Topic về Phương Trình Hàm và Đa Thức - Page 30

Gin Mellkior · 16-02-2013, 05:08 PM

Bài ?: Giả sử $f\left ( x \right )=x^{n}+a_{1}x^{n-1}+...+a_{n}\in \mathbb{R}\left [ x \right ]$ và $b_{0}$, $b_{1}$,..., $b_{n}$. Chứng minh rằng $\underset{0\leq i\leq n}{\max }\left | f\left ( b_{i} \right ) \right |\geq \frac{n!}{2^{n}}$.

**batigoal** · 18-02-2013, 06:43 AM

Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn: $f(xy)(f(2x)-2f(y))=(x-y)f(x)f(2y)$.

hansongkyung · 18-02-2013, 03:17 PM

Trích:

Nguyên văn bởi batigoal

Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn: $f(xy)(f(2x)-2f(y))=(x-y)f(x)f(2y)$.

Cho $x=y=0$
$\Rightarrow -f^2(0) = 0 \Rightarrow f(0)= 0$
Cho $x=y$
$\Rightarrow f(x^2)(f(2x)-2f(x))=0$
Nếu $f(x^2)=0$ thì với mọi $x>0$ thì $f(x)=0$
Lấy $x=2y < 0 \Rightarrow xy > 0 \Rightarrow f(xy) = 0$
$\Rightarrow 0 = yf^2(2y)$ với mọi $y < 0$
Suy ra $f(x) = 0$ với mọi số thực $x$.
Vậy ta đc 1 hàm $f(x) = 0 $
Nếu $f(2x) = 2f(x)$
Suy ra $2f(xy)(f(x)-f(y)) = 2(x-y)f(xy) \Rightarrow f(x)-f(y) = x-y$
Cho $y = 0$ suy ra $f(x)=x$
Vậy ta tìm được 2 hàm là $f(x)= 0, f(x)=x$

Idie9xx · 18-02-2013, 04:01 PM

Trích:

Nguyên văn bởi hansongkyung

Nếu $f(2x) = 2f(x)$
Suy ra $2f(xy)(f(x)-f(y)) = 2(x-y)f(xy) \Rightarrow f(x)-f(y) = x-y$

Bạn giải thích lại chỗ này cái mình thấy hình như là sai rồi

blackholes. · 18-02-2013, 04:41 PM

Trích:

Nguyên văn bởi hansongkyung

Cho $x=y=0$
$\Rightarrow -f^2(0) = 0 \Rightarrow f(0)= 0$
Cho $x=y$
$\Rightarrow f(x^2)(f(2x)-2f(x))=0$
Nếu $f(x^2)=0$ thì với mọi $x>0$ thì $f(x)=0$
Lấy $x=2y < 0 \Rightarrow xy > 0 \Rightarrow f(xy) = 0$
$\Rightarrow 0 = yf^2(2y)$ với mọi $y < 0$
Suy ra $f(x) = 0$ với mọi số thực $x$.
Vậy ta đc 1 hàm $f(x) = 0 $
Nếu $f(2x) = 2f(x)$
Suy ra $2f(xy)(f(x)-f(y)) = 2(x-y)f(xy) \Rightarrow f(x)-f(y) = x-y$
Cho $y = 0$ suy ra $f(x)=x$
Vậy ta tìm được 2 hàm là $f(x)= 0, f(x)=x$

Nếu $f\left ( x \right )= 0$ với một vài $x> 0$ nào đó và $f\left (2 x \right )= 2f\left ( x \right )$ với một vài giá trị dương của $x$ thì sao bạn??? (tức là $f\left ( x \right )\not\equiv 0\vee x> 0$ và $f\left ( x \right )\not\equiv 2x \vee x$)

Idie9xx · 18-02-2013, 08:57 PM

Trích:

Nguyên văn bởi batigoal

Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn: $f(xy)(f(2x)-2f(y))=(x-y)f(x)f(2y)$.

Bài này mình nghĩ là lên làm thế này:
Cho $x=y$
$\Rightarrow f(x^2)=0 \cup f(2x)=2f(x)$
Với $f(2x)=2f(x)$
$\Rightarrow f(xy)(f(x)-f(y))=(x-y)f(x)f(y)$ $(*)$
Cho $y=1$ vào $(*)$ ta được $f(x)=0 \cup f(x)=xf(1)$
Với $f(1)=k$ bất kì thì ta có $f(x)=kx$...

**batigoal** · 18-02-2013, 09:13 PM

Trích:

Nguyên văn bởi Idie9xx

Bài này mình nghĩ là lên làm thế này:
Cho $x=y$
$\Rightarrow f(x^2)=0 \cup f(2x)=2f(x)$
Với $f(2x)=2f(x)$
$\Rightarrow f(xy)(f(x)-f(y))=(x-y)f(x)f(y)$ $(*)$
Cho $y=1$ vào $(*)$ ta được $f(x)=0 \cup f(x)=xf(1)$
Với $f(1)=k$ bất kì thì ta có $f(x)=kx$...

Cần phải xử lí thêm $ f(x^2)=0 $ nữa.
$f(x) = 0 \ \ \forall x \in \mathbb{R}^{+}$
Theo trên cho $x=y$, ta có $ f(x^{2})(f(2x) - 2f(x)) = 0$ (**)
Thay $x=1$ vào (**) được $ f(x)(f(2x)) = 0$ nên $f(x) = 0 \forall x \in \mathbb{R}$
Kết quả cuối cùng kết hợp phần trên bạn làm : $f(x)=kx$

hansongkyung · 18-02-2013, 09:18 PM

Trích:

Nguyên văn bởi blackholes.

Nếu $f\left ( x \right )= 0$ với một vài $x> 0$ nào đó và $f\left (2 x \right )= 2f\left ( x \right )$ với một vài giá trị dương của $x$ thì sao bạn??? (tức là $f\left ( x \right )\not\equiv 0\vee x> 0$ và $f\left ( x \right )\not\equiv 2x \vee x$)

Ừ nhỉ. Nhưng không sao đến đây ta vẫn sử lý tiếp đc vì công đoạn chứng minh ra 2 hàm là riêng biệt. Lúc nãy mình quên mất là không thể chia cho $f(xy)$ nên nghiệm chính xác phải là $f(x)=kx$. Để chứng mình là hàm đồng nhất thì ta cũng làm như cách bình thường là giả sử tồn tại số $a \neq b, ab \neq 0$ sao cho $f(a)=0, f(b)=kb$. Làm như bình thường thôi.

**batigoal** · 20-02-2013, 05:54 PM

Tìm tất cả các hàm $ f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} $ thỏa mãn $ \left ( x-y\right )f\left ( x+y\right )=\left ( x+y\right )\left ( f\left ( x\right )-f\left ( y\right )\right ),\forall x,y\in\mathbb{R} $

Idie9xx · 22-02-2013, 01:02 PM

Trích:

Nguyên văn bởi batigoal

Tìm tất cả các hàm $ f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} $ thỏa mãn $ \left ( x-y\right )f\left ( x+y\right )=\left ( x+y\right )\left ( f\left ( x\right )-f\left ( y\right )\right ),\forall x,y\in\mathbb{R} $ $(*)$

$(*) \Rightarrow \dfrac{f(x+y)}{x+y}=\dfrac{f(x)-f(y)}{x-y}$
Cho $y \rightarrow x$ ta có:
$f(2x)=2xf'(x)$
ta thấy $f(x)$ là hàm liên tục có các hệ số thỏa mãn $k2^i=k2i$ với $k=const$ thì $i=1 \cup i=2$ Vậy các hàm thỏa mãn là $f(x)=ax, f(x)=ax^2+bx$

luugiangnam · 22-02-2013, 07:04 PM

Trích:

Nguyên văn bởi Idie9xx

$(*) \Rightarrow \dfrac{f(x+y)}{x+y}=\dfrac{f(x)-f(y)}{x-y}$
Cho $y \rightarrow x$ ta có:
$f(2x)=2xf'(x)$
ta thấy $f(x)$ là hàm liên tục có các hệ số thỏa mãn $k2^i=k2i$ với $k=const$ thì $i=1 \cup i=2$ Vậy các hàm thỏa mãn là $f(x)=ax, f(x)=ax^2+bx$

Cái vụ cho $y \rightarrow x$ là sao vậy bạn?

Idie9xx · 22-02-2013, 07:10 PM

Trích:

Nguyên văn bởi luugiangnam

Cái vụ cho $y \rightarrow x$ là sao vậy bạn?

Do $y=x$ không xét được lên mình dùng đạo hàm để tính. Bạn có thể hiểu là $y$ tiến gần đến $x$.

kien10a1 · 22-02-2013, 10:23 PM

Trích:

Nguyên văn bởi batigoal

Tìm tất cả các hàm $ f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} $ thỏa mãn $ \left ( x-y\right )f\left ( x+y\right )=\left ( x+y\right )\left ( f\left ( x\right )-f\left ( y\right )\right ),\forall x,y\in\mathbb{R} $

Theo em nên làm thế này:
Trong đẳng thức cho y lần lượt là 1,2, ta thấy $f(x+1)=\frac{x+1}{x-1}(f(x)-f(1)) $ và $f(x+2)=\frac{x+2}{x-2}(f(x)-f(2)) $
Từ công thức thứ nhất ta tính được $f(x+2) $ theo $f(x) $ bằng cách thay $x $ bởi $x+1 $.
So sánh hai đẳng thức, ta dễ dàng giải ra được dạng của $f(x) $

**batigoal** · 23-02-2013, 06:51 AM

Trích:

Nguyên văn bởi kien10a1

Theo em nên làm thế này:
Trong đẳng thức cho y lần lượt là 1,2, ta thấy $f(x+1)=\frac{x+1}{x-1}(f(x)-f(1)) $ và $f(x+2)=\frac{x+2}{x-2}(f(x)-f(2)) $
Từ công thức thứ nhất ta tính được $f(x+2) $ theo $f(x) $ bằng cách thay $x $ bởi $x+1 $.
So sánh hai đẳng thức, ta dễ dàng giải ra được dạng của $f(x) $

Okie. Đồng quan điểm với Kiên10a1. Mọi người thử cách khác bằng cách đặt $f(x)=g(x)+f(0)$ xem có ra không nhé.

Idie9xx · 23-02-2013, 09:44 PM

Trích:

Nguyên văn bởi kien10a1

Theo em nên làm thế này:
Trong đẳng thức cho y lần lượt là 1,2, ta thấy $f(x+1)=\frac{x+1}{x-1}(f(x)-f(1)) $ và $f(x+2)=\frac{x+2}{x-2}(f(x)-f(2)) $
Từ công thức thứ nhất ta tính được $f(x+2) $ theo $f(x) $ bằng cách thay $x $ bởi $x+1 $.
So sánh hai đẳng thức, ta dễ dàng giải ra được dạng của $f(x) $

Cách của bạn $f(x)$ nó phụ thuộc vào $f(1),f(2)$ mình không biết xử lí thế nào

16-02-2013, 05:08 PM	#436
Gin Mellkior +Thành Viên+ Tham gia ngày: Oct 2012 Bài gởi: 86 Thanks: 226 Thanked 60 Times in 27 Posts	Bài ?: Giả sử $f\left ( x \right )=x^{n}+a_{1}x^{n-1}+...+a_{n}\in \mathbb{R}\left [ x \right ]$ và $b_{0}$, $b_{1}$,..., $b_{n}$. Chứng minh rằng $\underset{0\leq i\leq n}{\max }\left \| f\left ( b_{i} \right ) \right \|\geq \frac{n!}{2^{n}}$. Em không biết số thứ tự mod sửa lại giúp em nhé __________________ LSTN, tạm biệt nhé...! thay đổi nội dung bởi: Gin Mellkior, 16-02-2013 lúc 05:10 PM

18-02-2013, 06:43 AM	#437
batigoal Super Moderator Tham gia ngày: Jul 2010 Đến từ: Hà Nội Bài gởi: 2,895 Thanks: 382 Thanked 2,968 Times in 1,295 Posts	Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn: $f(xy)(f(2x)-2f(y))=(x-y)f(x)f(2y)$. __________________ “ Sức mạnh của tri thức là sự chia sẻ tri thức” Ghét lắm cơ, anh chàng ngồi cạnh Thích người ta mà cứ vờ lặng thinh Cây thước rơi hữu ý hay vô tình Tay chạm tay, mắt chạm vào nỗi nhớ Cứ lặng im, không gian ngừng thở Xốn xao lòng, bối rối con tim Ngây thơ lắm - Mối tình mực tím Phút yêu đầu, quá đỗi ngu ngơ! [Only registered and activated users can see links. ]

20-02-2013, 05:54 PM	#444
batigoal Super Moderator Tham gia ngày: Jul 2010 Đến từ: Hà Nội Bài gởi: 2,895 Thanks: 382 Thanked 2,968 Times in 1,295 Posts	Tìm tất cả các hàm $ f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} $ thỏa mãn $ \left ( x-y\right )f\left ( x+y\right )=\left ( x+y\right )\left ( f\left ( x\right )-f\left ( y\right )\right ),\forall x,y\in\mathbb{R} $ __________________ “ Sức mạnh của tri thức là sự chia sẻ tri thức” Ghét lắm cơ, anh chàng ngồi cạnh Thích người ta mà cứ vờ lặng thinh Cây thước rơi hữu ý hay vô tình Tay chạm tay, mắt chạm vào nỗi nhớ Cứ lặng im, không gian ngừng thở Xốn xao lòng, bối rối con tim Ngây thơ lắm - Mối tình mực tím Phút yêu đầu, quá đỗi ngu ngơ! [Only registered and activated users can see links. ]