ${{C}_{k}}.$
Ngoài ra ta có: ${{A}_{1}}=1,{{A}_{2}}=4,{{B}_{1}}=2,{{B}_{2}}=4,{ {C}_{1}}=1,{{C}_{2}}=4.$
Lại có: \[\left\{ \begin{align}
& {{C}_{k}}=2{{A}_{k-1}}+{{B}_{k-1}}+{{C}_{k-1}} \\
& {{A}_{k}}={{A}_{k-1}}+2{{B}_{k-1}}+{{C}_{k-1}} \\
& {{B}_{k}}={{A}_{k-1}}+{{B}_{k-1}}+2{{C}_{k-1}} \\
\end{align} \right.\]
Suy ra: \[{{C}_{k}}={{C}_{k-3}}+3\left( {{4}^{k-2}}+{{4}^{k-3}}+{{4}^{k-4}} \right)\]

**Nguyen Van Linh** · 08-01-2015, 12:34 PM

Bài hình có thể tổng quát:
Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O).$ $(O_1)$ là đường tròn bất kì qua $B,C$. . Một đường tròn $\omega$ thay đổi cắt $BC$ tại $M,N$, cắt $(O_1)$ tại $P,Q$. Đường tròn đi qua $P,Q$ và tiếp xúc với $(O)$ tại $T$. Khi đó phân giác $\angle MTN$ luôn đi qua trung điểm cung $BC$ không chứa $A.$

BlackSelena · 08-01-2015, 12:32 PM

Câu a bài hình chỉ cần chú ý với mọi $(I)$, nếu gọi giao điểm của $(I)$ với $BE, CF$ là $X,Y$ thì có $XY \parallel BC$.
Câu b mình làm không khác mấy anh LTL ở trên.
P/s: ai làm câu b bài dãy đi

hoathuy21990 · 08-01-2015, 12:33 PM

Bất đẳng thức có vẻ nhẹ nhàng hơn năm trước

**quocbaoct10** · 08-01-2015, 12:51 PM

Câu dãy có vẻ có thể mở rộng ra với mọi giá trị $a$. Viết lại được thành:
$u_{n+1}=\frac{u_n}{2}+\frac{1}{4+\frac{a}{n^2}}. \sqrt{u_n^2+3}$.
vì $\lim_{n \to +\inf} \frac{a}{n^2}=0$ nên từ đó có thể suy ra rằng dãy số ở câu b đến một lúc nào đó sẽ thành dãy số như ở câu a, và dãy này thì luôn có giới hạn.

tuankietpq · 08-01-2015, 12:51 PM

Đi thi hsg quốc gia có được dùng hàm sinh không?

**quocbaoct10** · 08-01-2015, 02:04 PM

Trích:

Nguyên văn bởi tuankietpq

Đi thi hsg quốc gia có được dùng hàm sinh không?

Không bạn nhé.

analysis90 · 08-01-2015, 03:39 PM

Trích:

Nguyên văn bởi quocbaoct10

Không bạn nhé.

Em có thể giải thích tại sao không? nó chỉ đơn thuần là bài toán về đa thức và số phức. Bài tổ hợp này thực chất là bài tổ hợp mà trường PTNK đã từng cho thi và cũng là bài tổ hợp của Romani năm 2003.

08-01-2015, 12:12 PM	#3
lupanh7 +Thành Viên+ Tham gia ngày: Jul 2011 Bài gởi: 10 Thanks: 7 Thanked 6 Times in 3 Posts	Bài 3 làm truy hồi cũng không khó lắm Kết quả là: $\frac{4^K-1}{3}+1$ nếu K chia hết cho 3 $\frac{4^K-1}{3}$ nếu K không chia hết cho 3 thay đổi nội dung bởi: lupanh7, 08-01-2015 lúc 12:45 PM

08-01-2015, 12:47 PM	#6
huynhcongbang Administrator Tham gia ngày: Feb 2009 Đến từ: Ho Chi Minh City Bài gởi: 2,413 Thanks: 2,165 Thanked 4,188 Times in 1,381 Posts	Câu 3 tổ hợp theo mình nghĩ thì nếu ai học về đếm bằng truy hồi thì cũng đã từng gặp bài tương tự rồi. Ở đây tuy đề có yêu cầu số chữ số không vượt quá $K$ nhưng may mắn là trong các số cần lập thì có số 0. Điều này cho phép ta đưa về bài toán: Đếm số các bộ số có thứ tự có đúng $K$ số, có tổng chia hết cho 3 và có các chữ số là $\{ 2, 0, 1, 5 \}$ () Chú ý rằng cách đếm trên có thể có các chữ số 0 đứng đầu và thông qua đó, ta đã gián tiếp đếm các số có ít hơn $K$ chữ số. Cách của bạn haojack123 vậy là ổn rồi, nhưng mình nghĩ là nên rút gọn ra đến kết quả cuối cùng luôn, do đó đều là các tổng của các cấp số nhân đơn giản. Câu 2, ý 2 dành cho bạn nào quên BĐT Schur bậc 4. Đặt $\sqrt{a}=x,\sqrt{b}=y,\sqrt{c}=z$ thì BĐT thứ hai chính là: \[\begin{align} & ({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}})(xy+yz+zx)+{{({{x}^ {2}}-{{y}^{2}})}^{2}}+{{({{y}^{2}}-{{z}^{2}})}^{2}}+{{({{z}^{2}}-{{x}^{2}})}^{2}}\ge {{({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}})}^{2}} \\ & \Leftrightarrow {{({{x}^{2}}-{{y}^{2}})}^{2}}+{{({{y}^{2}}-{{z}^{2}})}^{2}}+{{({{z}^{2}}-{{x}^{2}})}^{2}}\ge ({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}})\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-xy-yz-zx \right) \\ & \Leftrightarrow {{(x-y)}^{2}}{{(x+y)}^{2}}+{{(y-z)}^{2}}{{(y+z)}^{2}}+{{(z-x)}^{2}}{{(z+x)}^{2}} \\ & \ge \frac{1}{2}({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}})\left( {{(x-y)}^{2}}+{{(y-z)}^{2}}+{{(z-x)}^{2}} \right) \\ & \Leftrightarrow \sum{{{(x-y)}^{2}}\left( 2{{(x+y)}^{2}}-({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}) \right)}\ge 0 \\ & \Leftrightarrow \sum{{{(x-y)}^{2}}\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+4xy-{{z}^{2}} \right)}\ge 0 \\ \end{align}\] Giả sử $x\ge y\ge z$ thì rõ ràng $\left\{ \begin{align} & {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+4xy-{{z}^{2}}\ge 0 \\ & {{z}^{2}}+{{x}^{2}}+4zx-{{y}^{2}}\ge 0 \\ \end{align} \right.$ . Ta có \[\left\| y-z \right\|\le \left\| x-z \right\|\Rightarrow {{(y-z)}^{2}}\le {{(x-z)}^{2}}\] nên ta có \[{{(z-x)}^{2}}\left( {{z}^{2}}+{{x}^{2}}+4zx-{{y}^{2}} \right)+{{(y-z)}^{2}}\left( {{y}^{2}}+{{z}^{2}}+4yz-{{x}^{2}} \right)\ge {{(y-z)}^{2}}(2{{z}^{2}}+4zx+4yz)\] và $${{(x-y)}^{2}}({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+4xy-{{z}^{2}})\ge 0.$$ Do đó, ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z$ hoặc $x=y, z=0$ và các hoán vị. __________________ Sự im lặng của bầy mèo thay đổi nội dung bởi: huynhcongbang, 08-01-2015 lúc 01:33 PM*

08-01-2015, 12:34 PM	#9
Nguyen Van Linh Moderator Tham gia ngày: Aug 2009 Đến từ: Hà Nội Bài gởi: 277 Thanks: 69 Thanked 323 Times in 145 Posts	Bài hình có thể tổng quát: Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O).$ $(O_1)$ là đường tròn bất kì qua $B,C$. . Một đường tròn $\omega$ thay đổi cắt $BC$ tại $M,N$, cắt $(O_1)$ tại $P,Q$. Đường tròn đi qua $P,Q$ và tiếp xúc với $(O)$ tại $T$. Khi đó phân giác $\angle MTN$ luôn đi qua trung điểm cung $BC$ không chứa $A.$ thay đổi nội dung bởi: Nguyen Van Linh, 08-01-2015 lúc 12:40 PM

08-01-2015, 12:51 PM	#12
quocbaoct10 +Thành Viên Danh Dự+ Tham gia ngày: Oct 2012 Đến từ: THPT chuyên Lê Quý Đôn-Nha Trang-Khánh Hòa Bài gởi: 539 Thanks: 292 Thanked 365 Times in 217 Posts	Câu dãy có vẻ có thể mở rộng ra với mọi giá trị $a$. Viết lại được thành: $u_{n+1}=\frac{u_n}{2}+\frac{1}{4+\frac{a}{n^2}}. \sqrt{u_n^2+3}$. vì $\lim_{n \to +\inf} \frac{a}{n^2}=0$ nên từ đó có thể suy ra rằng dãy số ở câu b đến một lúc nào đó sẽ thành dãy số như ở câu a, và dãy này thì luôn có giới hạn. __________________ i'll try my best.

08-01-2015, 12:51 PM	#13
tuankietpq +Thành Viên+ Tham gia ngày: Jul 2014 Đến từ: Trên mặt đất, dưới mặt trời Bài gởi: 220 Thanks: 48 Thanked 118 Times in 80 Posts	Đi thi hsg quốc gia có được dùng hàm sinh không? __________________ Kẻ mạnh đôi khi không phải là kẻ chiến thắng mà kẻ chiến thắng mới là kẻ mạnh.

08-01-2015, 12:30 PM	#7
Tarantallegra +Thành Viên+ Tham gia ngày: Mar 2014 Bài gởi: 1 Thanks: 0 Thanked 0 Times in 0 Posts	Có ai giải ý a bài 1 bằng Lagrange không ạ?

08-01-2015, 12:27 PM	#8
haojack123 +Thành Viên+ Tham gia ngày: Jun 2013 Bài gởi: 7 Thanks: 6 Thanked 23 Times in 6 Posts	Vì $n\le {{10}^{k}}$ nên suy ra $n=\overline{{{a}_{1}}{{a}_{2}}...{{a}_{k}}}$ với ${{a}_{i}}\in \left\{ 2,1,0,5 \right\}.$ Ta có $n\vdots 3\Leftrightarrow {{a}_{1}}+{{a}_{2}}+...+{{a}_{k}}\vdots 3.$ Gọi ${{A}_{k}}$ là số tập $\left( {{a}_{1}},{{a}_{2}},...,{{a}_{k}} \right)$ với ${{a}_{i}}\in \left\{ 2,1,0,5 \right\}$ mà $\sum\limits_{i=}^{k}{{{a}_{i}}\equiv 1\left( \bmod 3 \right).}$ Gọi ${{B}_{k}}$ là số tập $\left( {{a}_{1}},{{a}_{2}},...,{{a}_{k}} \right)$ với ${{a}_{i}}\in \left\{ 2,1,0,5 \right\}$ mà $\sum\limits_{i=}^{k}{{{a}_{i}}\equiv 2\left( \bmod 3 \right).}$ Gọi ${{C}_{k}}$ là số tập $\left( {{a}_{1}},{{a}_{2}},...,{{a}_{k}} \right)$ với ${{a}_{i}}\in \left\{ 2,1,0,5 \right\}$ mà $\sum\limits_{i=}^{k}{{{a}_{i}}\equiv 0\left( \bmod 3 \right).}$ Ứng với một tập con của ${{C}_{k}}$ thì ta được một số tự nhiên $n$ thoả mãn bài toán. Khi đó số các số tự nhiên cần tìm là ${{C}_{k}}.$ Ngoài ra ta có: ${{A}_{1}}=1,{{A}_{2}}=4,{{B}_{1}}=2,{{B}_{2}}=4,{ {C}_{1}}=1,{{C}_{2}}=4.$ Lại có: \[\left\{ \begin{align} & {{C}_{k}}=2{{A}_{k-1}}+{{B}_{k-1}}+{{C}_{k-1}} \\ & {{A}_{k}}={{A}_{k-1}}+2{{B}_{k-1}}+{{C}_{k-1}} \\ & {{B}_{k}}={{A}_{k-1}}+{{B}_{k-1}}+2{{C}_{k-1}} \\ \end{align} \right.\] Suy ra: \[{{C}_{k}}={{C}_{k-3}}+3\left( {{4}^{k-2}}+{{4}^{k-3}}+{{4}^{k-4}} \right)\]

08-01-2015, 12:32 PM	#10
BlackSelena +Thành Viên+ Tham gia ngày: Aug 2012 Bài gởi: 40 Thanks: 22 Thanked 18 Times in 14 Posts	Câu a bài hình chỉ cần chú ý với mọi $(I)$, nếu gọi giao điểm của $(I)$ với $BE, CF$ là $X,Y$ thì có $XY \parallel BC$. Câu b mình làm không khác mấy anh LTL ở trên. P/s: ai làm câu b bài dãy đi

08-01-2015, 12:33 PM	#11
hoathuy21990 +Thành Viên+ Tham gia ngày: Apr 2014 Bài gởi: 18 Thanks: 4 Thanked 6 Times in 6 Posts	Bất đẳng thức có vẻ nhẹ nhàng hơn năm trước