Seminar các PP toán sơ cấp: Sáng tạo phương trình hàm từ các hằng đẳng thức

leviethai · 18-07-2010, 03:04 PM

Chào các bạn,

Seminar các phương pháp toán sơ cấp sẽ được tiếp tục vào ngày 1/8/2010 với chủ đề "Sáng tạo phương trình hàm từ các hằng đẳng thức".

Địa điểm: Phòng A702, trường PTNK, 153 Nguyễn Chí Thanh, Quận 5
Thời gian: Từ 8h30-11h00 sáng chủ nhật 1/8/2010.

Để chuẩn bị cho seminar, nhờ các bạn đóng góp bài, bài giải, các ý kiến phân tích cho chủ đề này.

Tình hình là mình và một người bạn sẽ là người thuyết trình đề tài này, vì cũng muốn thử sức và cũng vì yêu thích PTH. Tuy đề tài là vậy, nhưng mình thực sự muốn các bạn đóng góp những bài toán đẹp mà lời giải "hoàn toàn sơ cấp", hoặc những phương pháp để giải PTH, hoặc cũng có thể là những bài mà các bạn tự nghĩ ra, nhưng chưa giải được hoặc chỉ có một vài ý tưởng nhỏ.

Những bài đóng góp mong là sẽ sơ cấp, vì nói thật mình mới chỉ lên lớp 11 nên sợ rằng cao quá sẽ không gánh vác nổi.

Mong các bạn sẽ giúp mình để Seminar hoàn thành tốt đẹp.

Xin cám ơn các bạn rất nhiều.

P/S: địa chỉ liên hệ [Only registered and activated users can see links. ].

nguyen__ · 18-07-2010, 10:20 PM

Anh có file các lí thuyết và bài tập của buổi lần trước không ạ, anh upload lên diễn đàn được không ạ , em cám ơn anh

nhiên · 18-07-2010, 11:55 PM

Trích:

Nguyên văn bởi leviethai

Chào các bạn,

Seminar các phương pháp toán sơ cấp sẽ được tiếp tục vào ngày 1/8/2010 với chủ đề "Sáng tạo phương trình hàm từ các hằng đẳng thức".

Địa điểm: Phòng A702, trường PTNK, 153 Nguyễn Chí Thanh, Quận 5
Thời gian: Từ 8h30-11h00 sáng chủ nhật 1/8/2010.

Để chuẩn bị cho seminar, nhờ các bạn đóng góp bài, bài giải, các ý kiến phân tích cho chủ đề này.

Tình hình là mình và một người bạn sẽ là người thuyết trình đề tài này, vì cũng muốn thử sức và cũng vì yêu thích PTH. Tuy đề tài là vậy, nhưng mình thực sự muốn các bạn đóng góp những bài toán đẹp mà lời giải "hoàn toàn sơ cấp", hoặc những phương pháp để giải PTH, hoặc cũng có thể là những bài mà các bạn tự nghĩ ra, nhưng chưa giải được hoặc chỉ có một vài ý tưởng nhỏ.

Những bài đóng góp mong là sẽ sơ cấp, vì nói thật mình mới chỉ lên lớp 11 nên sợ rằng cao quá sẽ không gánh vác nổi.

Mong các bạn sẽ giúp mình để Seminar hoàn thành tốt đẹp.

Xin cám ơn các bạn rất nhiều.

P/S: địa chỉ liên hệ [Only registered and activated users can see links. ].

Bài viết này của tác giả Ngô Quang Dũng ko biết có giúp gì mọi người ko

leviethai · 21-07-2010, 07:14 PM

Để mọi người có thể dễ dàng đóng góp hơn, xin đưa ra một vài vấn đề:

1) Ngoài hàm $f(x) = ax $, còn hàm nào thỏa $f(x+y)=f(x)+f(y) $

2) Tìm tất cả hàm $f: R \to R $ thỏa mãn:
$f^2(x+y)=f(x^2)+2f(x)f(y)+f(y^2) $ $\forall x,y \in R $

3) Với $n \in {N^*} $ cho trước, tìm tất cả hàm $f: R \to R $ thỏa mãn:
$f\left( {{x_1} + x_2^2 + ... + x_n^n} \right) = f\left( {{x_1}} \right) + {f^2}\left( {{x_2}} \right) + ... + {f^n}\left( {{x_n}} \right) $ $\forall {x_1},{x_2},...,{x_n} \in R $

4) Tìm tất cả hàm $f: R \to R $ thỏa mãn:
$\left( {f(x) + f(z)} \right)\left( {f(y) + f(t)} \right) = f(xy - zt) + f(xt + yz) $ $\forall x,y,z,t \in R $

5) Tìm tất cả các hàm $f:{Q^ + } \to {Q^ + } $ thỏa mãn:
$f\left( x \right) + f\left( y \right) + 2xy.f\left( {xy} \right) = \dfrac{{f\left( {xy} \right)}}{{f\left( {x + y} \right)}} $ $\forall x,y \in {Q^ + } $

6) Tìm tất cả hàm $f: R \to R $ thỏa mãn đồng thời:
a) $f\left( {{x^4} - {y^4}} \right) = f\left( {x - y} \right)f\left( {x + y} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right) $ $\forall x,y \in R $
b) $f\left( {xy} \right) = f\left( x \right)f\left( y \right) $ $\forall x,y \ge 0 $

7) Tìm tất cả hàm $f: R \to R $ thỏa mãn :
$f\left[ {{x^2} + f\left( y \right)} \right] = y + {f^2}\left( x \right) $ $\forall x,y \in R $

Trước mắt là vậy, mọi người có ý kiến đóng góp xin gửi về email: [Only registered and activated users can see links. ] hoặc email qua nick leviethai trên diễn đàn. (nếu là lời giải mong mọi người không post ở đây, để seminar có thể diễn ra một cách hào hứng hơn

, còn nếu là ý kiến mở rộng bài toán, hay đề xuất bài toán thì rất cảm ơn)

Rất mong được nghe ý kiến của mọi người. Xin cảm ơn.

nam1994 · 21-07-2010, 07:27 PM

Chúc seminar diễn ra tốt đẹp!
mình đóng góp bài sau
Tìm tất cả các hàm: $f: (0 \to +\infty) \to (0 \to +\infty) $ thỏa mãn:
$xf(xf(y))=f(f(y)) $ với mọi x,y thuộc $(0 \to +\infty) $

Evarist Galois · 21-07-2010, 07:33 PM

Tìm $f: R \to R $ liên tục thỏa mãn
$[1+f(x)f(y)]f(x+y)=f(x)+f(y) $

**novae** · 21-07-2010, 08:07 PM

1/
$f:\mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+ $
$f(x^3+y)=f^3(x)+f\left (\frac{xy}{x} \right ) \forall x,y \in\mathbb{R}^+ $
2/
f xác định và liên tục trên $\mathbb{R}^+ $
$f(\sqrt{xy})=\frac{f(x)+f(y)}{2} $

tuan_lqd · 21-07-2010, 08:15 PM

Tìm $f:R \to R $ biết :
$i)f(x+1)=f(x)+1 $
$ii)f(x^{2})=(f(x))^{2} $ với mọi $x\in R $

leviethai · 21-07-2010, 09:01 PM

Mong mọi người không chỉ đóng góp bài toán mà còn đóng góp bài giải. Xin cảm ơn.

nam1994 · 21-07-2010, 10:47 PM

Trích:

Nguyên văn bởi novae

1/
$f:\mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+ $
$f(x^3+y)=f^3(x)+f\left (\frac{xy}{y} \right ) \forall x,y \in\mathbb{R}^+ $
2/
f xác định và liên tục trên $\mathbb{R}^+ $
$f(\sqrt{xy})=\frac{f(x)+f(y)}{2} $

Bài mình có thể để mọi người thảo luận

bài 1 có vẻ sai đề thì phải; bài 2 của ban novae dùng tính chất của hàm Côsi:
Do x,y>0 nên ta có thể đặt $x=e^a, y=e^b; f(e^a)=g(a) $
từ đk ta có $f $ liên tục => $g $ liên tục
$g(\frac{a+b}{2})=\frac{g(a)+g(b)}{2} $
=> g(a) có dạng ca+d với c,d tùy ý, a thuộc $\mathbb{R}^+ $
=> f(x)=..........
------------------------------

Trích:

Nguyên văn bởi tuan_lqd

Tìm $f:R \to R $ biết :
$i)f(x+1)=f(x)+1 $
$ii)f(x^{2})=(f(x))^{2} $ với mọi $x\in R $

Bài nì dùng quy nạp chắc có 2 nghiệm $f(x)=x, f(x)=x+1 $

**novae** · 21-07-2010, 11:24 PM

Trích:

Nguyên văn bởi nam1994

bài 1 có vẻ sai đề thì phải

đề sai thật, đã sửa

lời giải:
cho y=1, ta được $f(x+1)=f^3(x)+1 $ (1)
cho x=1, $f(y+1)=f^3(1)+\frac{f(y)}{f(1)} $ (2)
đặt $f (1) = a $ thì sử dụng (1) ta tính dc
$f(2)=a^3+1;f(9)=\left ( a^3+1 \right )^3+1 $
mặt khác, sử dụng (2), ta có
$f(3)=a^3+\frac{f(2)}{a}=a^3+a^2+\frac{1}{a} \\ f(4)=a^3+\frac{f(3)}{a}=a^3+a^2+a+\frac{1}{a^2} \\ ....................... \\ f(9)=a^3+a^2+a+1+\frac{1}{a}+\frac{1}{a^2}+\frac{1 }{a^3}+\frac{1}{a^4}+\frac{1}{a^7} $
từ đó suy ra
$\left ( a^3+1 \right )^3+1=a^3+a^2+a+1+\frac{1}{a}+\frac{1}{a^2}+\frac{ 1}{a^3}+\frac{1}{a^4}+\frac{1}{a^7} $
ta tìm dc a=1
vậy $f(x+1)=f(x)+1;f(x^3)=f^3(x) $
suy ra $f(x+n)=f(x)+n $với n nguyên dương
với $r=\frac{p}{q}\in \mathbb{Q}^+ $ ta có:
$f\left ( \left ( r+q^2 \right )^3 \right )=f^3\left ( r+q^2 \right )=\left [ f(r)+q^2 \right ]^3 $
mặt khác
$f\left ( \left ( r+q^2 \right )^3 \right )=f\left ( r^3+3p^2+3pq^3+q^6 \right ) \\ =f(r^3)+3p^2+3pq^3+q^6=f^3(r)+3p^2+3pq^3+q^6 $
suy ra ptr $q^2f^2(r)+q^4f(r)=p^2+pq^3 $
giải ptr này, chú ý rằng $f(r)>0 $, ta được $f(r)=\frac{p}{q}=r, \forall r \in \mathbb{Q}^+ $
với mọi x,y >0, ta có $f(x+y)=f\left ( \left ( \sqrt[3]x \right )^3+y \right )=f^3(\sqrt[3]x)+\frac{f(\sqrt[3]{xy})}{f\sqrt[3]x}>f(x) $
suy ra f là hàm tăng trên $\mathbb{Q}^+ $
với mỗi $x \in \mathbb{R}^+ $, xét dãy số hữu tỉ $\left \{ u_n \right \} $ tăng dần về x, ta có $f(x) \ge f(u_n)=u_n $, chuyển sang giới hạn, ta có $f(x)\ge x $
tương tự suy ra $f(x)\le x $
vậy $f(x)=x \forall x\in \mathbb{R}^+ $

nam1994 · 21-07-2010, 11:27 PM

Trích:

Nguyên văn bởi novae

đề sai thật, đã sửa

lời giải:
cho y=1, ta được $f(x+1)=f^3(x)+1 $ (1)
cho x=1, $f(y+1)=f^3(1)+\frac{f(y)}{f(1)} $ (2)
.............................
đi ngủ đã, mai post tiếp

Đề bài 1 sửa thành j vậy bạn

ttnq · 22-07-2010, 12:56 AM

Mình đề nghị bài này,dù đã có offical solution nhưng vẫn thấy nhiều khó khăn khi giải

(IMO Shortlish 2004)Tìm tất cả các hàm $f:R \to R $ thỏa $f(x^2+y^2+2f(xy))=(f(x+y))^2 $ với mọi số thực x,y.

Hy vọng sẽ đc hướng dẫn và bàn luận tại seminar

**huynhcongbang** · 22-07-2010, 04:48 AM

Trích:

Nguyên văn bởi leviethai

Để mọi người có thể dễ dàng đóng góp hơn, xin đưa ra một vài vấn đề:

1) Ngoài hàm $f(x) = ax $, còn hàm nào thỏa $f(x+y)=f(x)+f(y) $

2) Tìm tất cả hàm $f: R \to R $ thỏa mãn:
$f^2(x+y)=f(x^2)+2f(x)f(y)+f(y^2) $ $\forall x,y \in R $

1) Thực ra nếu công thức: $f(x+y)=f(x)+f(y) $ đúng với mọi x, y thì ta đã có: $f(x)=ax, x \in\mathbb{Q} $ rồi, nếu thêm liên tục là có ngay công thức đúng với mọi x. Nếu muốn tìm một hàm khác ax thì phải xây dựng một hàm trên tập vô tỉ thỏa điều kiện ban đầu. Tất nhiên là phải có hàm như vậy, nhưng không biết kiến thức Toán sơ cấp có xây dựng được không nữa.
2) Cho x=y=0, ta có: $f^2(0)=2f(0)+2f^2(0) \Rightarrow f(0)=0 $.
Cho $y=0 $, ta có: $f^2(x)=f(x^2) $.
Suy ra:
$f^2(x+y)=f(x^2)+2f(x)f(y)+f(y^2)=f^2(x)+2f(x).f(y) +f^2(y)=[f(x)+f(y)]^2\Leftrightarrow [f(x+y)-f(x)-f(y)][f(x+y)+f(x)+f(y)]=0 $.
Đến đấy rồi lập luận tiếp!
Thực ra thì hai bài trên mình chỉ nêu ý kiến thôi chứ chưa có giải ra!

Do chủ đề là sáng tạo PTH từ các HĐT nên mình thử nêu một bài góp vui:

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} $ thỏa mãn:
$\frac{f(1)-\left [f(x)+f(y)+f(z) \right ]+\left [f(xy)+f(yz)+f(zx) \right ]-f(xyz)}{(1-x^2)(1-y^2)(1-z^2)}=2011 $, với mọi $x,y,z\neq \pm 1 $.

**namdung** · 22-07-2010, 05:19 AM

Nếu được các bạn trích dẫn nguồn của các bài toán trên luôn. Các bạn cũng chú ý đến chủ đề của seminar là "Sáng tạo phương trình hàm từ các hằng đẳng thức".
Như vậy nó hẹp hơn so với chủ đề: "Các PP giải phương trình hàm".
Tôi đóng góp 2 bài rất hợp với chủ đề này, đó là:
1. (IMO 2002) Tìm tất cả các hàm số xác định trên tập số thực và nhận giá trị thực sao cho $(f(x) + f(y))(f(z)+f(t)) = f(xz-yt) + f(xt+yz) $ với mọi x, y, z, t thực.
2. (IMO 2004) Tìm tất cả các đa thức với hệ số thực sao cho đẳng thức $ f(a-b) + f(b-c) + f(c-a) = 2(f(a) + f(b) + f(c)) $ đúng với mọi a, b, c thực thỏa mãn điều kiện ab + bc + ca = 0.
Chúng ta có thể thấy rõ xuất xứ "hằng đẳng thức" của hai phương trình hàm này.

18-07-2010, 03:04 PM	#1
leviethai +Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2008 Đến từ: Thành phố Hồ Chí Minh. Nhưng quê tôi là Ninh Bình. Bài gởi: 513 Thanks: 121 Thanked 787 Times in 349 Posts	Seminar các PP toán sơ cấp: Sáng tạo phương trình hàm từ các hằng đẳng thức Chào các bạn, Seminar các phương pháp toán sơ cấp sẽ được tiếp tục vào ngày 1/8/2010 với chủ đề "Sáng tạo phương trình hàm từ các hằng đẳng thức". Địa điểm: Phòng A702, trường PTNK, 153 Nguyễn Chí Thanh, Quận 5 Thời gian: Từ 8h30-11h00 sáng chủ nhật 1/8/2010. Để chuẩn bị cho seminar, nhờ các bạn đóng góp bài, bài giải, các ý kiến phân tích cho chủ đề này. Tình hình là mình và một người bạn sẽ là người thuyết trình đề tài này, vì cũng muốn thử sức và cũng vì yêu thích PTH. Tuy đề tài là vậy, nhưng mình thực sự muốn các bạn đóng góp những bài toán đẹp mà lời giải "hoàn toàn sơ cấp", hoặc những phương pháp để giải PTH, hoặc cũng có thể là những bài mà các bạn tự nghĩ ra, nhưng chưa giải được hoặc chỉ có một vài ý tưởng nhỏ. Những bài đóng góp mong là sẽ sơ cấp, vì nói thật mình mới chỉ lên lớp 11 nên sợ rằng cao quá sẽ không gánh vác nổi. Mong các bạn sẽ giúp mình để Seminar hoàn thành tốt đẹp. Xin cám ơn các bạn rất nhiều. P/S: địa chỉ liên hệ [Only registered and activated users can see links. ].

21-07-2010, 07:27 PM	#5
nam1994 +Thành Viên+ Tham gia ngày: Aug 2009 Bài gởi: 210 Thanks: 67 Thanked 31 Times in 26 Posts	Chúc seminar diễn ra tốt đẹp! mình đóng góp bài sau Tìm tất cả các hàm: $f: (0 \to +\infty) \to (0 \to +\infty) $ thỏa mãn: $xf(xf(y))=f(f(y)) $ với mọi x,y thuộc $(0 \to +\infty) $ __________________ Stand up

21-07-2010, 07:33 PM	#6
Evarist Galois +Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2009 Đến từ: Từ A0 đến FTU Bài gởi: 320 Thanks: 57 Thanked 180 Times in 95 Posts	Tìm $f: R \to R $ liên tục thỏa mãn $[1+f(x)f(y)]f(x+y)=f(x)+f(y) $ __________________ $f=arcos(1-\frac{h}{3g}.(f')^2)=arsin(\frac{2h}{3g}.f'') $

21-07-2010, 08:07 PM	#7
novae +Thành Viên Danh Dự+ Tham gia ngày: Jul 2010 Đến từ: Event horizon Bài gởi: 2,453 Thanks: 53 Thanked 3,057 Times in 1,288 Posts	1/ $f:\mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+ $ $f(x^3+y)=f^3(x)+f\left (\frac{xy}{x} \right ) \forall x,y \in\mathbb{R}^+ $ 2/ f xác định và liên tục trên $\mathbb{R}^+ $ $f(\sqrt{xy})=\frac{f(x)+f(y)}{2} $ thay đổi nội dung bởi: novae, 21-07-2010 lúc 11:18 PM

22-07-2010, 12:56 AM	#13
ttnq +Thành Viên+ Tham gia ngày: Dec 2009 Đến từ: Sài Gòn Bài gởi: 45 Thanks: 37 Thanked 10 Times in 10 Posts	Mình đề nghị bài này,dù đã có offical solution nhưng vẫn thấy nhiều khó khăn khi giải (IMO Shortlish 2004)Tìm tất cả các hàm $f:R \to R $ thỏa $f(x^2+y^2+2f(xy))=(f(x+y))^2 $ với mọi số thực x,y. Hy vọng sẽ đc hướng dẫn và bàn luận tại seminar thay đổi nội dung bởi: ttnq, 22-07-2010 lúc 01:03 AM

18-07-2010, 10:20 PM	#2
nguyen__ +Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2009 Đến từ: TTGDTX-Đầm Dơi-Cà Mau Bài gởi: 65 Thanks: 63 Thanked 13 Times in 5 Posts	Anh có file các lí thuyết và bài tập của buổi lần trước không ạ, anh upload lên diễn đàn được không ạ , em cám ơn anh

21-07-2010, 07:14 PM	#4
leviethai +Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2008 Đến từ: Thành phố Hồ Chí Minh. Nhưng quê tôi là Ninh Bình. Bài gởi: 513 Thanks: 121 Thanked 787 Times in 349 Posts	Để mọi người có thể dễ dàng đóng góp hơn, xin đưa ra một vài vấn đề: 1) Ngoài hàm $f(x) = ax $, còn hàm nào thỏa $f(x+y)=f(x)+f(y) $ 2) Tìm tất cả hàm $f: R \to R $ thỏa mãn: $f^2(x+y)=f(x^2)+2f(x)f(y)+f(y^2) $ $\forall x,y \in R $ 3) Với $n \in {N^} $ cho trước, tìm tất cả hàm $f: R \to R $ thỏa mãn: $f\left( {{x_1} + x_2^2 + ... + x_n^n} \right) = f\left( {{x_1}} \right) + {f^2}\left( {{x_2}} \right) + ... + {f^n}\left( {{x_n}} \right) $ $\forall {x_1},{x_2},...,{x_n} \in R $ 4) Tìm tất cả hàm $f: R \to R $ thỏa mãn: $\left( {f(x) + f(z)} \right)\left( {f(y) + f(t)} \right) = f(xy - zt) + f(xt + yz) $ $\forall x,y,z,t \in R $ 5) Tìm tất cả các hàm $f:{Q^ + } \to {Q^ + } $ thỏa mãn: $f\left( x \right) + f\left( y \right) + 2xy.f\left( {xy} \right) = \dfrac{{f\left( {xy} \right)}}{{f\left( {x + y} \right)}} $ $\forall x,y \in {Q^ + } $ 6) Tìm tất cả hàm $f: R \to R $ thỏa mãn đồng thời: a) $f\left( {{x^4} - {y^4}} \right) = f\left( {x - y} \right)f\left( {x + y} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right) $ $\forall x,y \in R $ b) $f\left( {xy} \right) = f\left( x \right)f\left( y \right) $ $\forall x,y \ge 0 $ 7) Tìm tất cả hàm $f: R \to R $ thỏa mãn : $f\left[ {{x^2} + f\left( y \right)} \right] = y + {f^2}\left( x \right) $ $\forall x,y \in R $ Trước mắt là vậy, mọi người có ý kiến đóng góp xin gửi về email: [Only registered and activated users can see links. ]* hoặc email qua nick leviethai trên diễn đàn. (nếu là lời giải mong mọi người không post ở đây, để seminar có thể diễn ra một cách hào hứng hơn , còn nếu là ý kiến mở rộng bài toán, hay đề xuất bài toán thì rất cảm ơn) Rất mong được nghe ý kiến của mọi người. Xin cảm ơn.

21-07-2010, 08:15 PM	#8
tuan_lqd +Thành Viên+ Tham gia ngày: Sep 2008 Đến từ: Đà Nẵng Bài gởi: 111 Thanks: 31 Thanked 74 Times in 36 Posts	Tìm $f:R \to R $ biết : $i)f(x+1)=f(x)+1 $ $ii)f(x^{2})=(f(x))^{2} $ với mọi $x\in R $

21-07-2010, 09:01 PM	#9
leviethai +Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2008 Đến từ: Thành phố Hồ Chí Minh. Nhưng quê tôi là Ninh Bình. Bài gởi: 513 Thanks: 121 Thanked 787 Times in 349 Posts	Mong mọi người không chỉ đóng góp bài toán mà còn đóng góp bài giải. Xin cảm ơn.

22-07-2010, 05:19 AM	#15
namdung Administrator Tham gia ngày: Feb 2009 Đến từ: Tp Hồ Chí Minh Bài gởi: 1,343 Thanks: 209 Thanked 4,066 Times in 778 Posts	Nếu được các bạn trích dẫn nguồn của các bài toán trên luôn. Các bạn cũng chú ý đến chủ đề của seminar là "Sáng tạo phương trình hàm từ các hằng đẳng thức". Như vậy nó hẹp hơn so với chủ đề: "Các PP giải phương trình hàm". Tôi đóng góp 2 bài rất hợp với chủ đề này, đó là: 1. (IMO 2002) Tìm tất cả các hàm số xác định trên tập số thực và nhận giá trị thực sao cho $(f(x) + f(y))(f(z)+f(t)) = f(xz-yt) + f(xt+yz) $ với mọi x, y, z, t thực. 2. (IMO 2004) Tìm tất cả các đa thức với hệ số thực sao cho đẳng thức $ f(a-b) + f(b-c) + f(c-a) = 2(f(a) + f(b) + f(c)) $ đúng với mọi a, b, c thực thỏa mãn điều kiện ab + bc + ca = 0. Chúng ta có thể thấy rõ xuất xứ "hằng đẳng thức" của hai phương trình hàm này.