Chứng minh BĐT

[mcprolatui]

Với a,b,c > 0. thỏa $abc = 1 $. cmr: $\frac{1}{a^{2}(b + c)} + \frac{1}{b^{2}(c + a)} + \frac{1}{c^{2} (a + b)} \geq \frac{3}{2} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[soros_fighter]

Nguyên văn bởi mcprolatui

Với a,b,c > 0. thỏa $abc = 1 $. cmr: $\frac{1}{a^{2}(b + c)} + \frac{1}{b^{2}(c + a)} + \frac{1}{c^{2} (a + b)} \geq \frac{3}{2} $

Đặt $\frac{1}{a}=x ; \; \frac{1}{b}=y ; \; \frac{1}{c}=z $
$VT=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y} \geq \frac{x+y+z}{2}\geq \frac{3}{2} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[haimap27]

Nguyên văn bởi mcprolatui

Với a,b,c > 0. thỏa $abc = 1 $. cmr: $\frac{1}{a^{2}(b + c)} + \frac{1}{b^{2}(c + a)} + \frac{1}{c^{2} (a + b)} \geq \frac{3}{2} $

$VT=\sum \frac{b^2c^2}{b + c}\ge \frac{(ab+bc+ca)^2}{2a+2b+2c}\ge \frac{3abc(a+b+c)}{2a+2b+2c}=\frac{3}{2} $
------------------------------

Nguyên văn bởi soros_fighter

Đặt $\frac{1}{a}=x ; \frac{1}{b}=y ; \frac{1}{c}=z $
$VT=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y} $

Bạn chỉ giúp mình phần biến đổi này với, mình loay hoay nãy giờ mà chưa ra
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[casio]

Nguyên văn bởi haimap27

$VT=\sum \frac{b^2c^2}{b + c}\ge \frac{(ab+bc+ca)^2}{2a+2b+2c}\ge \frac{3abc(a+b+c)}{2a+2b+2c}=\frac{3}{2} $
------------------------------


Bạn chỉ giúp mình phần biến đổi này với, mình loay hoay nãy giờ mà chưa ra

Biến đổi như vậy nè bạn :
Áp dụng bất đẳng thức phụ:

$x^2+y^2+z^2 \ge xy+yz+zx $

Ta có $(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2 \ge ab^2c+a^2bc+abc^2 \Leftrightarrow (ab+bc+ca)^2 \ge 3ab^2c+3a^2bc+3abc^2 $
$\Leftrightarrow (ab+bc+ca)^2 \ge 3abc(a+b+c) $

Từ đó làm tiếp cách làm của bạn soros_fighter là ra.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[tungminh159]

$\sum{\frac{a^2b^2}{a+b} \geq \frac{(ab+bc+ac)^2}{2a+2b+2c} $
giúp minh với nãy h ko ra. thank
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[casio]

Nguyên văn bởi tungminh159

$\sum{\frac{a^2b^2}{a+b} \geq \frac{(ab+bc+ac)^2}{2a+2b+2c} $
giúp minh với nãy h ko ra. thank

Cái bài này dùng Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz đó bạn !
$\sum \frac{a^2}{b} \ge \frac{(\sum a)^2}{\sum b} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[tuan89dnu]

Đặt $\frac{1}{a}=x ; \; \frac{1}{b}=y ; \; \frac{1}{c}=z $
$VT=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y} \geq \frac{x+y+z}{2}\geq \frac{3}{2} $
biến đổi như vậy có đúng chưa nè:$\dfrac{1}{b+c}=\dfrac{yz}{y+z}$ chứ bạn
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]