Ôn tập Tổ Hợp

daylight · 17-08-2010, 08:31 AM

1.Chứng minh rằng một đa giác là đa giác lồi khi và chỉ khi $4 $ điểm bất kì của chúng tạo thành một tứ giác lồi.

2.Trên mặt phẳng cho trước $5 $ điểm sao cho không có $3 $ điểm nào thẳng hàng. Chứng minh rằng có thể chọn ra trong chúng $4 $ điểm là đỉnh của $1 $ tứ giác lồi.

3.Trên mặt phẳng cho trước $n \ge 5 $ điểm trong đó không có $3 $ điểm nào thẳng hàng . Chứng minh rằng tồn tại ít nhất $C^2_{n-3} $ tứ giác lồi mà các đỉnh của chúng là $4 $ điểm trong n điểm đã cho

4.Trên mặt phẳng cho một số hữu hạn điểm. Chứng minh rằng luôn tìm được một điểm sao cho gần nó nhất có không quá $3 $ điểm đã cho.

5.Trên mặt bàn đặt $n $ hình vuông bằng cát-tông và $n $ hình vuông bằng nhựa sao cho các hình vuông cùng loại bằng cát-tông (cũng như các hình vuông cùng bằng nhựa) đôi một có điểm chung. Sau khi xếp chúng lên mặt bàn , người ta nhận xét tập đỉnh hình vuông bằng nhựa hoàn toàn trùng với tập đỉnh hình vuông bằng cát-tông.
Hãy chứng minh rằng các hình vuông bằng cát-tông được đặt trùng hoàn toàn với các hình vuông bằng nhựa.

các anh giúp em với

daylight · 17-08-2010, 10:01 AM

6.Chứng minh rằng 1 tam giác có các đỉnh nguyên và chỉ có duy nhất 1
điểm nguyên bên trong thì điểm đó là trọng tâm.

7.Trên mặt phẳng 5 điểm nguyên , chứng minh rằng có thể chọn ra 2 điểm nguyên sao cho đoạn thẳng nối 2 điểm này đi qua 1 điểm nguyên nào đó.

8.Chứng minh rằng trong một ngũ giác lồi nguyên luôn tồn tại ít nhất 1 điểm nguyên bên trong
------------------------------
9. Hãy tính diện tích của ngũ giác lồi nguyên nhỏ nhất có thể

10.Cho dãy 19 số nguyên dương không quá 93 và dãy nguyên dương 93 số không quá 19.Chứng minh rằng có thể trích ra 2 dãy con từ 2 dãy ban đầu có tổng các số hạng bằng nhau.

shido_soichua · 17-08-2010, 02:15 PM

Trích:

Nguyên văn bởi daylight

1.Chứng minh rằng một đa giác là đa giác lồi khi và chỉ khi $4 $ điểm bất kì của chúng tạo thành một tứ giác lồi.

Phản chứng giả sử tồn tại 1 tứ giác không phải là tứ giác lồi thì tồn tại 1 góc lớn hơn 180 độ .Trong đa giác thì tồn tại góc lớn hơn hoặc bằng góc này nên nó không là đa giác lồi.
------------------------------

Trích:

Nguyên văn bởi daylight

2.Trên mặt phẳng cho trước $5 $ điểm sao cho không có $3 $ điểm nào thẳng hàng. Chứng minh rằng có thể chọn ra trong chúng $4 $ điểm là đỉnh của $1 $ tứ giác lồi.

Xét bao lồi của 5 điểm này. Vì không có 3 điểm nào thẳng hang nên bao lồi là 1 đa giác lồi. Nếu đó là tứ giác lồi hoặc ngũ giác lồi ta có điều phải chưng minh.
Nếu đó là tam giác. Nối 1 trong 2 điểm còn lại với 3 đỉnh của tam giác ta được 3 tam giác mới mọt trong 3 tam giác này chứa điểm còn lại. Ta xét 2 tứ giác tạo bởi điểm này với 2 tam giác còn lại sẽ tồn tại 1 tứ giác lồi

Bài 3 giống bài 2 xét 5 điểm bất kì tồn tại 1 tứ giác lồi bỏ 1 trong 4 đỉnh của tứ giác này thay bằng 1 đỉnh khac
------------------------------

Trích:

Nguyên văn bởi daylight

10.Cho dãy 19 số nguyên dương không quá 93 và dãy nguyên dương 93 số không quá 19.Chứng minh rằng có thể trích ra 2 dãy con từ 2 dãy ban đầu có tổng các số hạng bằng nhau.

Chuyên đề tổ hợp của Nguyễn Văn Mậu trang 49
------------------------------

Trích:

Nguyên văn bởi daylight

7.Trên mặt phẳng 5 điểm nguyên , chứng minh rằng có thể chọn ra 2 điểm nguyên sao cho đoạn thẳng nối 2 điểm này đi qua 1 điểm nguyên nào đó.

Xét hoành độ và tung độ của các điểm nguyên, ta thấy trong 5 hoành độ của các điểm này sẽ có ít nhất 3 hoành độ có cùng tính chẵn lẻ, Gọi đó là $x_1,x_2,x_3 $, trong 3 tung độ của các điểm có hoành độ $x_1,x_2,x_3 $ có ít nhất 2 tung độ có cùng tính chẵn lẻ giả sử là $y_1,y_2 $ nên trung điểm đoạn thẳng tạo bởi $(x_1,y_1);(x_2,y_2) $ là điểm nguyên có tọa độ là $\left ( \frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2} \right ) $

shido_soichua · 17-08-2010, 03:22 PM

Trích:

Nguyên văn bởi daylight

8.Chứng minh rằng trong một ngũ giác lồi nguyên luôn tồn tại ít nhất 1 điểm nguyên bên trong

Xét 5 đỉnh ngũ giác là A, B, C, D, E. Khi đó ta có một ngũ giác lồi ABCDE và các điểm nằm trong ABCDE cũng nằm trong đa giác trên.
Trong năm đỉnh A, B, C, D, E phải có hai đỉnh chung một cạnh có tổng các góc ở đỉnh đó > 180 (vì ngược lại thì 6.180 = 2(A+B+C+D+E) = 5.180 vô lí!)
Giả sử đó là A và B, ta có :
$B+A+C_1+E_1 $ suy ra $B+C_1>180 $ hoặc $A+E_1>180 $
Giả sử $B+C_1>180 $, ta kẻ hai tia Ax song song với BC và Ct song song với AB cắt nhau tại I vì $ A+B > 180 $, $B+C_1>180 $ nên Ax nằm trong góc BAE, Ct nằm trong góc BCE A,B,C,E có tọa độ nguyên nên I có tọa đọ nguyên
Đây là hình vẽ

shido_soichua · 17-08-2010, 03:28 PM

Đây là file hình vẽ bài 8

shido_soichua · 17-08-2010, 06:37 PM

Bài 6 mình nghĩ sai đề bài. Ta xét tam giác cân có cạnh đáy là 2 và chiều cao là 2

shido_soichua · 18-08-2010, 07:21 PM

Trích:

Nguyên văn bởi daylight

3.Trên mặt phẳng cho trước $n \ge 5 $ điểm trong đó không có $3 $ điểm nào thẳng hàng . Chứng minh rằng tồn tại ít nhất $C^2_{n-3} $ tứ giác lồi mà các đỉnh của chúng là $4 $ điểm trong n điểm đã cho

các anh giúp em với

Sorry bài 3 mình giải nhầm

17-08-2010, 08:31 AM	#1
daylight +Thành Viên+ Tham gia ngày: Dec 2009 Đến từ: Ha Noi Bài gởi: 551 Thanks: 877 Thanked 325 Times in 188 Posts	Ôn tập Tổ Hợp 1.Chứng minh rằng một đa giác là đa giác lồi khi và chỉ khi $4 $ điểm bất kì của chúng tạo thành một tứ giác lồi. 2.Trên mặt phẳng cho trước $5 $ điểm sao cho không có $3 $ điểm nào thẳng hàng. Chứng minh rằng có thể chọn ra trong chúng $4 $ điểm là đỉnh của $1 $ tứ giác lồi. 3.Trên mặt phẳng cho trước $n \ge 5 $ điểm trong đó không có $3 $ điểm nào thẳng hàng . Chứng minh rằng tồn tại ít nhất $C^2_{n-3} $ tứ giác lồi mà các đỉnh của chúng là $4 $ điểm trong n điểm đã cho 4.Trên mặt phẳng cho một số hữu hạn điểm. Chứng minh rằng luôn tìm được một điểm sao cho gần nó nhất có không quá $3 $ điểm đã cho. 5.Trên mặt bàn đặt $n $ hình vuông bằng cát-tông và $n $ hình vuông bằng nhựa sao cho các hình vuông cùng loại bằng cát-tông (cũng như các hình vuông cùng bằng nhựa) đôi một có điểm chung. Sau khi xếp chúng lên mặt bàn , người ta nhận xét tập đỉnh hình vuông bằng nhựa hoàn toàn trùng với tập đỉnh hình vuông bằng cát-tông. Hãy chứng minh rằng các hình vuông bằng cát-tông được đặt trùng hoàn toàn với các hình vuông bằng nhựa. các anh giúp em với

17-08-2010, 10:01 AM	#2
daylight +Thành Viên+ Tham gia ngày: Dec 2009 Đến từ: Ha Noi Bài gởi: 551 Thanks: 877 Thanked 325 Times in 188 Posts	6.Chứng minh rằng 1 tam giác có các đỉnh nguyên và chỉ có duy nhất 1 điểm nguyên bên trong thì điểm đó là trọng tâm. 7.Trên mặt phẳng 5 điểm nguyên , chứng minh rằng có thể chọn ra 2 điểm nguyên sao cho đoạn thẳng nối 2 điểm này đi qua 1 điểm nguyên nào đó. 8.Chứng minh rằng trong một ngũ giác lồi nguyên luôn tồn tại ít nhất 1 điểm nguyên bên trong ------------------------------ 9. Hãy tính diện tích của ngũ giác lồi nguyên nhỏ nhất có thể 10.Cho dãy 19 số nguyên dương không quá 93 và dãy nguyên dương 93 số không quá 19.Chứng minh rằng có thể trích ra 2 dãy con từ 2 dãy ban đầu có tổng các số hạng bằng nhau. thay đổi nội dung bởi: daylight, 17-08-2010 lúc 10:07 AM Lý do: Tự động gộp bài

17-08-2010, 06:37 PM	#6
shido_soichua Maths is my life Tham gia ngày: Oct 2009 Đến từ: Ninh Bình Bài gởi: 300 Thanks: 31 Thanked 132 Times in 76 Posts	Bài 6 mình nghĩ sai đề bài. Ta xét tam giác cân có cạnh đáy là 2 và chiều cao là 2 __________________ http://luongvantuy.org/forum.php Chuyên Văn - Lương Văn Tụy