Đề đề nghị Olympic 30-4 2012 lớp 10 trường chuyên Trà Vinh

tir · 29-08-2012, 06:42 PM

Mình vừa mới lật quyển tuyển tập cũ ra thì thấy đến tận quý IV mới phát hành sách. Từ đây đến đó còn dài, mọi người tranh thủ chém trước một số đề nhé

Đặc biệt rất mong đề chuyên Lê Hồng Phong và chuyên Lê Quý Đôn - Vũng Tàu

ĐỀ THI ĐỀ NGHỊ OLYMPIC 30-4
MÔN TOÁN 10

Câu 1 (4 điểm): Giải phương trình:
$$\sqrt{-x^2+4x+5}=x^2-2\left(1-\dfrac{6\sqrt{5}}{5}\right)x+\dfrac{36-9\sqrt{5}}{5}$$

Câu 2 (4 điểm): Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn $(I)$. Biết rằng đường tròn $(I)$ cắt trung tuyết AM tại 2 điểm E và F thỏa $AE=EF=FM$. Tính tỉ số diện tích tam giác IEF và tam giác ABC.

Câu 3 (3 điểm): Cho $a, b, c$ là các số thực dương thỏa mãn $a<b\le c\le1$ và $30a+4b+c \le 34$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
$$P=30a^2+4b^2+c^2$$

Câu 4 (3điểm): Tìm số nguyên lớn nhất $n$ thỏa $n \equiv 0(m), \forall m\in \mathbb{N}^*, m <\sqrt[3]{n}$

Câu 5 (3 điểm): Trong một hình tròn bán kính 2012, đặt 2012 hình tròn không trùng lên nhau có bán kính r và không thể đặt thêm một hình tròn vào đó nữa. Chứng minh rằng $$r > \dfrac{2012}{1+4\sqrt{503}}$$

Câu 6 (3 diểm): Tìm tất cả cá hàm số $f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ thỏa:
$$\left\{\begin{matrix} f(0)=2\\ f(x+f(x+2y))=f(2x)+f(2y), \forall x, y \in \mathbb{Z}\end{matrix}\right.$$

29-08-2012, 06:42 PM	#1
tir +Thành Viên+ Tham gia ngày: Apr 2012 Đến từ: 26 Bài gởi: 136 Thanks: 47 Thanked 125 Times in 81 Posts	Đề đề nghị Olympic 30-4 2012 lớp 10 trường chuyên Trà Vinh Mình vừa mới lật quyển tuyển tập cũ ra thì thấy đến tận quý IV mới phát hành sách. Từ đây đến đó còn dài, mọi người tranh thủ chém trước một số đề nhé Đặc biệt rất mong đề chuyên Lê Hồng Phong và chuyên Lê Quý Đôn - Vũng Tàu ĐỀ THI ĐỀ NGHỊ OLYMPIC 30-4 MÔN TOÁN 10 Câu 1 (4 điểm): Giải phương trình: $$\sqrt{-x^2+4x+5}=x^2-2\left(1-\dfrac{6\sqrt{5}}{5}\right)x+\dfrac{36-9\sqrt{5}}{5}$$ Câu 2 (4 điểm): Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn $(I)$. Biết rằng đường tròn $(I)$ cắt trung tuyết AM tại 2 điểm E và F thỏa $AE=EF=FM$. Tính tỉ số diện tích tam giác IEF và tam giác ABC. Câu 3 (3 điểm): Cho $a, b, c$ là các số thực dương thỏa mãn $a<b\le c\le1$ và $30a+4b+c \le 34$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $$P=30a^2+4b^2+c^2$$ Câu 4 (3điểm): Tìm số nguyên lớn nhất $n$ thỏa $n \equiv 0(m), \forall m\in \mathbb{N}^, m <\sqrt[3]{n}$ Câu 5 (3 điểm):* Trong một hình tròn bán kính 2012, đặt 2012 hình tròn không trùng lên nhau có bán kính r và không thể đặt thêm một hình tròn vào đó nữa. Chứng minh rằng $$r > \dfrac{2012}{1+4\sqrt{503}}$$ Câu 6 (3 diểm): Tìm tất cả cá hàm số $f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ thỏa: $$\left\{\begin{matrix} f(0)=2\\ f(x+f(x+2y))=f(2x)+f(2y), \forall x, y \in \mathbb{Z}\end{matrix}\right.$$ __________________ It's all coming back to me now