Bất đẳng thức có ba biến tổng bằng 1

[haptrung]

Cho x, y, z là ba số thực không âm thỏa mãn: $x+y+z=1 $.
Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của:
$F=\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}+\sqrt{\frac{1-y}{1+y}}+\sqrt{\frac{1-z}{1+z}} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Gravita]

Nguyên văn bởi haptrung

Cho x, y, z là ba số thực không âm thỏa mãn: $x+y+z=1 $.
Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của:
$F=\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}+\sqrt{\frac{1-y}{1+y}}+\sqrt{\frac{1-z}{1+z}} $

Theo giả thiết: $\[1 - x \geqslant 0;1 + x > 0\] $
Ta có: $\[ - {x^2} \leqslant 0 \Rightarrow 1 - {x^2} \leqslant 1 \Rightarrow \sqrt {(1 - x)(1 + x)} \leqslant 1 \Rightarrow \sqrt {1 - x} \leqslant \frac{1}{{\sqrt {1 + x} }} \Rightarrow \sqrt {\frac{{1 - x}}{{1 + x}}} \geqslant 1 - x\] $
Tương tự: $\[\sqrt {\frac{{1 - y}}{{1 + y}}} \geqslant 1 - y;\sqrt {\frac{{1 - z}}{{1 + z}}} \geqslant 1 - z\] $
Cộng vế theo vế ta có: $\[F \geqslant 2\] $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[ngay and dem]

Bài này còn có ý tưởng khác là sử dụng đánh giá sau:
$\frac{a}{1+bc}\geq \frac{a^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[maxmin]

Nguyên văn bởi Gravita

Theo giả thiết: $\[1 - x \geqslant 0;1 + x > 0\] $
Ta có: $\[ - {x^2} \leqslant 0 \Rightarrow 1 - {x^2} \leqslant 1 \Rightarrow \sqrt {(1 - x)(1 + x)} \leqslant 1 \Rightarrow \sqrt {1 - x} \leqslant \frac{1}{{\sqrt {1 + x} }} \Rightarrow \sqrt {\frac{{1 - x}}{{1 + x}}} \geqslant 1 - x\] $
Tương tự: $\[\sqrt {\frac{{1 - y}}{{1 + y}}} \geqslant 1 - y;\sqrt {\frac{{1 - z}}{{1 + z}}} \geqslant 1 - z\] $
Cộng vế theo vế ta có: $\[F \geqslant 2\] $

Dấu bằng xảy ra khi nào ?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[thiendienduong]

Nguyên văn bởi haptrung

Cho x, y, z là ba số thực không âm thỏa mãn: $x+y+z=1 $.
Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của:
$F=\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}+\sqrt{\frac{1-y}{1+y}}+\sqrt{\frac{1-z}{1+z}} $

Giá trị lớn nhất.
Ta đi chứng minh: $\sqrt{\frac{1-y}{1+y}}+\sqrt{\frac{1-z}{1+z}}\leq \sqrt{\frac{1-x-y}{1+x+y}} $ với $x+y\leq \frac{4}{5} $.
Sau đó dùng đạo hàm để xử.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[maxmin]

Nguyên văn bởi Gravita

Theo giả thiết: $\[1 - x \geqslant 0;1 + x > 0\] $
Ta có: $\[ - {x^2} \leqslant 0 \Rightarrow 1 - {x^2} \leqslant 1 \Rightarrow \sqrt {(1 - x)(1 + x)} \leqslant 1 \Rightarrow \sqrt {1 - x} \leqslant \frac{1}{{\sqrt {1 + x} }} \Rightarrow \sqrt {\frac{{1 - x}}{{1 + x}}} \geqslant 1 - x\] $
Tương tự: $\[\sqrt {\frac{{1 - y}}{{1 + y}}} \geqslant 1 - y;\sqrt {\frac{{1 - z}}{{1 + z}}} \geqslant 1 - z\] $
Cộng vế theo vế ta có: $\[F \geqslant 2\] $

Sao lại giông nhau thế này nhỉ ?
[Only registered and activated users can see links. ]
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Gravita]

Nguyên văn bởi maxmin

Dấu bằng xảy ra khi nào ?

Thưa en! Dấu bằng xảy ra khi $x=1, y=z=0 $ hoặc các hoán vị ạ!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]