|
|
|
Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé ! * Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope * Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây |
| Ðiều Chỉnh | Xếp Bài |
|
04-01-2014, 11:47 AM | #1 |
Administrator | [VMO 2014] Bài 5 - Hình học phẳng Bài 5. (7 điểm) Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$, trong đó $BC$cố định và $A$ thay đổi trên $(O)$. Trên các tia $AB,AC$ lấy lần lượt các điểm $M$ và $N$ sao cho $MA=MC$ và $NA=NB$. Các đường tròn ngoại tiếp $AMN,ABC$ cắt nhau tại $P$ khác $A$. Đường thẳng $MN$ cắt $BC$ tại $Q$. a. Chứng minh $A,P,Q$ thẳng hàng. b. Gọi $D$ là trung điểm $BC$. Các đường tròn có tâm $M,N$ cùng đi qua $A$ cắt nhau tại $K$ khác $A$. Đường thẳng đi qua $A$ và vuông góc với $AK$ cắt $BC$ tại $E$. Đường tròn ngoại tiếp $ADE$ cắt $(O)$ tại $F$ khác $A$. Chứng minh $AF$ đi qua một điểm cố định. __________________ Sự im lặng của bầy mèo |
The Following 2 Users Say Thank You to huynhcongbang For This Useful Post: | liverpool29 (04-01-2014), thaygiaocht (04-01-2014) |
04-01-2014, 11:49 AM | #2 |
+Thành Viên+ | Phần a thì dễ rồi. Phần b thì $AF$ chính là đường đối trung nên nó đồng quy với 2 tiếp tuyến của $(O)$ tại $B$ và $C$ Vì em ngu si, lòng đã không suy nghĩ |
04-01-2014, 12:11 PM | #4 |
Moderator Tham gia ngày: Aug 2009 Đến từ: Hà Nội Bài gởi: 277 Thanks: 69 Thanked 323 Times in 145 Posts | Câu hình ngày 2 khá đơn giản. a) $\angle ABN=\angle BAN=\angle ACM$ nên tứ giác $MBNC$ nội tiếp. Từ đó $QB.QC=QN.QM$ hay $Q$ nằm trên trục đẳng phương của $(AMN)$ và $(ABC).$ b) Tứ giác $BMCN$ nội tiếp nên $MN$ là đường đối song ứng với $BC$, suy ra $MN\perp AO$. Như vậy $(AED)$ là đường tròn đường kính $EO$. Suy ra $ABFC$ là tứ giác điều hòa, suy ra $AF$ đi qua giao của 2 tiếp tuyến tại $B$ và $C.$ thay đổi nội dung bởi: Nguyen Van Linh, 04-01-2014 lúc 04:53 PM |
The Following 2 Users Say Thank You to Nguyen Van Linh For This Useful Post: | huynhcongbang (04-01-2014), thaygiaocht (08-01-2015) |
04-01-2014, 12:15 PM | #5 |
Administrator | Up cái hình cho rõ. __________________ Sự im lặng của bầy mèo thay đổi nội dung bởi: huynhcongbang, 04-01-2014 lúc 12:18 PM |
04-01-2014, 12:13 PM | #6 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Aug 2012 Đến từ: Chuyên Hà Tĩnh Bài gởi: 165 Thanks: 793 Thanked 216 Times in 93 Posts | Trích:
Chú ý: Khi trình bày nên dùng góc định hướng đỡ phụ thuộc hình vẽ. b) Mấu chốt ý này chính là $AK$ đi qua $O$ nên $AE$ là tiếp tuyến. Tác giả đã ghép cơ học 2 bài lại với nhau. Mấu chốt ý sau là tứ giác $ABFC$ điều hòa, cái này khá quen thuộc (chú ý 5 điểm A,B,F,D,O đồng viên). __________________ https://www.facebook.com/thaygiaocht thay đổi nội dung bởi: thaygiaocht, 04-01-2014 lúc 12:45 PM | |
The Following User Says Thank You to thaygiaocht For This Useful Post: | huynhcongbang (04-01-2014) |
04-01-2014, 12:44 PM | #7 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Feb 2012 Đến từ: vật chất->sự sống->tư duy->cảm xúc->??? Bài gởi: 210 Thanks: 102 Thanked 179 Times in 90 Posts | Trời đất ơi. Em chứng minh được $ A, K, O$ thẳng hàng và $AK \perp MN$ rồi không biết làm gì tiếp __________________ Touch me touch me, don't be shy I'm in charge like a G.U.Y. I'll lay down face up this time Under you like a G.U.Y. thay đổi nội dung bởi: hakudoshi, 04-01-2014 lúc 01:04 PM |
The Following User Says Thank You to hakudoshi For This Useful Post: | thaygiaocht (04-01-2014) |
04-01-2014, 12:48 PM | #8 |
+Thành Viên+ | Câu b, Dễ thấy $O$ là trực tâm tam giác $AMN$ nên $AO \perp MN$. Mà $AK$ là trục đẳng phương của $(M)$ và $(N)$ nên $AK \perp MN$ Suy ra $O \in AK$ Từ đó suy ra tứ giác $AODE$ nội tiếp. Vẽ đường tròn $(U)$ bán kính $OC$. Vì tam giác $ODC$ vuông tại $D$ nên $D \in (U)$. Cũng có $(U)$ tiếp xúc trong với $(O)$ nên tiếp tuyến của $(O)$ tại $C$ là trục đẳng phương của $(O)$ và $(U)$. Xét 3 đường tròn $(ADO),(O),(U)$ suy ra $AF, OD, CC$ đồng quy. Suy ra đpcm |
The Following User Says Thank You to hansongkyung For This Useful Post: | huynhcongbang (04-01-2014) |
04-01-2014, 12:49 PM | #9 |
+Thành Viên+ | Bài này cần góc định hướng nữa hả thầy Luật? Em chỉ nêu là tứ giác BMNC nội tiếp rồi ra luôn chứ ko xài GĐH. __________________ http://www.facebook.com/giangnam.luu.9?ref=tn_tnmn |
The Following User Says Thank You to luugiangnam For This Useful Post: | thaygiaocht (04-01-2014) |
04-01-2014, 12:52 PM | #10 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Aug 2012 Đến từ: Chuyên Hà Tĩnh Bài gởi: 165 Thanks: 793 Thanked 216 Times in 93 Posts | Viết "Các trường hợp khác chứng minh tương tự" cũng được. Trường hợp M, N nằm trên cạnh của tam giác có thể góc bằng sẽ thay đổi thành bù và ngược lại. __________________ https://www.facebook.com/thaygiaocht |
The Following User Says Thank You to thaygiaocht For This Useful Post: | hakudoshi (04-01-2014) |
04-01-2014, 02:11 PM | #11 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Feb 2012 Đến từ: vật chất->sự sống->tư duy->cảm xúc->??? Bài gởi: 210 Thanks: 102 Thanked 179 Times in 90 Posts | Trích:
$(CM,CN) \equiv (BA,BN) \equiv (BM,BN) \pmod \pi$ __________________ Touch me touch me, don't be shy I'm in charge like a G.U.Y. I'll lay down face up this time Under you like a G.U.Y. | |
The Following User Says Thank You to hakudoshi For This Useful Post: | thaygiaocht (04-01-2014) |
04-01-2014, 02:59 PM | #12 |
+Thành Viên+ | |
04-01-2014, 02:07 PM | #13 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Jul 2012 Đến từ: THPT Chuyên Thoại Ngọc Hầu, AG Bài gởi: 188 Thanks: 190 Thanked 80 Times in 55 Posts | Có thể dùng luôn tính chất tứ giác điều hòa mà không chứng minh lại được không nhỉ? __________________ Chuyến tàu đã dừng lại. |
04-01-2014, 03:04 PM | #14 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Oct 2013 Bài gởi: 55 Thanks: 1 Thanked 13 Times in 8 Posts | |
The Following User Says Thank You to hoca For This Useful Post: | thaygiaocht (04-01-2014) |
04-01-2014, 05:42 PM | #15 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Dec 2011 Bài gởi: 5 Thanks: 0 Thanked 1 Time in 1 Post | VMO_bài 5 Ta có $OA = OC, MA = MC$ nên $MO \perp AC$ do đó $MO \perp AN.$ Tương tự ta có $NO \perp AB$ do đó $NO \perp AM.$ Tam giác $AMN$ có $O$ là trực tâm nên $AO \perp MN.$ Ta lại có $MA = MK, NA = NK$ nên $AK \perp MN$ Vì vậy, $A, O, K$ thẳng hàng. Do $\angle OAE = \angle ODE = 90^0$ nên đường tròn $(ADE)$ nhận $OE$ làm đường kính. Vì hai giao điểm $A, F$ đối xứng qua $EO$ nên từ $AE \perp AK$ ta suy ra $AE \perp AO$ hay $EA$ tiếp xúc $(O)$ thì ta cũng có $EF$ tiếp xúc $(O).$ Điều này cho ta, so với đường tròn $(O)$, $AF$ là đối cực của $E.$ Cực của $AF$ là $E$ thuộc $BC$ thì cực của $BC$ là $G$ thuộc $AF$ Do $BC$ cố định nên $G$ cố định vì thế $AF$ đi qua $G$ cố định. thay đổi nội dung bởi: vinhhai, 04-01-2014 lúc 11:25 PM |
Bookmarks |
|
|