[VMO 2013] Bài 7 - Số học

[nguyenta98]

Vậy nhiệm vụ còn lại của ta là cm công thức đó thì bài toán này giải quyết xong phải không các anh

P/S hint: Em thấy theo cách phân tích của anh Traum $f(p)=p^3+1$ khi $p \equiv 3 \pmod{4}$ còn $f(p)=p^3-1$ khi $p \equiv 1 \pmod{4}$ vậy liệu nó có liên quan gì đến số chính phương $mod(p)$ với $p=4k+3,4k+1$ không?
Hơn nữa ở bài $a^2b^2c^2 \equiv (1-a'b')(1-b'c')(1-c'a') \pmod{15}$ nên $-(1-a'b')(1-b'c')(1-c'a')$ là số chính phương $mod(5)$
Khi ấy tồn tại $abc$ để $(abc)^2 \equiv (1-a'b')(1-b'c')(1-c'a') \pmod{15}$ lúc ấy giả sử $abc \equiv k \pmod{15}$ thì nghiệm $a \equiv \dfrac{k}{(1-a'c')(1-a'b')} \pmod{15}$ và tương tự với $b,c$ là duy nhất, có thể nó mang lại điều gì?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[hansongkyung]

Khổ quá. Hôm thi ngày 2, Sơn La lạnh dưới 10 độ, sương mù vây quanh lớp khiến em nhìn lộn đề thành tìm "bộ số" thế là làm mãi chẳng nghĩ ra hướng quái nào.
Thôi thì đổ tại thời tiết vậy
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[kien10a1]

Nguyên văn bởi huynhcongbang

Một kết quả tổng quát hơn:

Gọi $f(p)$ là số tất cả bộ sắp thứ tự $\left( a,b,c,{{a}^{'}},{{b}^{'}},{{c}^{'}} \right)$ thỏa mãn điều kiện $$\left\{ \begin{align}
& ab+{{a}^{'}}{{b}^{'}}\equiv x \left( \bmod p \right) \\
& ac+{{a}^{'}}{{c}^{'}}\equiv y \left( \bmod p \right) \\
& bc+{{b}^{'}}{{c}^{'}}\equiv z \left( \bmod p \right) \\
\end{align} \right.$$
với $a,b,c,{{a}^{'}},{{b}^{'}},{{c}^{'}}\in \left\{ 0,1,2,...,p \right\}$ và $0 \le x, y, z \le p-1$.

Về cơ bản thì các bộ $x,y,z $ và $x_1,y_1,z_1 $ không là bội của p và thỏa mãn $\frac{x_1y_1z_1}{xyz} $ là số chính phương mod p mang lại các kết quả như nhau.
Thật vậy, khi đó tồn tại $m,n,q $ mà $mnx\equiv x_1,nqy\equiv y_1,qmz\equiv z_1 $, lúc này chỉ cần thay $a,a' $ thành $ma $ và $ma' $, tương tự...
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Mr Stoke]

MS nghĩ bài toán kiểu này xuất phát từ các vấn đề nghiên cứu về phương trình Diophantine trên các trường hữu hạn. Việc cho modulo 15 ở đây đơn giản vì $15=3\times5$ để đưa về việc đếm số nghiệm của một hệ phương trình trong $\mathbb Z_p$ với $p$ là số nguyên tố. Có một số bài toán kiểu này đã được sử dụng trong các cuộc thi Olympiad.

Liên quan đến phương trình xuất hiện trong hệ này có một câu hỏi nổi tiếng như sau: giả sử A,B,C,D là các tập con của $\mathbb Z_p=\{0,1,\ldots,p-1\}$. Với điều kiện nào của $A,B,C,D$ thì phương trình $ab+cd\equiv 1\pmod p$ có nghiệm?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[NhamNgaHanh]

Nguyên văn bởi Mr Stoke

Liên quan đến phương trình xuất hiện trong hệ này có một câu hỏi nổi tiếng như sau: giả sử A,B,C,D là các tập con của $\mathbb Z_p=\{0,1,\ldots,p-1\}$. Với điều kiện nào của $A,B,C,D$ thì phương trình $ab+cd\equiv 1\pmod p$ có nghiệm?

Câu hỏi nổi tiếng đây á?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[huynhcongbang]

Bài này chỉ còn cần dự đoán cho trường hợp $f(p^k)$ với $p>2$ và $f(2^k)$ là có thể tổng quát cho số nguyên dương lớn hơn 1 bất kì. Mọi người thử xem nhé!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[caoxuanhuy]

Nguyên văn bởi huynhcongbang

(1) Đếm số bộ B.
Các số dư khi chia cho 5 là $0,1,2,3,4$ và ta thấy các tích của các bộ sau sẽ có số dư tương ứng khi chia cho 5 được liệt kê bên dưới:

$1 \cdot 2 \equiv 1
1 \cdot 2 \equiv 2, \, 1 \cdot 3 \equiv 3, \, 1 \cdot 4 \equiv 4, \, 2 \cdot 2 \equiv 4, \, 2 \cdot 3 \equiv 1, \, 2 \cdot 4 \equiv 3, \, 3 \cdot 3 \equiv 4, \, 3 \cdot 4 \equiv 2, \, 4 \cdot 4 \equiv 1$

Tương tự trên, các số $abc, a'b'c'$ đều không cùng chia hết cho 5.
Ta xét các trường hợp sau:
- Nếu $abc$ hoặc $a'b'c'$ chia hết cho 5, giả sử $abc$ chia hết cho 5 và ta tiếp tục giả sử $a$ chia hết cho 5 thì $a'b', a'c'$ chia 5 dư 1. Ta xét 4 trường hợp sau:

+ Nếu $a'$ chia 5 dư 1 thì $b',c'$ chia 5 dư 1 và dẫn đến $bc$ chia hết cho 5 và có thêm 1 trong 2 số $b,c$ chia hết cho 5.
Khi đó, bộ số mà 2 trong 3 số $(a,b,c)$ chia hết cho 5 và $(a',b',c')=(1,1,1)$ là thỏa mãn đề bài.
Có tất cả $7 \cdot 1 = 7$ bộ như thế.

+ Nếu $a$ chia 5 dư 4 thì $b',c'$ chia 5 dư 4 và dẫn đến $bc$ chia hết cho 5, có bộ mà 2 trong 3 số $(a,b,c)$ chia hết cho 5 và $(a',b',c')=(4,4,4)$ là thỏa mãn đề bài.
Có tất cả $7 \cdot 1 = 7$ bộ như thế.

+ Nếu $a'$ chia 5 dư 2 thì $b',c'$ chia 5 dư 3 thì $b'c'$ chia 5 dư 4 và dẫn đến $bc$ chia 5 dư 2.
Khi bộ số có dạng $(a,b,c)=(0,1,2),(0,3,4)$ và $(a',b',c') = (2,3,3)$ thỏa mãn.
Có tất cả $6 \cdot 2 = 12$ bộ như thế.

* Nếu $a'$ chia 5 dư 3 thì $b',c'$ chia 5 dư 2 và dẫn đến $bc$ chia 5 dư 2.
Khi đó bộ số có dạng $(a,b,c)=(0,1,2),(0,3,4)$ và $(a',b',c') = (3,2,2)$ thỏa mãn.
Có tất cả $6 \cdot 2 = 12$ bộ như thế.

Trường hợp này có tất cả $2 \cdot (7+7+12+12)=76$ bộ thỏa.

- Ta tính trường hợp mà cả $abc,a'b'c'$ đều không chia hết cho 5.
Khi đó, ta thấy $ab,bc,ca$ chỉ có thể chia 5 dư $2,3,4$ vì nếu chia 5 dư 1 thì bộ $a'b',b'c',c'a'$ sẽ chia hết cho 5, mâu thuẫn.
Ta thấy các số dư của $ab,bc,ca$ khi chia cho 5 không thể là $(2,2,2), (2,2,3),(2,2,4), (2,3,3), (2,4,4), (3,3,3), (3,3,4), (3,4,4)$
Thật vậy, chẳng hạn với bộ $(2,2,2)$, ta có $ab \equiv bc \equiv ca \equiv ca \equiv 2$ dẫn đến $2 \cdot c^2 = 4$, vô lí. Tương tự với các trường hợp còn lại.
Chỉ có thể là $(2,3,4),(3,3,4),(4,4,4)$, ta có 3 trường hợp:
- Nếu $(ab,bc,ca)=(2,3,4)$ thì $(a'b',b'c',c'a') = (4,3,2)$ và ta tìm được $(a,b,c,a',b',c')$ tương ứng là $(4,3,1,1,4,2)$ hoặc $(1,2,4,1,4,2)$ hoặc $(4,3,1,4,1,3)$ hoặc $(1,2,4,4,1,3)$ thỏa mãn
Có tất cả $6 \cdot 4 = 24$ bộ thỏa mãn.
- Nếu $(ab,bc,ca)=(2,4,2)$ thì $(a'b',b'c',c'a')=(4,2,4)$ không thỏa.
- Nếu $(ab,bc,ca)=(4,4,4)$ thì $(a'b',b'c',c'a')=(2,2,2)$ không thỏa.

Do đó, trong trường hợp này có $2 \cdot 24 = 48$ bô thỏa mãn đề bài.

Từ đó ta tính được tổng số bộ $B$ là $76+48=124$ bộ.

Vậy tổng số bộ cần tính là $28 \cdot 124 = 3472$.

Lời giải trên đây theo ý tưởng của bạn kien10A1, ở phần mod 3, phần mod 5 thì mình xét tất cả trường hợp ra nên khá rắc rối, tuy nhiên cuối cùng cũng ra kết quả.

Kết quả trên giống với kết quả mà Mashimaru tính ra.
@Hiếu: hôm trước anh không thấy em trả lời nên cứ sợ em giận dỗi vụ gì, hix.

Bác Kelacloai hướng dẫn giải bài tổng quát với, hehe , nếu đề thay số 15 bởi số 2013 = 3.11.61 là cũng đẹp rồi nhưng các thầy lại không làm thế nên chắc cũng có lí do.

Cho em hỏi tại sao chỗ tô đỏ lại ra 7 bộ được ạ. Em nghĩ là 13 bộ chứ.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[trandanne]

[Only registered and activated users can see links. ] đang điều rất nhiều người để tâm và cần được trả lời. Hiện tại, có rất nhiều địa chỉ phòng khám trên địa bàn Thanh Hóa, nhưng để tìm được nơi khám chữa bệnh uy tín cũng là điều làm mọi người băn khoăn. Chính vì thế, ngày hôm nay kienthucykhoa.net sẽ giới thiệu cho bạn chi tiết hơn về Phòng khám Đa khoa An Đức, là nơi khám chữa bệnh, hiện đang được đông đảo người dân Thanh Hóa tin tưởng là điểm đến để khám chữa bệnh nam khoa, phụ khoa, bệnh xã hội, bệnh trĩ. Cùng với hệ thống trang thiết bị hiện đại, phòng khám sạch sẽ, đội ngũ y, bác sĩ chuyên khoa có nhiều năm kinh nghiệm, đã từng làm việc ở những bệnh viện lớn ở nước ngoài. Dịch vụ y tế ở đây được nâng cao giúp người bệnh thấy thoải mái nhất. An Đức là phòng khám luôn luôn đặt sức khỏe và niềm tin của người bệnh lên hàng đầu. Vì thế, toàn bộ thông tin cá nhân của người mắc bệnh đều được bảo mật, giúp cho người mắc bệnh có thể yên tâm chia sẻ các vẫn đề mình đang gặp phải.
Không những thế, [Only registered and activated users can see links. ] cũng là điều làm cho bệnh nhân lo lắng nhất khi đi khám, vì không biết mắc hay là rẻ, có đủ tiền để khám bệnh hay không. Thì khi đến với phòng khám An Đức, mọi chi phí đều được công khai và niêm yết giá, giúp cho người mắc bệnh chủ động hơn trong việc lựa chọn phương pháp khám và chữa bệnh phù hợp với kinh tế của bản thân.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]