Đề kiểm tra đội tuyển!

[nam1994]

Câu 1: Giải hệ
$\left{\begin{\frac {1}{x}- \frac {1}{2y}=2(y^4-x^4)\\ \frac {1}{x}+\frac{1}{2y}=(3x^2+y^2)(x^2+3y^2) $
Câu 2: Cho a, b, c tm $1 \leq a,b,c \leq 4; abc \leq 8 $
a. Tìm min của $A= \frac {2}{b} + \frac{4}{c} $
b. tìm max của B= a+b+c
Câu 3: Cho lục giác lồi ABCDEF có AB=BC, CD=DE, EF=FA. CM $\frac {BC}{BE} + \frac {DE}{DA} + \frac {FA}{FC} \geq \frac {3}{2} $
Câu 4: Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình $x^y+y^z+z^x=2(x+y+z) $
Câu 5: CM từ 1 tập S bất kì gồm 14 số tự nhiên phân biệt ta luôn chọn được 2 tập con không giao nhau của tập S {a1, a2,.....ak}; {b1, b2,...bk} tm
$( \frac {1}{a1} + \frac{1}{a2} +...+ \frac {1}{ak})-(\frac{1}{b1} +\frac{1}{b2} +.......+\frac{1}{bk}) \leq 0,001 $

Hix lần này chắc ở nhà rồi, không làm được hết! Chán quá
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Conan Edogawa]

Nguyên văn bởi nam1994

Câu 3: Cho lục giác lồi ABCDEF có AB=BC, CD=DE, EF=FA. CM $\frac {BC}{BE} + \frac {DE}{DA} + \frac {FA}{FC} \geq \frac {3}{2} $

Đặt AC=a, CE=b, AE=c
Áp dụng BĐT Ptoleme cho tứ giác ACEF ta có: $AC.EF+AF.CE\geq AE.CF $
Vì EF=AF nên $\frac{FA}{FC}\geq \frac{c}{a+b} $

Tương tự $\frac{DE}{DA}\geq \frac{b}{c+a} , \frac{BC}{BE}\geq \frac{a}{b+c} $

BĐT đã cho tương đương với $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq\frac {3}{2} $ (đúng đây là BĐT Nesbit)

Bài này có 1 kết quả mở rộng sau: (cm quy về SOS)
$\frac {BC}{BE} + \frac {DE}{DA} + \frac {FA}{FC} \geq \frac {3}{2}+\frac{{(AC-CE)}^{2}+{(CE-AE)}^{2}+{(AE-AC)}^{2}}{{(AC+CE)}^{2}+{(CE+AE)}^{2}+{(AE+AC)}^{2 }} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[long777]

Câu 1 đơn giản rồi. Bài toán quen thuộc, là đề thi chọn học sinh giỏi thành phố hà nội năm 2004 thì phải. Trước đó là đề thi Putnam 2001. Bài này chỉ cần nhớ khai triển Newton của lũy thừa bậc 5 của (x+y) và x - y là xong.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[n.v.thanh]

đề ở đâu vậy!!!
lớp 10 mà đã....bài 1 ai post xem.bài bdt hình quen thuộc với PTOLEME(hình như là IMO shortlist)
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[nam1994]

bài hình thì dễ còn bài 1 thì đúng là đưa về dạng lũy thừa bậc 5 của x+y và x-y. nhưng còn cái bài tổ hợp kia, đọc mà hem hiểu hix
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[cry_15]

Có ai có định hướng làm bài 2 ko jup em với
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[nam1994]

Nguyên văn bởi cry_15

Có ai có định hướng làm bài 2 ko jup em với

Bài 2 dùng khai triển Abel
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]