mot bai don gian ve ly thuyet so

[hoanghon]

tim cac so tu nhien a,b,c thoa man dieu kien:

d=$\frac{abc-1}{(a-1)(b-1)(c-1)} $ la so tu nhien
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[conan236]

Nguyên văn bởi hoanghon

tim cac so tu nhien a,b,c thoa man dieu kien:

d=$\frac{abc-1}{(a-1)(b-1)(c-1)} $ la so tu nhien

không mất tính tổng quát ta giả sử $a{\le}b{\le}c $
đặt $x=abc-1 , y=(a-1)(b-1)(c-1) $
nhận xét nếu có 1 số chẵn thì x lẻ do đó y lẻ suy ra a,b,c đều chẵn
Do đó a,b,c cùng tính chẵn lẻ
Mặt khác xét hàm $f(t)={\frac{t}{t-1}} $ có $f'(t)={\frac{-1}{(t+1)^2}}<0 $
${\rightarrow} $ f giảm
ta có : $d={\frac{x}{y}}={\frac{abc-1}{(a-1)(b-1)(c-1)}}<{\frac{a}{a-1}}.{\frac{b}{b-1}}.{\frac{c}{c-1}} $
Nếu $a{\ge}4 $${\rightarrow}d={\frac{x}{y}}<{\frac{4}{3}}.{\frac{ 5}{4}}.{\frac{6}{5}}=2 $
${\rightarrow}d=1 $ vô lí![TEX]
Vậy $a{\le}3 $${\rightarrow}a=3 $ hoặc $a=2 $
Xét $a=3{\rightarrow}b{\ge}5,c{\ge}7 $
${\rightarrow}d={\frac{x}{y}}<{\frac{3}{2}}.{\frac{ 5}{4}}.{\frac{7}{6}}{\le}2 $
${\rightarrow}d=1 $ vô lí!
Xét $a=2{\rightarrow}d={\frac{x}{y}}<3,2 $
Nếu $k=2 $ thì pt trở thành $2bc-1=2(b-1)(c-1) $
tới đây thì quá dễ rồi nha
Nếu $k=3 $ thì tương tự
Kết quả thì các bạn tự tính nha việc này thì quá đơn giản rồi mình hơi mệt sorry nha:burnjossstick:
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[psquang_pbc]

conan236 làm với trường hợp 4 số luôn đi em
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[psquang_pbc]

Anh cho đáp số luôn, làm rồi kiểm tra di nhé ${2, 4, 10, 80} $ và ${3, 5, 17, 255}. $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[dong1919]

Khà làm cho 4 số thì cũng dễ thôi cơ bản là thử chọn Làm cho n số có ai làm được ko
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[psquang_pbc]

Đông thử chọn cái xem nào. Bài này hem dễ như bài 3 số đâu .
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Traum]

hehe chứ làm được ko .

Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n tồn tại ít nhất hai dãy $a_1,a_2,...,a_n $ sao cho $(a_1-1)(a_2-1)...(a_n-1) | a_1a_2...a_n-1 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[conan236]

Nguyên văn bởi psquang_pbc

Đông thử chọn cái xem nào. Bài này hem dễ như bài 3 số đâu .

em làm luôn zậy
không mất tính tổng quát ta giả sử $a{\le}b{\le}c{\le}d $
lí luận tương tự ta thấy a,b,c,d cùng tính chẵn lẻ
đặt $x=abcd-1 , y=(a-1)(b-1)(c-1)(d-1) $
Nếu $a{\ge}5 $ thì
$k={\frac{x}{y}}<{\frac{a}{a-1}}.{\frac{b}{b-1}}.{\frac{c}{c-1}}.{\frac{d}{d-1}} $
$k<{\frac{5}{4}}.{\frac{6}{5}}.{\frac{7}{6}}.{\frac {8}{7}}=2 $
suy ra $x=y $.Vô lí !
*khi $a=4{\rightarrow}b{\ge}6,c{\ge}8,d{\ge}10 $ ta có
$k={\frac{x}{y}}<{\frac{4}{3}}.{\frac{6}{5}}.{\frac {8}{7}}.{\frac{10}{9}}<3 $
Vậy$ k=2 $ : vô lí ! do $a,b,c,d $ lẻ
*khi $a=3{\rightarrow}b{\ge}5,c{\ge}7,d{\ge}9 $ ta có
$k={\frac{x}{y}}<{\frac{3}{2}}.{\frac{5}{4}}.{\frac {7}{6}}.{\frac{9}{8}}<3 $
Vậy $k=2 $.Mặt khác do $x{\equiv}-1 (mod 3) $ nên các số $b-1,c-1,d-1 $ không chia hết cho 3.Do đó nếu$ b{\neq}5 $ thì $b{\ge}9{\rightarrow}c{\ge}11,d{\ge}15 $
Ta được $k<{\frac{3}{2}}.{\frac{9}{8}}.{\frac{11}{10}}.{\fr ac{15}{14}}<2.
$Vô lí!
Vậy $b=5 $ và ta nhận được pt $15cd-1=16(c-1)(d-1){\rightarrow}(c-16)(d-16)=239{\rightarrow}c=17 $
${\rightarrow}(a,b,c,d)=(3,5,17,255) $
*Khi $a=2 $.Khi đó $(a,b,c,d) $ chẵn ,$k={\frac{x}{y}} $ lẻ.Ta có
$k={\frac{x}{y}}<{\frac{2}{1}}.{\frac{4}{3}}.{\frac {6}{5}}.{\frac{8}{7}}<4 $
${\rightarrow}k=3 $.Do $abcd-1=3y $ nên $b,c,d $ không chia hết cho 3.Vậy nếu $b{\neq}4 $ thì $b[\ge}8{\rightarrow}c{\ge}10,d{\ge}14 $.Ta được
$k={\frac{x}{y}}<{\frac{2}{1}}.{\frac{8}{7}}.{\frac {10}{9}}.{\frac{14}{13}}<3 $
Vô lí vì $k $ lẻ ${\neq}1 $
Vậy $b=4 $ từ dó thu được pt
$8cd-1=9(c-1)(d-1){\rightarrow}(c-9)(d-9)=71 $
${\rightarrow}(a,b,c,d)=(2,4,10,80) $
Vậy các nghiệm của pt là $(3,5,17,255);(2,4,10,80) $
đúng chưa anh Quang:burnjossstick:
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]