Kiểm tra đội tuyển Ninh Bình vòng 2 vòng 3 (cấu trúc ngày 1)

[shido_soichua]

Vòng 2 :
Bài 1: Cho các tham số dương $a,b,c $. Tìm nghiệm dương của hệ phương trình sau :
$x+y+z=a+b+c $
$4xyz-a^2x-b^2y-c^2z=abc $
Bài 2: Tìm các hàm $f :R \rightarrow R $ liên tục và đơn điệu trên R thỏa mãn điều kiện:
$f(x+y) + f(f(x)+f(y)) = f(f(x+f(y))+f(y+f(x))) $
Bài 3:
Cho hai đường tròn $(O_1) $, $(O_2) $ cắt nhau ở 2 điểm A và B. Các tiếp tuyến tại A,B. của $(O_1) $ cắt nhau ở K. Giả sử M là điểm chạy trên $(O_1) $ khác 2 điểm A và B. Đường thẳng AM cắt lại $(O_2) $ tại điểm P, KM cắt lại $(O_1) $ tại C, AC cắt $(O_2) $ ở Q. Chứng minh rằng:
1- Trung điểm PQ nằm trên đường thẳng MC.
2- Tìm quỹ tích giao điểm H của MC và PQ khi M di động trên $(O_1) $
Bài 4: Trong cuộc thi học sinh giỏi khu vực có học sinh của 8 trường THPT chuyên tham gia. Danh sách học sinh gồm 2011 người được đánh số thứ tự từ 1 đến 2011 sau khi đã xếp theo vần a,b,c, . . . ;
Chứng minh rằng có ít nhất một học sinh mà số thứ tự bằng tổng số thứ tự của 2 học sinh cùng trường với học sinh đó hoặc bằng 2 lần số thứ tự của một học sinh cùng trường với học sinh đó.
PS : Bài 4 em vẫn chưa làm đc có cao thủ nào ra tay giúp em với


Vòng 3:
Bài 1:
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có nghiệm duy nhất:
$x^2-2msin(cos x) +2 $
Bài 2:
Cho các số thực $x,y,z $ thay đổi thỏa mãn $x+y+z=0 $
Chứng minh rằng $2011^x+2011^y+2011^z\geq 2010^x+2010^y+2010^z $
Bài 3:
Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R (R>0). Gọi C là điểm tùy ý trên nửa đường tròn, D là hình chiếu vuông góc của C trên AB. Tia phân giác của góc ACD cắt đường tròn đường kính AC tại điểm thứ hai E, cắt tia phân giác của góc ABC tại H.
1, Tia phân giác của góc CAB cắt đường tròn đường kính AC tại điểm thứ hai F, cắt CE tại I. Tính diện tích tam giác FID khi nó đều.
2, Trên đoạn BH lấy điểm K sao cho HK=HD. Gọi J là giao điểm của À và BH. Xác định vị trí C để tổng khoảng cách từ các điểm I,J,K đến AB là lớn nhất
Bài 4: Gọi A là tập các số có 3 chữ số m=abc sao cho $1\leq a<b $, $b>c $. Tính tổng các số M
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[manhnguyen94]

Cái bài 4 có vẻ rất quen thuộc, giống đề thi học sinh giỏi lớp 9, quận Tây Hồ, năm 2002 [hơi giống thui ], sử dụng nguyên tắc Đi-rích-LÊ là được
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[narut0]

Cậu xem lại đề bài hình được không
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Persian]

Nguyên văn bởi shido_soichua

Bài 3:
Cho hai đường tròn $(O_1) $, $(O_2) $ cắt nhau ở 2 điểm A và B. Các tiếp tuyến tại A,B. của $(O_1) $ cắt nhau ở K. Giả sử M là điểm chạy trên $(O_1) $ khác 2 điểm A và B. Đường thẳng AM cắt lại $(O_2) $ tại điểm C, Ac cắt $(O_2) $ ở Q. Chứng minh rằng:
1- Trung điểm PQ nằm trên đường thẳng MC.
2- Tìm quỹ tích giao điểm H của MC và PQ khi M di động trên

Bạn xem lại đề
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[novae]

Nguyên văn bởi shido_soichua

Bài 4: Trong cuộc thi học sinh giỏi khu vực có học sinh của 8 trường THPT chuyên tham gia. Danh sách học sinh gồm 2011 người được đánh số thứ tự từ 1 đến 2011 sau khi đã xếp theo vần a,b,c, . . . ;
Chứng minh rằng có ít nhất một học sinh mà số thứ tự bằng tổng số thứ tự của 2 học sinh cùng trường với học sinh đó hoặc bằng 2 lần số thứ tự của một học sinh cùng trường với học sinh đó.
PS : Bài 4 em vẫn chưa làm đc có cao thủ nào ra tay giúp em với

Gọi 8 trường là $A,B,C,D,E,F,G,H $
Do số học sinh là 2011 nên tồn tại 1 trường có số học sinh tham gia $\ge \left[ \frac{2011}{8} \right]+1=252 $
Giả sử trường đó là $A $ và học sinh của trường đó được đánh số $a_1 < a_2 < \ldots < a_{252} < \ldots $
Giả sử không có trường nào có học sinh mà số thứ tự bằng tổng số thứ tự của 2 học sinh cùng trường với học sinh đó hoặc bằng 2 lần số thứ tự của một học sinh cùng trường với học sinh đó. Ta xét 251 hiệu $a_2-a_1,a_3-a_1, \ldots,a_{252}-a_1 $. Các hiệu này đôi một khác nhau và do giả sử vừa nêu nên chúng không phải là các số thứ tự của học sinh trường $A $. Vậy chúng là số thứ tự của 251 học sinh của 7 trường còn lại.
Do đó tồn tại ít nhất $\left[ \frac{251}{7} \right] +1=36 $ hiệu là số thứ tự của các học sinh 1 trường nào đó, chẳng hạn là trường $B $, $36 $ học sinh đó ứng với các số thứ tự $b_1<b_2<\ldots<b_{36} $
Ta lại xét các hiệu $b_2-b_1,b_3-b_1, \ldots, b_{36}-b_1 $. Do giả sử ban đầu 35 hiệu này không thể là số thứ tự của học sinh nào trường $B $, cũng như $A $. Vậy 35 hiệu đó là số thứ tự của 65 học sinh 6 trường còn lại......
Cứ tiếp tục như vậy sẽ dẫn đến điều vô lý. Vậy ta có đpcm.

Không biết có sai ở đâu không nhỉ?

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[MathForLife]

Anh thử làm tiếp đi ! Sao em giải tiếp tục như vậy lại ko dc...
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[novae]

Nguyên văn bởi shido_soichua

Bài 3:
Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R (R>0). Gọi C là điểm tùy ý trên nửa đường tròn, D là hình chiếu vuông góc của C trên AB. Tia phân giác của góc ACD cắt đường tròn đường kính AC tại điểm thứ hai E, cắt tia phân giác của góc ABC tại H.
1, Tia phân giác của góc CAB cắt đường tròn đường kính AC tại điểm thứ hai F, cắt CE tại I. Tính diện tích tam giác FID khi nó đều.
2, Trên đoạn BH lấy điểm K sao cho HK=HD. Gọi J là giao điểm của À và BH. Xác định vị trí C để tổng khoảng cách từ các điểm I,J,K đến AB là lớn nhất

1.
Tam giác $FID $ có $FI=FD $
Do đó $\Delta FID $ đều $\Leftrightarrow \widehat{DFI}=60^\circ \Leftrightarrow \widehat{ACD}=60^\circ \Leftrightarrow \widehat{BAC}=30^\circ $
Để tính diện tích tam giác $DIF $, ta chỉ cần tính độ dài $DI $
Áp dụng công thức đường phân giác, ta có $DI=\frac{\sqrt2 DA \cdot DC}{CD+DA+AC} $
Các độ dài $AD,DC,AC $ dễ dàng tính theo $R $ khi đã có góc $\widehat{BAC}=30^\circ $

tính $FD=\frac{CD}{2\cos 15^\circ} $ cũng được

2.
Trước hết, ta có $I,J,K $ là tâm nội tiếp các tam giác $ADC,ABC,BCD $ (không khó khăn lắm để chứng minh )
Gọi $G $ là giao điểm của $CE $ và $AB $
Ta có $\frac{GI}{IC}=\frac{AG}{AC}=\frac{DG}{DC}=\frac{AG +DG}{AC+DC}=\frac{AD}{AC+CD} $
$\Rightarrow \frac{d(I,AB)}{CD}=\frac{GI}{GC}=\frac{AD}{AC+CD+D A} $
Lại có $\Delta ACD \sim \Delta ABC $
$\Rightarrow \frac{AD}{AC}=\frac{AC+CD+DA}{AB+BC+CA} \Rightarrow \frac{d(I,AB)}{CD}=\frac{AC}{AB+BC+CA} $
Tương tự, ta có $\frac{d(J,AB)}{CD}=\frac{AB}{AB+BC+CA}, \frac{d(K,AB)}{CD}=\frac{BC}{AB+BC+CA} $
Do đó $d(I,AB)+d(J,AB)+d(K,AB)=CD $
Vậy $d(I,AB)+d(J,AB)+d(K,AB) \max \Leftrightarrow CD \max \Leftrightarrow C $ là trung điểm cung $AB $
----------------------------
@MathForLife: cũng chả biết nữa, có khi sai rồi
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[mabeoex]

Bài 1: Cho các tham số dương . Tìm nghiệm dương của hệ phương trình sau :


ai giúp mình giải bài này với
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[phuonglvt]

Còn để vòng 1 post lên cho c xem, đăng
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[daylight]

bài 2 con cuối có phải là f(f(y+f(x))) không hay chỉ là f(y+f(x)) vậy anh
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[luunam]

Bài 1 là bài thi của Mĩ từ lâu rồi.
Cái phương trình thứ 2 chuyển vể rồi chia cả 2 vế cho xyz sau đó dùng lượng giác.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[shido_soichua]

Daylight: Lấy f của toàn bộ biểu thức em ạ.
All people: Em sửa đề bài hình rồi đấy ạ. Bài 4 em cũng ko làm đc nhưng sửa thành 6 trường thi chắc là được mọi người thử xem.
phuonglvt: Em post rồi chị có thưởng em bim bim ko ? Vòng 1 em không kiểm tra nhưng mà dễ chị ạ. Mọi người đều làm đc mà
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[hophinhan_LHP]

Bài 3_ngày 1 :

a/ Gọi thêm D là giao điểm thứ 2 của MB với $(O_2) $. Với chú ý MC song song với DQ, ta nhận thấy MC đi qua trung điểm PQ tương đương với MC đi qua tring điểm PD. Nhưng điểu này là hiển nhiên vì MC (đi qua K) chính là đường đối trung của tam giác MAB, đi qua trung điểm tam giác ADP (đồng dạng với MAB)

b/ Gọi trung điểm của PD là J, theo câu a ta đã chứng minh được A,C,K,J,H thẳng hàng.
Ta sẽ chứng minh $O_2KBH $ là tứ giác nội tiếp đường tròn.
Gọi thêm giao điểm thứ 2 của BK với $(O_2) $ là L.
Bởi vì :$\hat{DPL}=\hat{MDK}=90^o-\hat{O_1BM}=\frac{1}{2}\hat{MO_1B}=\hat{BAP}=\hat{ BLP} $ nên BDPL là hình thang với BD||PL ; Suy ra : $\hat{O_2BK}=\hat{O_2PD}=\hat{O_2HJ} $ => $O_2KBH $ nội tiếp đường tròn
Như vậy H nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $O_2KB $_là một đường tròn cố định.

@@ Sr vì đang ngồi quán net nên mình không giải chi tiết hơn được
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[daylight]

Mấy anh giải giúp em bài phương trình hàm được khộng ạ
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]