Đường cong đóng đơn trong hình tròn

mathman145 · 09-11-2007, 10:09 AM

Có bài này anh em làm cho vui :miarockt::
Giả sử C là một đường cong đóng đơn chứa trong một hình tròn có bán kính r. Chứng minh rằng tồn tại một điểm P trên C mà độ cong K tại đó thỏa mãn:
$|K| \leq \frac{1}{r} $

Inzaghi · 09-11-2007, 01:08 PM

Bài này đơn jản thôi chú à! chỉ cần để ý là có thể vẽ đc 1 đường tròn tiếp xúc với C tại P nằm lọt trong C thui...

thiago · 09-06-2010, 12:50 PM

Đề phát biểu không chính xác mà vẫn có bác giải được cơ à?

Đề đúng : Cho C là đường cong đóng đơn trong hình tròn đóng bán kính r, chứng minh tồn tại điểm p nằm trên đường cong sao cho $|k(p)|\geq \frac{1}{r} $. Trong đó $k $ là độ cong của $C $.

Giải: Giả sử $\alpha : I \to R^2 $ là tham số hóa theo độ dài cung của $C $ và $O $ là tâm hình tròn đã cho. Xét hàm $ f(s) = ||\overrightarrow{O\alpha(s)}||^2 $. Theo giả thiết $f(s)\leq r^2 $ với mọi $s\in I $.

Do C compact nên tồn tại $s\in I $ thỏa mãn $f(s) $ đạt GTLN, tại đó $f''(s) \leq 0 $.

Mà $f''(s) = 2 [ \langle k(s)\vec{N}(s), \overrightarrow{O\alpha(s)}\rangle +1] \leq 0 $ , $\vec{N} $ là vector pháp tuyến đơn vị của $C $.

Từ đó dễ thấy $|k(s)|\geq \frac{1}{r} $.

09-11-2007, 10:09 AM	#1
mathman145 +Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2007 Bài gởi: 51 Thanks: 0 Thanked 3 Times in 2 Posts	Đường cong đóng đơn trong hình tròn Có bài này anh em làm cho vui :miarockt:: Giả sử C là một đường cong đóng đơn chứa trong một hình tròn có bán kính r. Chứng minh rằng tồn tại một điểm P trên C mà độ cong K tại đó thỏa mãn: $\|K\| \leq \frac{1}{r} $

09-11-2007, 01:08 PM	#2
Inzaghi +Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2007 Bài gởi: 8 Thanks: 0 Thanked 0 Times in 0 Posts	Bài này đơn jản thôi chú à! chỉ cần để ý là có thể vẽ đc 1 đường tròn tiếp xúc với C tại P nằm lọt trong C thui... __________________ Thông cảm nhé! tớ không có thói quen nhường cơ hội cho người khác

09-06-2010, 12:50 PM	#3
thiago +Thành Viên+ Tham gia ngày: May 2010 Bài gởi: 21 Thanks: 1 Thanked 1 Time in 1 Post	Đề phát biểu không chính xác mà vẫn có bác giải được cơ à? Đề đúng : Cho C là đường cong đóng đơn trong hình tròn đóng bán kính r, chứng minh tồn tại điểm p nằm trên đường cong sao cho $\|k(p)\|\geq \frac{1}{r} $. Trong đó $k $ là độ cong của $C $. Giải: Giả sử $\alpha : I \to R^2 $ là tham số hóa theo độ dài cung của $C $ và $O $ là tâm hình tròn đã cho. Xét hàm $ f(s) = \|\|\overrightarrow{O\alpha(s)}\|\|^2 $. Theo giả thiết $f(s)\leq r^2 $ với mọi $s\in I $. Do C compact nên tồn tại $s\in I $ thỏa mãn $f(s) $ đạt GTLN, tại đó $f''(s) \leq 0 $. Mà $f''(s) = 2 [ \langle k(s)\vec{N}(s), \overrightarrow{O\alpha(s)}\rangle +1] \leq 0 $ , $\vec{N} $ là vector pháp tuyến đơn vị của $C $. Từ đó dễ thấy $\|k(s)\|\geq \frac{1}{r} $.