Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Lý Thuyết Số

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 07-02-2018, 03:46 AM   #1
tuan_quangtrung
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Aug 2017
Bài gởi: 3
Thanks: 0
Thanked 0 Times in 0 Posts
Một bài toán về dãy Lucas

Cho số nguyên tố $p>3$ và dãy Lucas $\left\{L_n\right\}_{n=0}^{\infty}$, xác đinh bởi $L_0=2,\,L_1=1$ và
\[{L_{n + 2}} = {L_{n + 1}} + {L_n}\quad\forall\,n\in\mathbb N. \]
Chứng minh rằng $p\mid L_p-1.$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
tuan_quangtrung is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 08-02-2018, 12:31 PM   #2
muaxl2xo
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Jan 2018
Bài gởi: 12
Thanks: 0
Thanked 3 Times in 3 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi tuan_quangtrung View Post
Cho số nguyên tố $p>3$ và dãy Lucas $\left\{L_n\right\}_{n=0}^{\infty}$, xác đinh bởi $L_0=2,\,L_1=1$ và
\[{L_{n + 2}} = {L_{n + 1}} + {L_n}\quad\forall\,n\in\mathbb N. \]
Chứng minh rằng $p\mid L_p-1.$
Ta biết công thức tổng quát của dãy Lucas: $$L_{n} = \left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)^{n} +\left(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right)^{n}.$$Suy ra:$$2^{n}.L_{n} = (1 + \sqrt{5})^{n} + (1 - \sqrt{5})^{n}$$
Theo khai triển Newton ta có $$(1 + \sqrt{5})^{n} = \binom{n}{0} + \binom{n}{1}\sqrt{5} + \binom{n}{2}\sqrt{5}^{2} + ... + \binom{n}{n-1}\sqrt{5}^{n-1} + \binom{n}{n}\sqrt{5}^{n}$$
Và đồng thời
$$(1 - \sqrt{5})^{n} = \binom{n}{0} + \binom{n}{1}(-\sqrt{5}) + \binom{n}{2}(-\sqrt{5})^{2} + ... + \binom{n}{n-1}(-\sqrt{5})^{n-1} + \binom{n}{n}(-\sqrt{5})^{n}.$$Cộng 2 tổng trên thì các số mũ lẻ sẽ triệt tiêu nhau, các số mũ chẵn bằng nhau nên gấp đôi. Vậy:
$$2^{n}L_{n} = 2\left( \binom{n}{0} + \binom{n}{2}(\sqrt{5})^{2} + \binom{n}{4}(\sqrt{5})^{4} + ... + \binom{n}{2\left \lfloor n/2 \right \rfloor}(\sqrt{5})^{2\left \lfloor n/2 \right \rfloor} \right).$$
Hay với $n > 0$ thì:
$$2^{n-1}.L_{n} = \binom{n}{0} + \binom{n}{2}5 + \binom{n}{4}5^{2} + ... + \binom{n}{2\left \lfloor n/2 \right \rfloor}(5)^{\left \lfloor n/2 \right \rfloor} .$$Với $p$ nguyên tố lẻ ta có:
$$2^{p-1}.L_{p} = \binom{p}{0} + \binom{p}{2}5 + \binom{p}{4}5^{2} + ... + \binom{p}{2\left \lfloor p/2 \right \rfloor}(5)^{\left \lfloor p/2 \right \rfloor} .$$
Với $0 < k < p$ thì $\dbinom{p}{k} = \dfrac{(p-k+1)(p-k+2)...(p)}{k!} $ luôn chia hết cho $p$ (do $p$ nguyên tố). Vậy $2^{p-1}.L_{p} \equiv 1 (mod p)$, mà theo định lý nhỏ Fermat cho ta $$2^{p-1} \equiv 1 (\mod p).$$ Kết hợp lại ta có điều phải chứng minh.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: muaxl2xo, 08-02-2018 lúc 12:43 PM Lý do: k hien thi dc
muaxl2xo is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 04:43 PM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 41.67 k/45.44 k (8.30%)]