|
|
|
Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé ! * Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope * Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây |
| Ðiều Chỉnh | Xếp Bài |
04-12-2011, 10:54 PM | #1 | |||||
Moderator Tham gia ngày: Nov 2009 Bài gởi: 2,849 Thanks: 2,980 Thanked 2,537 Times in 1,008 Posts | Xung quanh bài toán hình học trong kì thi IMO 2011 Chắc hẳn mọi người đã biết đến bài toán số 6 trong kì IMO năm vừa qua. Bài toán hình học duy nhất của cả kì thi, nó được phải biểu như sau Trích:
Và tất nhiên nó ngay lập tức bị tấn công theo nhiều hướng.Mọi người có thể xem lời giải cũng như bình luận về bài toán tại [Only registered and activated users can see links. ]. Hoặc xem lời giải chính thức trong file đính kèm [Only registered and activated users can see links. ] . Theo mình thấy thì có lẽ bài này được xây dựng từ một bài hình trong kì thi toán của Iran (sau khi đọc comment của Naoki Sato trên MathLinks). Với nội dung khá gần, mà chính bài Iran này cũng là một bổ đề đề giải bài toán này. Trích:
Mở rộng 1 (T. Trần Quang Hùng) Trích:
Mở rộng 2 (Nguyễn Văn Linh) Trích:
Trích:
| |||||
The Following 11 Users Say Thank You to n.v.thanh For This Useful Post: |
04-12-2011, 11:02 PM | #2 | |||
Moderator Tham gia ngày: Nov 2009 Bài gởi: 2,849 Thanks: 2,980 Thanked 2,537 Times in 1,008 Posts | Cả ba mở rộng đều được anh Nguyễn Văn Linh viết trong blog của mình kèm theo lời giải của mở rộng 1 và 3. (LTL) [Only registered and activated users can see links. ]. Riêng mở rộng thứ hai được ảnh ý cất kĩ hơn, để dành cho tới kì Mathley Round 3 diễn ra tháng 11 vừa rồi. Mọi người có thể xem đề bài và lời giải trong file đính kèm (Bài 4). Thực sự phải nói mở rộng hai quá đẹp đẽ, sự đối ngẫu giữa các yếu tố trong hình vẽ từ cách phát biểu đến trong lời giải giải. Trong đáp án kì mathley này có hai cách giải, một cách của tác giả,cách thứ hai được gửi bởi bạn Trần Đăng Phúc,11 Toán KHTN, sử dụng một bổ đề và biến đổi góc thuần túy.Sau đây mình xin giới thiệu một lời giải khác của bài 4,mathley round 3,tháng 11 vừa rồi . Đề bài Trích:
Trích:
Quay lại bài toán mở rộng 2. 1. Gọi $A_3,B_3,C_3 $ là giao của $ IA_1,IB_1,IC_1 $ với $(ABC) $. Khi đó $I $ là tâm vị tự biến $(A_1B_1C_1) $ thành $(A_3B_3C_3) $. Gọi $A_4,B_4,C_4 $ là các điểm trên (O) sao cho A là trung điểm cung $A_3A_4 $,B là trung điểm cung $B_3B_4 $,C là trung điểm cung $C_3C_4. $ 2. Gọi X là giao của $BC_{4} $ và $CB_{4} $ .Khi đó $X $ là điểm đối xứng của $X' $ - giao điểm của $BC_{3} $ và $CB_{3} $ Áp dụng định lý Pascal cho lục giác $IB_{4}C_{4}B_3C_3P $ ta có $B_{1},X',C_{1} $ thẳng hàng. Mà $B_{1}C_{1} $ đối xứng nhau qua $BC $ nên $X $ nằm trên $B_{2}C_{2} $ . Gọi T là giao điểm của $B_{2}B_{4} $ với $(ABC) $ .Áp dụng định lý Pascal cho lục giác $TB_4C_4BCQ $ ta có $T,C_{2},C_{4} $ thẳng hàng. Do đó $A_{2}A_{4},B_{2}B_{4},C_{2}C_{4} $ đồng quy tại T nằm trên (O) 3.Mặt khác do (O) và(O') tiếp xúc nhau tại I nên $A_1B_1C_1 $ và $A_3B_3C_3 $ là ảnh của nhau qua phép vị tự tâm I, chúng có cách cạnh song song với nhau Xét góc modulo $180^{o} $ thì $(B_{1}C_{1},B_{2}C_{2})=2(B_{1}C_{1},BC)=2(B_{3}C_ {3},BC) $ và $B_{1}C_{1},B_{4}C_{4})=B_{3}C_{3},B_{4}C_{4}) $ Sử dụng B,C là trung điểm cung $B_{3}B_{4} $ và $C_{3}C_{4} $ ta dễ dàng chỉ ra được rằng $(B_{1}C_{1},B_{2}C_{2})= B_{1}C_{1},B_{4}C_{4}) $ 4. Suy ra hai tam giác $A_{2}B_{2}C_{2},A_{4}B_{4}C_{4} $ có các cạnh tương ứng song song.Từ đó T là tâm vị tự biến tam giác $A_{2}B_{2}C_{2} $ thành tam giác $A_{4}B_{4}C_{4} $.Suy ra phép vị tự tâm T biến $(A_4B_4C_4) $ thành $(A_{2}B_{2}C_{2}) $. Suy ra ngay $(A_2B_2C_2) $ tiếp xúc với $(ABC) $ tại $T $.Chứng minh kết thúc. Phép chứng minh rất đẹp trên là động lực để mình gõ bài viết này. Nhìn lại mình vẫn thấy nó quá đẹp. $AA_1,BB_1,CC_1 $ đồng quy tại P nằm trên (O), $AA_2,BB_2,CC_2 $ cũng đồng quy tại Q trên (O). $(A_1B_1C_1) $ tiếp xúc với $(A_3B_3C_3) $ tại tâm vị tự biến hai tam giác có các cạnh song song thành nhau. Hai tam giác $A_2B_2C_2 $ và $A_4B_4C_4. $ !!! Sau đây là một số kết quả thú vị khác xung quanh bài toán Mathley này.Do anh Linh đề xuất, mọi người cùng thử sức nhé Trích:
"Mấy tháng trôi qua nhưng bài toán vẫn còn rất hot,và tất nhiên là nó chưa dừng lại ở đó " thay đổi nội dung bởi: n.v.thanh, 04-12-2011 lúc 11:24 PM | |||
The Following 14 Users Say Thank You to n.v.thanh For This Useful Post: | asdfghj (05-12-2011), batigoal (04-12-2011), hizact (04-12-2011), hoanghung (05-12-2011), hoangqnvip (19-10-2013), Lan Phuog (04-12-2011), nhox12764 (05-12-2011), nho_ngOx (05-12-2011), OnVMO (04-12-2011), phamtoan (05-12-2011), pvthuan (06-12-2011), soros_fighter (04-12-2011), thephuong (05-12-2011), tuan119 (04-12-2011) |
04-12-2011, 11:19 PM | #3 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Dec 2008 Bài gởi: 993 Thanks: 273 Thanked 666 Times in 422 Posts | Chú Thanh đầu tư nghiên cứu hơi khủng đấy! __________________ $\bf{T}\mathcal{smile} $__________________________________________________ ________________ |
05-12-2011, 03:24 PM | #4 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Dec 2009 Bài gởi: 200 Thanks: 83 Thanked 192 Times in 92 Posts | Thanh bảo để dành làm kỉ niệm học toán nhưng giờ lại post. Điều đó chứng tỏ rằng chưa đến lúc mọi thứ thành kỉ niệm - Thanh đâu rồi đúng không __________________ My Geometry Blog : ) https://tranminhngocctlhp.wordpress.com/ |
05-12-2011, 07:13 PM | #6 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Dec 2009 Bài gởi: 200 Thanks: 83 Thanked 192 Times in 92 Posts | Mình đoán trật lất rồi Thanh nhỉ . Mà có một sự trùng hợp: Đây đều là đề tài nghiên cứu cuối cùng của hai người giỏi hình trên MS trước khi họ đầu tư thi NTU __________________ My Geometry Blog : ) https://tranminhngocctlhp.wordpress.com/ |
The Following User Says Thank You to Tranminhngoc For This Useful Post: | n.v.thanh (05-12-2011) |
05-12-2011, 08:58 PM | #7 |
+Thành Viên Danh Dự+ Tham gia ngày: May 2011 Đến từ: Biên Hòa-Đồng Nai Bài gởi: 862 Thanks: 206 Thanked 503 Times in 295 Posts | Anh Thanh, bữa nào anh thi đại học xong, anh em mình cùng nghiên cứu tiếp vấn đề này, bây giờ em còn sợ anh thi đại học và em còn chuẩn bị thi học kì nữa. __________________ You've set my heart soaring Ma đáng yêu thay đổi nội dung bởi: thephuong, 05-12-2011 lúc 08:59 PM Lý do: Tự động gộp bài |
The Following User Says Thank You to thephuong For This Useful Post: | n.v.thanh (05-12-2011) |
20-07-2012, 08:18 PM | #8 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2010 Bài gởi: 97 Thanks: 144 Thanked 42 Times in 27 Posts | Ai có thời gian thì tiện tay post luôn lời giải các bài mở rộng ở đầu topic cho e tham khảo vs ạ ! Tks. |
Bookmarks |
|
|