Một vài bài tập về ánh xạ

[11112222]

Cho em hỏi một vài bài về ánh xạ ạ
Bài 1.
$P $ là đa thức bậc $n $ thỏa mãn $P(k)= \frac{k}{k+1} $ với $k=0,1,2,...,n $
Tính $P(n+1) $


Bài 2.
$ f : \mathbb N^* \rightarrow \mathbb N^* $ thỏa mãn $f(m.f(n))=n^2.f(m) $ với mọi $m,n $ nguyên dương

Chứng minh $f(2003) $ là số nguyên tố hoặc là bình phương của một số nguyên tố

Nhờ mọi người giải hộ và nếu có thể thì cung cấp thêm cho em vài bài , tự học nên rất khó

Có thể nói cho em biết tại sao lại có thể có các bước làm đó không ạ

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[jejung_prime]

Nguyên văn bởi 11112222

Cho em hỏi một vài bài về ánh xạ ạ
Bài 1.
P(k)=$ \frac{k}{k+1} $
Tính P(n+1)
với k chạy từ 1 đến n
Bài 2. f:N* - N* thỏa
$f(m.f(n))=n^2.f(m) $ với mọi m,n nguyên dương
Nhờ mọi người giải hộ và nếu có thể thì cung cấp thêm cho em vài bài , tự học nên rất khó

Có thể nói cho em biết tại sao lại có thể có các bước làm đó không ạ

Em post laị đề bài 1 đi.
Bài 2.

Đây là 1 bài trong toán tuổi trẻ,anh cũng không nhớ số nào

Dễ dàng chứng minh $f $ là đơn ánh
Thay $m=n=1 $,ta có $f(f(1))=f(1)\Rightarrow f(1)=1 $,
thay tiếp $m=1\Rightarrow f(f(n))=n^{2} $
Thay tiếp $m=f(m)\Rightarrow f(f(m)f(n))=n^{2}m^{2} $
Vì $f $ là đơn ánh nên $f $ nhân tính
Nên nếu $p $ là số nguyên tố và $f(p) $ là hợp số thì $f(p)=ab \Rightarrow p^2=f(f(p))=f(a)f(b) $
$\Rightarrow $ Ta có
TH1.$f(a) $ hoặc$ f(b)=1 \Rightarrow $ $a $hoặc $b=1 $(sai)
TH2.$\Rightarrow f(a)=f(b)=p\Rightarrow f(p)=a^2 $
Với phương pháp tương tụ trên dễ dàng thấy $a $cũng là 1 số nguyên tố
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[hien123]

Nguyên văn bởi jejung_prime

Em post laị đề bài 1 đi,

Em đoán là thế này: Cho đa thức P(x) bậc n thỏa mãn:
$P(k)=\frac{k}{k+1} $ với k = 0, 1, 2, 3,...n
Tính P(n+1)

Đầu tiên bạn chứng tỏ tính duy nhất của P(x). Xét đa thức:
$Q(x)=x+\frac{(0-x)(1-x)(2-x)...(n-x)}{(n+1)!} $
Dễ thấy deg R(x) = n+1. Với chú ý R(-1)=0, nên theo định lí Bezout ta được: $Q(x)=(x+1)H(x) $. Từ đó suy ra $H(x)\equiv P(x) $. Thay vào CT ta tính được:
$P(n+1)=H(n+1)=\frac{Q(n+1)}{n+2}=\frac{n+1+(-1)^{n}}{n+2}
$

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[n.v.thanh]

A đã edit lại đề bài 1.US-1975

Đề bài cho giá trị của một đa thức bậc $n $ và cho giá trị của đa thức đó tại $n+1 $ điểm 0,1,2,...,n.Do đó

hoàn toàn có thể xác định được toàn bộ đa thức đó theo công thức cộng trừ nhân chia Lagrange [Only registered and activated users can see links. ]
Được một cái đa thức rất cồng kênh.Công việc còn lại là thay $x=n+1 $ và rút gọn.Đáp số $f(n+1)=n+1 $

Cách của cu hien123 anh cũng đã đọc năm lớp 9 trong quyển 5 năm hay là 30 năm THTT gì đó,nói chung a thấy là lừa trẻ con cấp 2

Bài 2.
jejung làm đi em
Bạn chủ topic đã post hơn 200

chém gióa

post rồi thì nên để LateX cho nó đúng tinh thần của forum,không lại bị xóa bài khỏi báo trước.Hề.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[hien123]

Nguyên văn bởi n.v.thanh

A đã edit lại đề bài 1.US-1975

Đề bài cho giá trị của một đa thức bậc $n $ và cho giá trị của đa thức đó tại $n+1 $ điểm 0,1,2,...,n.Do đó

hoàn toàn có thể xác định được toàn bộ đa thức đó theo công thức cộng trừ nhân chia Lagrange [Only registered and activated users can see links. ]
Được một cái đa thức rất cồng kênh.Công việc còn lại là thay $x=n+1 $ và rút gọn.Đáp số $f(n+1)=n+1 $

Cách của cu hien123 anh cũng đã đọc năm lớp 9 trong quyển 5 năm hay là 30 năm THTT gì đó,nói chung a thấy là lừa trẻ con cấp 2

Bài 2.
jejung làm đi em
Bạn chủ topic đã post hơn 200

chém gióa

post rồi thì nên để LateX cho nó đúng tinh thần của forum,không lại bị xóa bài khỏi báo trước.Hề.

Đúng là bài này em đọc hồi đầu năm lớp 9 trên THTT. Bài 2 cũng trên THTT à?? Tiếp tục:
Tìm hàm số $ f: R^{*}\rightarrow R $ thỏa:
$ f(1)=1;
f\left ( \frac{1}{x+y} \right )=f\left ( \frac{1}{x} \right )+f\left ( \frac{1}{y} \right );
(x+y)f(x+y)=xyf(x)f(y) $ Với mọi $x, y\in R: xy(x+y)\neq 0 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[jejung_prime]

Nguyên văn bởi hien123

Đúng là bài này em đọc hồi đầu năm lớp 9 trên THTT. Bài 2 cũng trên THTT à?? Tiếp tục:
Tìm hàm số $ f: R^{*}\rightarrow R $ thỏa:
$ f(1)=1;
f\left ( \frac{1}{x+y} \right )=f\left ( \frac{1}{x} \right )+f\left ( \frac{1}{y} \right );
(x+y)f(x+y)=xyf(x)f(y) $ Với mọi $x, y\in R: xy(x+y)\neq 0 $

$P(\frac{x}{2},\frac{x}{2})\Rightarrow f(\frac{1}{x})=2f(\frac{2}{x}) $
$P(\frac{1}{x},\frac{1}{x})\Rightarrow \frac{2}{x}f(\frac{2}{x})=\frac{1}{x^2}f(\frac{1}{ x})^2 \Rightarrow \frac{1}{x}f(\frac{1}{x})=\frac{1}{x^2}f(\frac{1}{ x})^2 \Rightarrow f(x)=\frac{1}{x} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]