Đề thi chọn đội tuyển HSG Toán lớp 12 THPT Lương Thế Vinh,Đồng Nai 2009-2010,150 Phút

nbkschool · 07-09-2009, 05:24 PM

Bài 1:
Tập hợp các số nguyên dương được tô bởi 2 màu đen và trắng.Giả thuyết rằng:tổng của hai số khác màu luôn bị tô màu đen và có vô hạn số bị tô màu trắng.CMR:Tổng và tích của hai số bị tô màu trắng cũng sẽ bị tô màu trắng.
Bài 2:
Cho $x,y,z $ là ba số không âm có tổng bằng 3.Chứng minh:
$x^2+y^2+z^2+xyz \geq 4 $
Bài 3:
Cho tam giác $ABC $ cân tại $A $.Gọi $H $ là trung điểm của $BC $,$D $ là hình chiếu của $H $ trên cạnh $AC $,$M $ là trung điểm $HD $.Chứng minh $AM $ vuông góc với $BD $.
Bài 4:
Tam giác $ABC(AB >AC) $ nội tiếp $(O) $.Phân giác ngoài tại $A $ cắt $(O) $ tại $E $.Gọi $F $ là hình chiếu của $E $ trên $AB $.Chứng minh rằng:$2AF=AB-AC $.
Bài 5:
Giải hệ phương trình:
$x^5+xy^4=y^{10}+y^6 $
$\sqrt{4x+5}+\sqrt{y^2+8}=6 $

**dragon_of_dhv** · 07-09-2009, 08:11 PM

sao trường Lương Thế Vinh chọn đội tuyển sớm thế nbkschool ?Khối chuyên ĐH Vinh vẫn chưa.
Đề thi trường Lương Thế Vinh sao ko có phần giải tích thế nhỉ?

nbkschool · 07-09-2009, 08:30 PM

Mình mới học lớp 11 thôi đừng kêu anh.
Trường mình chọn đội tuyển sớm để các thầy còn dạy đội tuyển chuẩn bị thi HSG Tỉnh bạn à.Không có phần Giải tích chắc là do hiện giờ trong lớp thì lớp 11 mới học sơ sơ về nó thôi.

nguyenvannam · 08-09-2009, 12:27 AM

Trích:

Nguyên văn bởi nbkschool

Bài 1:
Tập hợp các số nguyên dương được tô bởi 2 màu đen và trắng.Giả thuyết rằng:tổng của hai số khác màu luôn bị tô màu đen và có vô hạn số bị tô màu trắng.CMR:Tổng và tích của hai số bị tô màu trắng cũng sẽ bị tô màu trắng.
Bài 2:
Cho $x,y,z $ là ba số không âm có tổng bằng 3.Chứng minh:
$x^2+y^2+z^2+xyz \geq 4 $
Bài 3:
Cho tam giác $ABC $ cân tại $A $.Gọi $H $ là trung điểm của $BC $,$D $ là hình chiếu của $H $ trên cạnh $AC $,$M $ là trung điểm $HD $.Chứng minh $AM $ vuông góc với $BD $.
Bài 4:
Tam giác $ABC(AB >AC) $ nội tiếp $(O) $.Phân giác ngoài tại $A $ cắt $(O) $ tại $E $.Gọi $F $ là hình chiếu của $E $ trên $AB $.Chứng minh rằng:$2AF=AB-AC $.
Bài 5:
Giải hệ phương trình:
$x^5+xy^4=y^{10}+y^6 $
$\sqrt{4x+5}+\sqrt{y^2+8}=6 $

Sao nhiều hình thế, không thấy dãy số đâu cả.
Đề này Thầy Đạt ra ah bạn?

Conan Edogawa · 08-09-2009, 09:41 AM

Trích:

Nguyên văn bởi nbkschool

Bài 3:
Cho tam giác $ABC $ cân tại $A $.Gọi $H $ là trung điểm của $BC $,$D $ là hình chiếu của $H $ trên cạnh $AC $,$M $ là trung điểm $HD $.Chứng minh $AM $ vuông góc với $BD $.

Bài hình này quen thuộc quá rùi,có nhiều cách chứng minh như: tam giác đồng dạng,tích vô hướng......

nbkschool · 08-09-2009, 06:04 PM

Trích:

Nguyên văn bởi Conan Edogawa

Bài hình này quen thuộc quá rùi,có nhiều cách chứng minh như: tam giác đồng dạng,tích vô hướng......

Bài này thì lấy $N $ trung điểm CD rồi chứng minh $M $ là trực tâm $ANH $ là được rồi bạn à.

huyetdao_tama · 08-09-2009, 07:47 PM

Trích:

Nguyên văn bởi nbkschool

Cho $x,y,z $ là ba số không âm có tổng bằng 3.Chứng minh:
$x^2+y^2+z^2+xyz \geq 4 $

Bài này cũng wen thuộc nè. Phản chứng rùi lượng giác hóa cũng được. Không thì Shur trực tiếp cũng ra.

Trích:

Nguyên văn bởi nbkschool

Giải hệ phương trình:
$x^5+xy^4=y^{10}+y^6 $
$\sqrt{4x+5}+\sqrt{y^2+8}=6 $

Bài này thì nhìn lạ wá. Chắc có lẽ là một bài toán hay và khó.

ll931110 · 08-09-2009, 08:18 PM

Trích:

Nguyên văn bởi huyetdao_tama

Bài này cũng wen thuộc nè. Phản chứng rùi lượng giác hóa cũng được. Không thì Shur trực tiếp cũng ra.

Bài này thì nhìn lạ wá. Chắc có lẽ là một bài toán hay và khó.

Bài 5 không khó đâu bạn ạ.
$x^5 + xy^4 = y^10 + y^6 (1) $

Đặt $z = y^2 $, (1) trở thành
$x^5 + xz^2 = z^5 + z^3 $
$\leftrightarrow (x - z)(x^4 + x^3z + x^2z^2 + xy^3 + z^4 + z^2) = 0 $
$\leftrightarrow x = z $, hay $x = y^2 $

Từ đây phương trình thứ 2 trở thành
$\sqrt{4x + 5} + \sqrt{x + 8} = 6 $

Vế trái là hàm đồng biến theo x, nên phương trình sẽ có nghiệm duy nhất. Ta thấy $x = 1 $ thoả mãn phương trình. Vậy hệ có nghiệm duy nhất $x = y = 1 $./.

P/S: Chắc đề này bài 1 là khó nhất (Nhưng nó có trong đề VMEO 2006)

bongchay123 · 03-10-2009, 06:49 AM

Trích:

Nguyên văn bởi huyetdao_tama

Bài này cũng wen thuộc nè. Phản chứng rùi lượng giác hóa cũng được. Không thì Shur trực tiếp cũng ra.

Bài này thì nhìn lạ wá. Chắc có lẽ là một bài toán hay và khó.

anh ơi lượng giác hóa xem ở đâu lần đầu nghe p2 lày à

Conan Edogawa · 05-01-2010, 10:23 PM

Trích:

Nguyên văn bởi bongchay123

anh ơi lượng giác hóa xem ở đâu lần đầu nghe p2 lày à

Lượng giác hóa là chuyển bài toán đại số hoặc hình học về lượng giác nhờ 1 vài phép đặt ẩn đó bạn. Nếu cần thì mình sẽ send vài file cho bạn nghiên cứu

vu thanh tung · 07-01-2010, 06:42 AM

Trích:

Nguyên văn bởi nbkschool

Bài 1:
Tập hợp các số nguyên dương được tô bởi 2 màu đen và trắng.Giả thuyết rằng:tổng của hai số khác màu luôn bị tô màu đen và có vô hạn số bị tô màu trắng.CMR:Tổng và tích của hai số bị tô màu trắng cũng sẽ bị tô màu trắng.

Bài này cũng quen lắm. Nó có trong VMEO II.

vulalach · 30-08-2010, 10:56 PM

Bài hai cách giải giống với đề thi đại học năm nay. Bạn nào update thông tin thì chắc sẽ làm được.

conan1984 · 31-08-2010, 01:21 AM

Nếu tất cả các số chẵn được tô màu trắng (1) thì tất cả các số lẻ phải được tô màu đen $(*) $, vì nếu tồn tại một số lẻ a tô màu trắng, số lẻ b tô màu đen. Khi đó theo giả thiết a + b là số chẵn và được tô màu đen, trái với (1).
Trường hợp này hiển nhiên ta có điều phải chứng minh $(i) $
Giả sử tồn tại số chẵn a nhỏ nhất tô màu đen.
Nếu $ a > 2 $Khi đó các số $ 2, ..., a - 2 $ được tô màu trắng. Thế thì theo giả thiết ta có $ a + 2, a+4,... $ được tô màu đen. Vậy mọi số chẵn $ \ge a $ được tô màu đen $(2) $.
Nếu tất cả các số lẻ $b $ đều tô màu trắng, khi đó $ a + b $ là số lẻ được tô màu đen (mâu thuẫn). Vậy tồn tại số lẻ $ c $ được tô màu đen. Khi đó, các số $ c + 2, c + 4, ... $ được tô màu đen. Tức mọi số lẻ $ \ge c $ đều được tô màu đen $(3) $. Do tập số được tô màu trắng là vô hạn nên tồn tại số $ d > a, d > c $ được tô màu trắng, thế thì nếu $ d $ chẵn sẽ mâu thẫu với $(2) $, nếu $ d $ lẻ sẽ mâu thuẫn với $ (3) $.
Vậy phải có $ a = 2 $. Nếu mọi số lẻ $ b $ được tô màu trắng thì $ b + 2 $ là số lẻ được tô màu đen (mâu thuẫn). Vậy tồn tại số $ b $ lẻ nhỏ nhất được tô màu đen. Nếu $ b > 1 $ thì $ b + 1, b + 2,... $ được tô màu đen (vì 1 được tô màu trắng) nghĩa là mọi số nguyên $ \ge b $ đều được tô đen, tức số các số được tô trắng là hữu hạn (trái giả thiết).
Vậy $ b = 1 $. Giả sử $ c $ là số nguyên nhỏ nhất được tô trắng. Thế thì $ 1,2,.. c-1 $ được tô đen, do đó dãy $ c +1, ... 2c - 1 $ cũng được tô đen. Một cách tổng quát ta có dãy $ u = ck + r $, $ r = 1,...c-1 $ được tô đen. Vậy mọi số được tô trắng phải có dạng $ ck $, $ k = 1,2,.. $. Khi đó tổng hay tích của 2 số được tô trắng có cùng dạng $ cq $ nên cũng được tô trắng $(ii) $.

Vậy từ $(i), (ii) $ ta có điều phải chứng minh.

07-09-2009, 05:24 PM	#1
nbkschool +Thành Viên+ Tham gia ngày: Dec 2007 Đến từ: SMU Residence @Prinsep Hostel, 83 Prinsep Street, Singapore Bài gởi: 400 Thanks: 72 Thanked 223 Times in 106 Posts	Đề thi chọn đội tuyển HSG Toán lớp 12 THPT Lương Thế Vinh,Đồng Nai 2009-2010,150 Phút Bài 1: Tập hợp các số nguyên dương được tô bởi 2 màu đen và trắng.Giả thuyết rằng:tổng của hai số khác màu luôn bị tô màu đen và có vô hạn số bị tô màu trắng.CMR:Tổng và tích của hai số bị tô màu trắng cũng sẽ bị tô màu trắng. Bài 2: Cho $x,y,z $ là ba số không âm có tổng bằng 3.Chứng minh: $x^2+y^2+z^2+xyz \geq 4 $ Bài 3: Cho tam giác $ABC $ cân tại $A $.Gọi $H $ là trung điểm của $BC $,$D $ là hình chiếu của $H $ trên cạnh $AC $,$M $ là trung điểm $HD $.Chứng minh $AM $ vuông góc với $BD $. Bài 4: Tam giác $ABC(AB >AC) $ nội tiếp $(O) $.Phân giác ngoài tại $A $ cắt $(O) $ tại $E $.Gọi $F $ là hình chiếu của $E $ trên $AB $.Chứng minh rằng:$2AF=AB-AC $. Bài 5: Giải hệ phương trình: $x^5+xy^4=y^{10}+y^6 $ $\sqrt{4x+5}+\sqrt{y^2+8}=6 $ __________________ "Apres moi,le deluge" thay đổi nội dung bởi: DCsonlinh_DHV, 08-09-2009 lúc 06:02 PM

07-09-2009, 08:11 PM	#2
dragon_of_dhv +Thành Viên Danh Dự+ Tham gia ngày: Jun 2009 Đến từ: K49a1_Vinh university Bài gởi: 130 Thanks: 10 Thanked 141 Times in 26 Posts	sao trường Lương Thế Vinh chọn đội tuyển sớm thế nbkschool ?Khối chuyên ĐH Vinh vẫn chưa. Đề thi trường Lương Thế Vinh sao ko có phần giải tích thế nhỉ? __________________ thay đổi nội dung bởi: dragon_of_dhv, 07-09-2009 lúc 08:49 PM

07-09-2009, 08:30 PM	#3
nbkschool +Thành Viên+ Tham gia ngày: Dec 2007 Đến từ: SMU Residence @Prinsep Hostel, 83 Prinsep Street, Singapore Bài gởi: 400 Thanks: 72 Thanked 223 Times in 106 Posts	Mình mới học lớp 11 thôi đừng kêu anh. Trường mình chọn đội tuyển sớm để các thầy còn dạy đội tuyển chuẩn bị thi HSG Tỉnh bạn à.Không có phần Giải tích chắc là do hiện giờ trong lớp thì lớp 11 mới học sơ sơ về nó thôi. __________________ "Apres moi,le deluge"

31-08-2010, 01:21 AM	#13
conan1984 +Thành Viên+ Tham gia ngày: Apr 2010 Đến từ: Australia Bài gởi: 44 Thanks: 0 Thanked 35 Times in 23 Posts	Nếu tất cả các số chẵn được tô màu trắng (1) thì tất cả các số lẻ phải được tô màu đen $() $, vì nếu tồn tại một số lẻ a tô màu trắng, số lẻ b tô màu đen. Khi đó theo giả thiết a + b là số chẵn và được tô màu đen, trái với (1). Trường hợp này hiển nhiên ta có điều phải chứng minh $(i) $ Giả sử tồn tại số chẵn a nhỏ nhất tô màu đen. Nếu $ a > 2 $Khi đó các số $ 2, ..., a - 2 $ được tô màu trắng. Thế thì theo giả thiết ta có $ a + 2, a+4,... $ được tô màu đen. Vậy mọi số chẵn $ \ge a $ được tô màu đen $(2) $. Nếu tất cả các số lẻ $b $ đều tô màu trắng, khi đó $ a + b $ là số lẻ được tô màu đen (mâu thuẫn). Vậy tồn tại số lẻ $ c $ được tô màu đen. Khi đó, các số $ c + 2, c + 4, ... $ được tô màu đen. Tức mọi số lẻ $ \ge c $ đều được tô màu đen $(3) $. Do tập số được tô màu trắng là vô hạn nên tồn tại số $ d > a, d > c $ được tô màu trắng, thế thì nếu $ d $ chẵn sẽ mâu thẫu với $(2) $, nếu $ d $ lẻ sẽ mâu thuẫn với $ (3) $. Vậy phải có $ a = 2 $. Nếu mọi số lẻ $ b $ được tô màu trắng thì $ b + 2 $ là số lẻ được tô màu đen (mâu thuẫn). Vậy tồn tại số $ b $ lẻ nhỏ nhất được tô màu đen. Nếu $ b > 1 $ thì $ b + 1, b + 2,... $ được tô màu đen (vì 1 được tô màu trắng) nghĩa là mọi số nguyên $ \ge b $ đều được tô đen, tức số các số được tô trắng là hữu hạn (trái giả thiết). Vậy $ b = 1 $. Giả sử $ c $ là số nguyên nhỏ nhất được tô trắng. Thế thì $ 1,2,.. c-1 $ được tô đen, do đó dãy $ c +1, ... 2c - 1 $ cũng được tô đen. Một cách tổng quát ta có dãy $ u = ck + r $, $ r = 1,...c-1 $ được tô đen. Vậy mọi số được tô trắng phải có dạng $ ck $, $ k = 1,2,.. $. Khi đó tổng hay tích của 2 số được tô trắng có cùng dạng $ cq $ nên cũng được tô trắng $(ii) $. Vậy từ $(i), (ii) $ ta có điều phải chứng minh. thay đổi nội dung bởi: conan1984, 31-08-2010 lúc 03:02 AM*

30-08-2010, 10:56 PM	#12
vulalach +Thành Viên+ Tham gia ngày: May 2009 Bài gởi: 20 Thanks: 30 Thanked 36 Times in 13 Posts	Bài hai cách giải giống với đề thi đại học năm nay. Bạn nào update thông tin thì chắc sẽ làm được.