Phương Trình Hàm

[11112222]

Nguyên văn bởi hien123

Cho x = 0 ta được f là hàm lẻ

Hàm lẻ hay hàm chẵn có vai trò gì trong lập luận thế ?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[CSS-MU]

Nguyên văn bởi hien123

$f(f(0))=f(0)\Rightarrow f(0)=0 $ chỉ đúng khi f là đơn ánh. Để đi đến kết quả này bạn đặt f(0) = a rồi thay x = y = a, 0 rồi sẽ tính được. Còn đến đoạn $(f(x))^{2}=x^{2} $ thì rất đơn giản chỉ cần lấy căn hai vế

Tăng được thêm cái post

Bạn có thể nói rõ hơn chứng minh của bạn được không? Mình chưa hiểu kỹ lắm.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[n.v.thanh]

Nguyên văn bởi hien123

$f(f(0))=f(0)\Rightarrow f(0)=0 $ chỉ đúng khi f là đơn ánh. Để đi đến kết quả này bạn đặt f(0) = a rồi thay x = y = a, 0 rồi sẽ tính được. Còn đến đoạn $(f(x))^{2}=x^{2} $ thì rất đơn giản chỉ cần lấy căn hai vế

Tăng được thêm cái post

Chỗ này làm không chuẩn em ạ.Không được suy ra ngay.
Thử đọc thêm topic này xem [Only registered and activated users can see links. ]
hien123 you missed the classical trap of such problem
Bài này có mỗi chỗ $f(0) $ với đoạn cuối để làm khó học sinh mà bạn hien123 lại chưa làm phần nào .

Tăng được thêm cái post

P/S:À quên,bài này là VMO 2005 nếu tớ nhớ không bị nhầm.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[pgviethung]

Cho $y=0 $, ta có $f(f(x))=f(x)-f(0)+f(x).f(0) $. (1)
Cho $x=y $, có $f(f(0))=f^2(x)-x^2 $ (2) và $f(f(0))=f^2(0) $.
Bình phương hai vế của (1), chú ý $f^2(f(x))=f^2(x)+a^2 $ (từ (2)) với $a=f(0) $, có $f^2(x)+a^2=f^2(x)+a^2+f^2(x)a^2-2af(x)-2a^2f(x)+2af^2(x) $, hay là $0=f^2(x)a^2-2af(x)-2a^2f(x)+2af^2(x) $.
*) Nếu $a\neq 0 $, xét x sao cho $f(x)\neq 0 $ (tồn tại rất nhiều từ (2)), ta có $af(x)-2-2a+2f(x)=0 $ với vô hạn giá trị của $f(x) $, suy ra phải có $a+2=0 $ và $2+2a=0 $, mâu thuẫn. Vậy $f(0)=a=0 $.
*) Vậy $f(f(x))=f(x) $ và $f^2(x)=x^2 $.
Thay vào ban đầu ta có: $f(x-y)=f(x)-f(y)+f(x).f(y)-xy. $ (3)
Thay x=y và y=x vào (3) rồi trừ đi (3), suy ra $f(x-y)-f(y-x)=2f(x)-2f(y) $. Nếu x khác y hoặc -y thì f(x) khác f(y); do đó $f(x-y)-f(y-x) $ khác 0, suy ra $f(x-y)=-f(y-x) $, hay là $f(x)=-f(-x) $ với mọi x. Vậy $2f(x-y)=f(x-y)-f(y-x) $, suy ra $f(x-y)=f(x)-f(y) $.
Giả sử có x khác 0 sao cho $f(x)=-x $ thì với $y=ax $ ta có $f(y)=f(ax)=-ax $. Thật vậy, xét a khác 0, nếu $f(ax)=ax $, suy ra $f((1-a)x)f(x-y)=-x-ax $. Vì $f((1-a)x)=(1-a)x $ hoặc $(a-1)x $ nên ta có $a-1=-1-a $ (không xảy ra nếu a khác 0 ); hoặc $1-a=-1-a $ (không xảy ra). Vậy $f(x)=-x $ với mọi x, tuy nhiên khi đó $f(f(x))\neq f(x) $.
Kết luận: $f(x)=x $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[CSS-MU]

Nguyên văn bởi 11112222

Find $f:R-R $
$f(f(x-y))=f(x)-f(y)+f(x)f(y)-xy $

Thử phát
Cho $y=0 $ ta có $f(f(x))=f(x)-f(0)+f(x)f(0),\;(1) $
Cho $x=y $ ta có $f(f(0))=f^2(x)-x^2.\;(2) $
Đặt $f(0)=a $ thì trong $(2) $ cho $x=0 $ ta sẽ có $f(a)=a^2.\;(3) $
Trong $(2) $ lại cho tiếp $x=a $ thì $a^4-a^2=a^2, $ suy ra $a=\pm\sqrt{2} $ hoặc $a=0. $
Ta xét $a=\sqrt{2}, $ trường hợp $a=-\sqrt{2} $ xét tương tự. Nếu $a=\sqrt{2} $ thì ta có $f(\sqrt{2})=2 $ theo $(3). $
Trong $(1) $ ta bỏ $x=\sqrt{2} $ thì $f(2)=2-\sqrt{2}+2\sqrt{2}=2+\sqrt{2}.\; (4) $
Giờ lại bỏ $x=2 $ vào $(2) $ thì được $f^2(2)=2^2+f(\sqrt{2})=6.\;(5) $
$(4) $ và $(5) $ mâu thuẫn suy ra phương trình hàm vô nghiệm với $f(0)=\sqrt{2}. $
Xét $a=0. $ Từ $(2) $ suy ra $f^2(x)=x^2.\;(6) $
Từ $(1) $ suy ra $f(f(x))=f(x)\,\forall x\in\mathbb{R}.\;(7) $
Trong phương trình hàm ban đầu lại cho $x=0 $ thì ta có ngay $f(f(-y))=-f(y)\,\forall y\in \mathbb{R}.\; (8) $
$(7) $ và $(8) $ dẫn đến $f(x) $ là hàm lẻ.
Ta chứng minh với mọi $x\ne 0 $ thì $f(x)\ne -x. $
Thật vậy giả sử tồn tại $x_0\ne 0 $ thỏa $f(x_0)=-x_0 $ thì trong $(7) $ lấy $x=x_0 $ ta sẽ có $f(f(x_0))=f(x_0) $ suy ra $f(-x_0)=-x_0. $ mẫu thuẫn với tính lẻ của $f(x). $
Khẳng định của ta được chứng minh. Kết hợp khẳng định trên với $(6) $ ta suy ra ngay $f(x)=x\,\forall x\ne 0. $ Mặt khác $f(0)=0 $ nên ta có $f(x)=x\,\forall x\in \mathbb{R}. $ Thử lại thấy thỏa.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[11112222]

Nguyên văn bởi CSS-MU

Thử phát
Cho $y=0 $ ta có $f(f(x))=f(x)-f(0)+f(x)f(0),\;(1) $
Cho $x=y $ ta có $f(f(0))=f^2(x)-x^2.\;(2) $
Đặt $f(0)=a $ thì trong $(2) $ cho $x=0 $ ta sẽ có $f(a)=a^2.\;(3) $
Trong $(2) $ lại cho tiếp $x=a $ thì $a^4-a^2=a^2, $ suy ra $a=\pm\sqrt{2} $ hoặc $a=0. $
Ta xét $a=\sqrt{2}, $ trường hợp $a=-\sqrt{2} $ xét tương tự. Nếu $a=\sqrt{2} $ thì ta có $f(\sqrt{2})=2 $ theo $(3). $
Trong $(1) $ ta bỏ $x=\sqrt{2} $ thì $f(2)=2-\sqrt{2}+2\sqrt{2}=2+\sqrt{2}.\; (4) $
Giờ lại bỏ $x=2 $ vào $(2) $ thì được $f^2(2)=2^2+f(\sqrt{2})=6.\;(5) $
$(4) $ và $(5) $ mâu thuẫn suy ra phương trình hàm vô nghiệm với $f(0)=\sqrt{2}. $
Xét $a=0. $ Từ $(2) $ suy ra $f^2(x)=x^2.\;(6) $
Từ $(1) $ suy ra $f(f(x))=f(x)\,\forall x\in\mathbb{R}.\;(7) $
Trong phương trình hàm ban đầu lại cho $x=0 $ thì ta có ngay $f(f(-y))=-f(y)\,\forall y\in \mathbb{R}.\; (8) $
$(7) $ và $(8) $ dẫn đến $f(x) $ là hàm lẻ.
Ta chứng minh với mọi $x\ne 0 $ thì $f(x)\ne -x. $
Thật vậy giả sử tồn tại $x_0\ne 0 $ thỏa $f(x_0)=-x_0 $ thì trong $(7) $ lấy $x=x_0 $ ta sẽ có $f(f(x_0))=f(x_0) $ suy ra $f(-x_0)=-x_0. $ mẫu thuẫn với tính lẻ của $f(x). $
Khẳng định của ta được chứng minh. Kết hợp khẳng định trên với $(6) $ ta suy ra ngay $f(x)=x\,\forall x\ne 0. $ Mặt khác $f(0)=0 $ nên ta có $f(x)=x\,\forall x\in \mathbb{R}. $ Thử lại thấy thỏa.

Sao lại xét với mọi x khác 0 , trong các bài toán khác thì đến đoạn này cũng thế à
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[CSS-MU]

Nguyên văn bởi 11112222

Sao lại xét với mọi x khác 0 , trong các bài toán khác thì đến đoạn này cũng thế à

Nếu không xét $x\ne 0 $ thì khẳng định: $f(x)\ne -x $ sẽ bị sai khi ta cho $x=0 $ (trường hợp đang xét là $f(0)=0 $).
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]