Về bài đa thức trong đề Hà Tĩnh 2017

[huynhcongbang]

Trước hết, mọi người có thể xem đề bài của bài toán này tại đây, post số 20.

http://mathscope.org/showthread.php?t=51387&page=2

Ý tưởng tìm liên hệ đẹp giữa 2 nghiệm xấu của các đa thức bậc 3 đã từng xuất hiện ở đề VMO 2003.

Chúng ta thử phân tích sâu hơn cũng như cách chế biến ra một bài như thế này.

Trước hết, ta chọn một đa thức bậc 3 đảm bảo có nghiệm duy nhất (xét hàm đồng biến cho dễ), chẳng hạn $P(x)=x^3+2x^2+3x+4$.
Thay $x$ bởi $1-x$, ta có $Q(x)=x^3-5x^2+10x-10$. Lại đổi biến $x$ thành $1/x$, ta có đa thức mới $R(x)=10x^3-10x^2+5x-1$.

Khi đó, nếu gọi $a,b$ lần lượt là nghiệm của $P(x), R(x)$ thì ta có $a+1/b=1$.

Tiếp theo, ta lại tìm đa thức nhận bình phương nghiệm của $P(x)$ là nghiệm của nó. Để thực hiện điều này, ta có thể dùng Viete thuận - đảo hoặc tiến hành như sau:

$$\begin{aligned}
& {{x}^{3}}+2{{x}^{2}}+3x+4=0 \\
& \Leftrightarrow {{x}^{3}}+3x=-(2{{x}^{2}}+4) \\
& \Rightarrow {{({{x}^{3}}+3x)}^{2}}={{(2{{x}^{2}}+4)}^{2}} \\
& \Leftrightarrow {{x}^{6}}+6{{x}^{4}}+9{{x}^{2}}=4{{x}^{4}}+16{{x}^ {2}}+16 \\
& \Leftrightarrow {{x}^{6}}+2{{x}^{4}}-7{{x}^{2}}-16=0 \\
\end{aligned}$$

Từ đây suy ra đa thức $S(x)=x^3+2x^2-7x-16$ có nghiệm là $a^2$.

Bằng cách đó, ta có thể đặt ra bài toán khá lạ như sau:

Cho đa thức $R(x)=10x^3-10x^2+5x-1$ và $S(x)=x^3+2x^2-7x-16.$ Chứng minh rằng hai đa thức này có nghiệm thực duy nhất là $r,s$ và $\dfrac{1}{r} - \sqrt{s}=1$.

Để tìm ngược lại đa thức $P(x)$ từ $S(x)$, ta có thể đặt $P(x)=x^3+ax^2+bx+c$ rồi đồng nhất hệ số và giải hệ phương trình (không quá khó vì chúng ta có thể tin tưởng nghiệm này nguyên).


Dưới đây là bài toán trong đề Gặp gỡ Toán học 2017 vừa rồi. Mọi người tham khảo thêm:

Cho hai đa thức $P(x)={{x}^{3}}-4{{x}^{2}}+39x-46$ và $Q(x)={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+4x-3$.

a) Chứng minh rằng $P(x),Q(x)$ đều có các nghiệm dương duy nhất, đặt là $\alpha ,\beta $.

b) Chứng minh rằng $\{\alpha \}>{{\{\beta \}}^{2}}$, trong đó ký hiệu $\{x\}$ là phần lẻ của số thực $x.$

Lời giải. a) Trước hết, dễ thấy rằng $P(x),Q(x)$ đều là các hàm đồng biến và là các đa thức bậc lẻ nên chúng phải có nghiệm duy nhất. Ta có $P(1)P(2)<0$ và $Q(0)Q(1)<0$ nên $\alpha \in (1;2)$ và $\beta \in (0;1).$ Suy ra các nghiệm này đều dương.

b) Xét $R(x)=P(x+1)={{x}^{3}}-{{x}^{2}}+34x-10$ thì rõ ràng $R(x)$ cũng có nghiệm duy nhất là $a$ và $a=\alpha -1=\{\alpha \}$ vì $\alpha \in (1;2).$
Ta có $Q(x)=0\Leftrightarrow {{x}^{3}}+4x=3-3{{x}^{2}}\Rightarrow {{x}^{2}}{{({{x}^{2}}+4)}^{2}}={{(3-3{{x}^{2}})}^{2}}$, khai triển và rút gọn, ta được ${{x}^{6}}-{{x}^{4}}+34{{x}^{2}}-9=0$. Từ đó suy ra đa thức $S(x)={{x}^{3}}-{{x}^{2}}+34x-9$ cũng có nghiệm duy nhất là $b$ và $b={{\beta }^{2}}={{\{\beta \}}^{2}}$ vì $\beta \in (0;1).$
Ta cần chứng minh rằng $\{\alpha \}>{{\{\beta \}}^{2}}$ hay $a>b$.
Xét hàm số $f(t)={{t}^{3}}-{{t}^{2}}+34t$ với $t\in \mathbb{R}$ thì vì ${f}'(t)=3{{t}^{2}}-2t+34>0$ nên $f$ đồng biến và $f(a)=10,f(b)=9$. Từ đó dẫn đến $a>b.$ Ta có đpcm.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]