Anh 1996

**vipCD** · 18-01-2008, 07:48 PM

Tìm tất cả những nghiệm nguyên không âm $x,y,z $ của phương trình
$2^x+3^y=z^2 $
:nemoflow:

**Quân -k47DHV** · 18-01-2008, 08:10 PM

gợi ý :
$x = 2k $ ,đưa về $(z-2^{k} )(z+2^{k}) =3^{y} $
nên $z - 2^{k} = 3^{t} , z + 2^{k} = 3^{m} $

**vipCD** · 18-01-2008, 08:27 PM

hì bạn gợi ý thì ai giải chứ
bạn giải luôn đi, cho mọi người xem có mất mát gì đâu
thanks!

conan236 · 18-01-2008, 10:51 PM

Trích:

Nguyên văn bởi vipCD

Tìm tất cả những nghiệm nguyên không âm $x,y,z $ của phương trình
$2^x+3^y=z^2 $(1)
:nemoflow:

em làm không biết có đúng không nữa nếu sai mong mấy bác đưng chửi nha
ta có : $2^x+3^y=z^2 $
${\rightarrow}z=2k+1 $với $k{\in}N $
do đó : $z^2{\equiv}1 (mod 4) $
nếu $y=2l+1 $ thì $3^y{\equiv}3{\rightarrow}2^x=z^2-3^y{\equiv}1-3=-2(mod 4) $
${\rightarrow} $mâu thuẫn
do đó $y=2l (l{\in}N) $
${\rightarrow}4|x{\rightarrow}x{\ge}2 $
tiếp tục chứng minh $x=2h $ với $h{\in}N $ bằng cách xét đòng dư thôi
$(1){\leftrightarrow}(z-2^h)(z+2^h)=3^y $
tới đây thì đơn giản hơn nhiều rồi nha
mình buồn ngủ quá nên viết hơi ngắn gọn sorry nha:burnjossstick:
xin lỗi quên xét thêm x=0 sorry nha

Thesoulofrock · 18-01-2008, 11:00 PM

Xét thiếu nghiệm rồi.
x=0,y=1,z=2 (z có thể chẵn)

**conga1qt** · 19-01-2008, 06:08 AM

Xét các trường hợp sau:
$ x=0 => z^2-3^y=1 <=> (z-1)(z+1)=3^y $
$ y=0 => z^2-2^x=1 <=> (z-1)(z+1)=2^x $
Xét $ xy \neq 0 $
Ta có : $ 2 \equiv -1 (mod 3) => 2^x+3^y = (-1)^x (mod 3 ) <=> z^2 \equiv (-1)^x (mod 3 ) $ => $ x $ chẵn
Thay $ x=2k
=> (z-x^k)(z+x^k)=3^y $ Đến đây dễ rùi

18-01-2008, 07:48 PM	#1
vipCD +Thành Viên Danh Dự+ Tham gia ngày: Nov 2007 Bài gởi: 403 Thanks: 34 Thanked 78 Times in 34 Posts	Anh 1996 Tìm tất cả những nghiệm nguyên không âm $x,y,z $ của phương trình $2^x+3^y=z^2 $ :nemoflow: __________________ *TRY*

18-01-2008, 08:10 PM	#2
Quân -k47DHV +Thành Viên Danh Dự+ Tham gia ngày: Jan 2008 Đến từ: Đại Học Y Hà Nội Bài gởi: 421 Thanks: 5 Thanked 105 Times in 80 Posts	gợi ý : $x = 2k $ ,đưa về $(z-2^{k} )(z+2^{k}) =3^{y} $ nên $z - 2^{k} = 3^{t} , z + 2^{k} = 3^{m} $ __________________ LƯƠNG Y KIÊM TỪ MẪU

18-01-2008, 08:27 PM	#3
vipCD +Thành Viên Danh Dự+ Tham gia ngày: Nov 2007 Bài gởi: 403 Thanks: 34 Thanked 78 Times in 34 Posts	hì bạn gợi ý thì ai giải chứ bạn giải luôn đi, cho mọi người xem có mất mát gì đâu thanks! __________________ *TRY*

18-01-2008, 11:00 PM	#5
Thesoulofrock +Thành Viên+ Tham gia ngày: Jan 2008 Đến từ: Cambridge, UK Bài gởi: 156 Thanks: 1 Thanked 73 Times in 45 Posts	Xét thiếu nghiệm rồi. x=0,y=1,z=2 (z có thể chẵn) __________________ Rằng xưa có gã từ quan Lên non tìm động hoa vàng ngủ say

19-01-2008, 06:08 AM	#6
conga1qt Moderator Tham gia ngày: Nov 2007 Đến từ: ANT Bài gởi: 266 Thanks: 9 Thanked 31 Times in 24 Posts	Xét các trường hợp sau: $ x=0 => z^2-3^y=1 <=> (z-1)(z+1)=3^y $ $ y=0 => z^2-2^x=1 <=> (z-1)(z+1)=2^x $ Xét $ xy \neq 0 $ Ta có : $ 2 \equiv -1 (mod 3) => 2^x+3^y = (-1)^x (mod 3 ) <=> z^2 \equiv (-1)^x (mod 3 ) $ => $ x $ chẵn Thay $ x=2k => (z-x^k)(z+x^k)=3^y $ Đến đây dễ rùi __________________ Ăn mày thứ cấp :nemoflow: :secretsmile: