Phương án thêm biến trong giải Phương trình hàm!

[dong1919]

Nhầm rồi phải là thế này
$f(2x)=f(x+\epsilon+x-\epsilon)=f(x+\epsilon)+f(x-\epsilon)=f(x)+f(\epsilon)+f(x)-f(\epsilon)=2f(x) $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[duca1pbc]

Nguyên văn bởi dong1919

Nhầm rồi phải là thế này
$f(2x)=f(x+\epsilon+x-\epsilon)=f(x+\epsilon)+f(x-\epsilon)=f(x)+f(\epsilon)+f(x)-f(\epsilon)=2f(x) $

Chậc.Có thêm cái của Đông nữa thì hết nói
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[psquang_pbc]

Giải hết bài tập đi mọi người .
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[mufc]

Bài viết này hay quá. Em xin phép giải 1 bài

1. Tìm mọi $f:\mathbb{Q}\to \mathbb{Q} $ thỏa mãn

$f(xy)=f(x).f(y)-f(x+y)+1, \forall x,y\in\mathbb{Q} (1). $

Cho $x=y=0 $ ta được $f(0)=1 $
Cho $x=1,y=-1 $ ta được $f(1)=1 $ hoặc $f(-1)=0 $

Nếu $f(1)=1 $ thay $y=1 $ vào $(1) $ ta có $f(x+1)=1 \forall x\in Q $ nên $f(x)\equiv 1 \forall x\in Q $
Nếu $f(-1)=0 $
thay $y $ bởi $yz $ vào $(1) $ ta có
$f(xyz)=f(x).(f(y)f(z)-f(y+z)+1)-f(x+yz)+1 $
tương tự ta cũng có
$f(xyz)=f(z).(f(x)f(y)-f(x+y)+1)-f(xy+z)+1[ $
suy ra $f(x).(f(y)f(z)-f(y+z)+1)-f(x+yz)=f(z).(f(x)f(y)-f(x+y)+1)-f(xy+z) (2) $
Thay $z=-1,x=1 $ vào (2) ta có
$f(y-1)-f(1)f(y-1)+f(1)-f(1-y)=0 $ (3)

Từ đây dễ suy ra $f $ là hàm lẻ
Lại cho $y=0 $ vào (3) ta có $f(1)=0 $ hoăc $f(1)=2 $
Trường hợp $f(1)=0 $ thay $y $ bởi $-y $ vào $(1) $ kết hợp f lẻ suy ra được $f(x)\equiv 1 $
Trường hợp $f(1)=2 $ quen thuộc
thay $y=1 $ và $x=\frac{p}{q} $ thì $f(x)=x+1 $
==============
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]